6.9. Асимптотически простые пространства

При изучении таких конечных физических систем, как звезды, приходится рассматривать асимптотически плоские пространства, т. е. пространства, метрика которых стремится к метрике пространства Минковского на больших расстояниях от

рассматриваемой системы. Примерами пространств, имеющих асимптотически плоские области, служат решения Шварцшильда, Райсснера — Нордстрема и Керра. Как мы видели в гл. 5, конформная структура изотропной бесконечности этих пространств и пространства Минковского одинакова, что дало Пенроузу [123, 125, 128] основание использовать это обстоятельство в качестве своего рода определения асимптотически плоского пространства. Хотя Пенроуз не накладывал требования сильной причинности, мы будем рассматривать только сильно причинные пространства. Такое ограничение упрощает дело и не приводит к потере общности в тех ситуациях, которые мы хотим исследовать.

Ориентируемое во времени пространственно-ориентируемое сильно причинное пространство назовем асимптотически простым, если существует пространство и вложение при котором становится многообразием с гладким краем выполняются следующие условия:

1) на существует гладкая (скажем, по меньшей мере класса ) функция , такая, что на функция положительна и конформна на

3) каждая изотропная геодезическая в имеет две конечные точки на

Мы будем обозначать

На самом деле приведенное определение — несколько более общее, чем нам необходимо: ему удовлетворяют и космологические модели, например пространство де Ситтера рода. Чтобы сузить его до асимптотически плоских пространств, мы будем говорить, что пространство асимптотически простое и пустое, если в дополнение к условиям (1) — (3) оно удовлетворяет еще и условию на открытой окрестности (Это условие можно видоизменить так, чтобы вблизи разрешалось присутствие электромагнитного излучения.)

Край можно считать находящимся на бесконечности в том смысле, что в метрике любой аффинный параметр на изотропной геодезической в достигает неограниченно большого значения вблизи Это происходит потому, что аффинный параметр и в метрике связан с аффинным параметром в метрике соотношением Поскольку на расходится.

Из условий (2) и (4) следует, что край является изотропной гиперповерхностью. Действительно, тензор Риччи для метрики связан с для равенством

где означает ковариантное дифференцирование относительно Отсюда

Поскольку метрика класса то на где принадлежит классу Это означает, что Но по условию — изотропный вектор, а поверхность — изотропная гиперповерхность.

В случае пространства Минковского состоит из двух изотропных поверхностей и каждая из которых имеет топологию (Заметим, что ей не принадлежат точки так как вблизи этих точек конформная граница не является гладким многообразием.) Мы покажем, что в действительности для любого асимптотически простого и пустого пространства имеет такую структуру.

Поскольку — изотропная поверхность, локально лежит в ее прошлом или будущем. Из этого видно, что должна состоять из двух несвязных компонент и на которых расположены соответственно будущие и прошлые концы изотропных геодезических в не может состоять более чем из двух компонент, ибо тогда нашлась бы некоторая точка из которой одни направленные в будущее изотропные геодезические шли бы к одной компоненте, а другие — к другой. Множества изотропных направлений в ведущие к каждой из компонент, были бы при этом открытыми, что невозможно ввиду связности множества изотропных направлений в будущее в точке.

Теперь мы установим одно важное свойство рассматриваемых пространств.

Лемма 6.9.1

Асимптотически простое и пустое пространство причинно простое.

Пусть — компактное множество Нужно показать, что каждая изотропная геодезическая образующая поверхности имеет прошлый конец в Допустим, что имеется такая изотропная геодезическая, которая не имеет конца в Тогда у нее не может быть какого-либо конца в а она должна пересечь что невозможно.

Предложение 6.9.2

Асимптотически простое и пустое пространство является глобально гиперболическим.

Доказательство аналогично доказательству предложения 6.6.7. На вводится элемент объема так, чтобы полный объем по этой мере был равен единице. Ввиду причинной простоты

функции представляющие собой объемы областей непрерывны на Поскольку на выполняется условие сильной причинности, будет убывать вдоль каждой направленной в будущее непространственноподобной кривой. Пусть X — непродолжимая в будущее времениподобная кривая. Допустим, что множество не пустое. Тогда должно быть будущим множеством и изотропные, порождающие границу в не могут иметь прошлых концов в Таким образом, они должны пересечь что снова ведет к противоречию. Отсюда видно, что стремится к нулю, когда устремляется в будущее по X. Из этого следует, что каждая непродолжимая непространственноподобная кривая пересекает поверхность которая поэтому является поверхностью Коши для

Лемма 6.9.3

Пусть — компактное множество асимптотического простого и пустого пространства Тогда каждая из изотропных геодезических образующих поверхности пересекает один раз; точка над означает границу в

Пусть , где X — одна из изотропных геодезических образующих Тогда прошлое множество должно быть замкнуто в ибо каждая из изотропных геодезических образующих границы этого множества, должна иметь будущую конечную точку в в точке Поскольку на выполняется условие сильной причинности, будет непустым. Теперь предположим, что . Тогда прошлое множество должно быть непустым. Однако это невозможно из-за того, что изотропные образующие границы этого множества пересекли бы при этом Теперь допустим обратное, что X не пересекает . Тогда будет непустым. Но это снова ведет к противоречию, потому что изотропные образующие границы прошлого множества пересекли бы при этом

Следствие

Поверхность топологически совпадает с

Теперь мы покажем, что У и обладают такой же топологией, как и в случае пространства Минковского.

Предложение 6.9.4 (Герок [59])

В асимптотически простом и пустом пространстве поверхности и топологически эквивалентны топологически эквивалентно

Рассмотрим множество всех изотропных геодезических в Поскольку они все пересекают поверхность Коши локальные координаты на можно задать с помощью направлений этих геодезических на и локальных координат из точек пересечения с Этим мы превращаем в расслоенное пространство направлений на со слоем Однако каждая геодезическая пересекает также Поэтому является расслоенным пространством и над . В этом случае слоем является без одной точки, которая соответствует изотропной геодезической образующей не принадлежащей Другими словами, слоем является Следовательно, пространство топологически эквивалентно Однако поверхность эквивалентна Это согласуется с тем, что лишь при условии, что

Как показал Пенроуз [125], из этого результата следует, что тензор Вейля для метрики равен нулю на . В качестве объяснения можно сказать, что компоненты тензора Вейля для метрики вырождаются, т. е. вблизи они убывают как различные степени аффинного параметра на изотропной геодезической. Далее, в работах [114, 122] были получены в виде интегралов по законы сохранения для энергии-импульса, как бы измеренных с поверхности

Изотропные поверхности и составляют почти всю с-границу (см. определение в предыдущем разделе) пространства Чтобы убедиться в этом, заметим, во-первых, что любая точка задает Допустим, что — непродолжимая в будущее кривая в Если будущей конечной точкой К является то совпадает с ГНП, которое определяется точкой Если у кривой нет конечной точки в будущем на то должно быть пустым, так как в противном случае изотропные геодезические образующие пересекали бы что невозможно: а не пересекает Таким образом, на каждую точку из приходится одно ГНП, и еще одно ГНП, связанное с есть само многообразие других ГНП нет. Аналогично, множество всех ГНБ составлено теми ГНБ, которые соответствуют каждой точке и одним ГНБ, соответствующим которое снова совпадает с самим

Теперь требуется проверить, не отождествляем ли мы какие-нибудь ГНП или ГНБ, т. е. установить, что хаусдорфово. Ясно, что никакие два ГНП или ГНБ, соответствующие или

не являются неразделимыми по Хаусдорфу. Если то можно найти такую что Тогда является окрестностью в для будет непересекающейся окрестностью ГНП, соответствующего Таким образом, отделимо по Хаусдорфу от любой точки поверхности Аналогично, отделимо по Хаусдорфу от любой точки Таким образом, с-граница любого асимптотически простого и пустого пространства такая же, как у пространства Минковского, т. е. состоит из и двух точек

К числу асимптотически простых и пустых пространств относятся пространство Минковского и асимптотически плоские пространства, в которых есть только ограниченные объекты, например звезды, не испытывающие гравитационного коллапса. Однако решения Шварцшильда, Райсснера — Нордстрема или Керра не входят в этот класс, потому что в них имеются изотропные геодезические, у которых конечные точки не лежат на Тем не менее у этих пространств имеются асимптотически плоские области, подобные тем, которые существуют у асимптотически плоских и простых пространств. Из этого видно, что следует ввести еще понятие слабо асимптотически плоского и пустого пространства как пространства, для которого найдутся асимптотические простое и пустое пространство и окрестность края многообразия такие, что изометрично некоторому открытому множеству Под это определение подходят все упомянутые выше случаи. В решениях Райсснера — Нордстрема и Керра существуют бесконечные последовательности из асимптотически плоских областей которые изометричны окрестностям асимптотически простых и пустых пространств. Таким образом, в них изотропные бесконечности образуют бесконечные последовательности. Однако мы будем рассматривать в этих пространствах только одну асимптотически плоскую область. Тогда можно считать конформно-вложенным в пространство так, чтобы окрестность края была изометрична Край состоит только из пары изотропных поверхностей и

Обсуждение слабо асимптотически простых и пустых пространств будет продолжено в разд. 9.2 и 9.3.