Глава 3. Общая теория относительности

Чтобы понять появление сингулярностей и возможное крушение общей теории относительности, нам важно иметь точную формулировку этой теории и установить, в какой степени она единственна. Поэтому мы представим теорию в виде нескольких постулатов, касающихся математической модели пространства-времени.

В разд. 3.1 мы введем эту математическую модель, а в разд. 3.2 сформулируем первые два постулата — локальной причинности и локального сохранения энергии. Эти постулаты являются общими и для специальной и для общей теорий относительности, и поэтому можно считать, что они экспериментально обоснованы теми опытами, которые проводились для проверки специальной теории относительности. В разд. 3.3 мы выведем из лагранжиана уравнения материальных (т. е. иегравитационных) полей и получим из него тензор энергии-импульса.

Третий постулат, определяющий уравнения поля, приведен в разд. 3.4. Экспериментально он обоснован не так хорошо, как первые два, но, как мы увидим позднее, любые иные уравнения приводили бы по крайней мере к одному или даже нескольким нежелательным следствиям или же требовали существования дополнительных полей, которые экспериментально не обнаружены.

3.1. Пространственно-временное многообразие

Математическая модель пространства-времени (т. е. совокупности всех событий), которой мы будем пользоваться, есть пара где — связное четырехмерное хаусдорфово -много-образие, — лореицева метрика (т.е. метрика сигнатуры на

Две модели будем считать эквивалентными, если они изометричны, иначе говоря, если существует диффеоморфизм который переводит метрику в метрику Тогда, строго говоря, моделью пространства-времени является не просто одна пара а весь класс эквивалентности пар эквивалентных Обычно мы будем иметь дело только с одним представителем

данного класса эквивалентности, но тот факт, что эта пара определена лишь с точностью до эквивалентности, важен в некоторых ситуациях, в частности при рассмотрении задачи Коши в гл. 7.

Многообразие берется связным, поскольку нам недоступна никакая информация относительно несвязных частей. Мы считаем его хаусдорфовым, поскольку это, по-видимому, согласуется с накопленным опытом. Однако в гл. 5 мы рассмотрим пример, в котором можно поступиться этим условием. Вместе с условием лоренцевости метрики условие хаусдорфовости означает, что паракомпактио [55].

Понятие многообразия естественным образом отвечает нашим интуитивным представлениям о непрерывности пространства и времени. К настоящему времени такая непрерывность установлена до расстояний порядка см экспериментами по рассеянию пионов [49]. Наверное, будет трудно распространить понятие непрерывности до много меньших расстояний, поскольку для этого понадобится частица такой большой энергии, что родится несколько других частиц, и они исказят эксперимент. Возможно поэтому, что модель, в которой пространство-время рассматривается как многообразие, неприемлема для расстояний меньше см, и нам следовало бы пользоваться такой теорией, в которой в таких масштабах пространство-время обладает какой-то иной структурой. Однако можно ожидать, что подобные отклонения от описания пространства-времени как многообразия не повлияют на общую теорию относительности до тех пор, пока характерный гравитационный масштаб длины не станет такого же порядка. Это могло бы случиться лишь при плотности порядка т. е. в таких предельных состояниях вещества, относительно которых в настоящее время ничего не известно. Тем не менее, рассматривая пространство-время как многообразие и делая определенные разумные предположения, мы покажем в гл. 8—10, что какое-то нарушение общей теории относительности должно иметь место. Им могли бы быть или несостоятельность уравнений поля, или необходимость квантования метрики, или нарушение структуры многообразия.

Метрика позволяет делить ненулевые векторы в точке на три класса; именно, ненулевой вектор называется времениподобньш, пространственноподобным или изотропным, смотря по тому, является ли отрицательным, положительным или нулевым (ср. рис. 5).

Порядок дифференцируемости метрики выбирается достаточным для того, чтобы уравнения поля были определены. Они могут быть определены в смысле обобщенных функций, если координатные компоненты метрики непрерывны, имеют локально квадратично-интегрируемые обобщенные первые

производные по локальным координатам. Набор функций на называются обобщенными производными функции на если для любой функции С-функции на с компактным носителем

Однако это условие слишком слабое, поскольку оно не гарантирует ни существования, ни единственности геодезических; для этого требуется метрика класса -метрика определению обладает первыми производными координатных компонент, удовлетворяющими локальному условию Липшица; см. разд. 2.1). Фактически в большей части книги мы будем предполагать, что метрика принадлежит по крайней мере классу . Это позволяет определить уравнения поля (а они содержат вторые производные метрики) в каждой точке. В разд. 8.4 мы ослабим требования к метрике до класса и покажем, что это не влияет на наличие сингулярностей.

В гл. 7 мы пользуемся иным условием дифференцируемости для того, чтобы показать, что развитие во времени полевых уравнений определяется подходящими начальными условиями. Мы потребуем, чтобы компоненты метрики и их обобщенные первые производные до порядка были локально квадратично-интегрируемы. Это условие заведомо выполняется, если метрика принадлежит классу

Фактически порядок дифференцируемости метрики с точки зрения физики, скорее всего, не имеет значения. Поскольку метрику никогда нельзя измерить точно, а лишь в пределах некоторой ошибки, то никогда нельзя установить, существует ли действительно разрыв в производных того или иного порядка. Таким образом, всегда можно представить результаты измерений как -метрику.

Если предполагается, что метрика принадлежит классу то атлас многообразия должен быть порядка Можно, однако, всегда найти аналитический податлас в любом -атласе ([174], цит. в [112]), Поэтому, не ограничивая общности, можно с самого начала предположить, что атлас аналитичен, даже в том случае, когда из-за того, что метрика класса физически можно задать только -атлас.

Чтобы гарантировать включение в нашу модель всех несингулярных точек пространства-времени, мы должны наложить на нее определенные условия. Будем говорить, что С-пара является С-расширением если существует изометрическое С-вложение Если бы такое расширение существовало, то нам пришлось бы рассматривать в качестве точек пространства-времени также и точки Поэтому мы

потребуем, чтобы модель была -нерасширяемой, т. е. чтобы не существовало ее С-расширения при котором не совпадает с .

В качестве примера пары которая не является нерасширяемой, рассмотрим двумерное евклидово пространство с осью вырезанной между Очевидным способом его расширения является «возвращение на место» вырезанных точек, но можно также расширить его, взяв еще один экземпляр такого пространства и отождествив нижний берег разреза при с верхним берегом разреза при а верхний берег разреза при с нижним берегом разреза при Полученное таким образом пространство нерасшнряемо, но не полно, поскольку мы остались без точек Мы не можем поместить эти точки обратно, так как мы стеснены условиями продолжения верхней и нижней части оси х на различные листы. Однако, если взять подмножество определенное условиями то можно расширить пару и поместить обратно точку Это побуждает к более строгому определению нерасширяемости: пара называется локально -нерасширяемой, если не существует какого-либо открытого множества с некомпактным замыканием в такого, что пара имеет расширение в котором замыкание образа компактно.