5.6. Решение Керра

Обычно астрономические объекты вращаются, и поэтому нельзя считать, что поле вне их в точности сферически-симметрично. Решение Керра — единственное известное точное решение, которое может служить для описания стационарного осесимметричного асимптотически-плоского поля вне массивного вращающегося объекта. Оно будет внешним решением только для массивных вращающихся полей с конкретным набором мультипольных моментов; для тел с другими мультипольными моментами внешние решения будут иными. Однако решение Керра является, по-видимому, единственно возможным внешним решением для черных дыр (см. разд. 9.2 и 9.3).

Это решение можно записать в координатах Бойера и Линдквиста в которых метрика имеет вид

где

— постоянные, причем является массой, а — моментом количества движения, которые как бы измерены в бесконечности [16]; при это решение переходит в шварцшильдово. Ясно, что эта метрика инвариантна относительно одновременного обращения и т. е. относительно преобразования хотя она и не инвариантна относительно обращения одного только (за исключением случая ). Этого следовало ожидать, поскольку при обращении времени вращающийся объект меняет направление своего вращения на противоположное.

Если то и приведенная метрика особенна только при Эта сингулярность в действительности является не точкой, а кольцом; в этом можно убедиться при

переходе к координатам Керра — Шильда , где

В этих координатах метрика принимает вид

где как функция определяется с точностью до знака уравнением

При поверхности на плоскости являются конфокальными эллипсоидами, вырождающимися при в диск Кольцо этого диска является истинной сингулярностью кривизны, поскольку на нем расходится скалярный полином Но на самом диске (вне кольца) любой скалярный полином конечен. Чтобы получить максимальное аналитическое расширение этого решения, можно аналитически продолжить функцию от положительных к отрицательным значениям через открытый диск

Для этого присоединим другую плоскость, определяемую координатами так что точки на верхней стороне диска в плоскости отождествляются с точками с теми же координатами х и у на нижней стороне соответствующего диска в плоскости Аналогично, точки с нижней стороны диска в плоскости отождествляются с точками с верхней стороны диска в плоскости (рис. 27). Метрика (5.30) очевидным образом распространяется на это расширенное многообразие. В области она по-прежнему имеет вид (5.29), но значения не положительны, а отрицательны. При больших отрицательных пространство снова асимптотически-плоское, но теперь масса отрицательна. При малых отрицательных вблизи кольцевой сингулярности вектор времениподобен, так что окружности являются замкнутыми времениподобными кривыми. Эти кривые можно деформировать так, чтобы они проходили через любую точку расширенного пространства [23]. Решение Керра геодезически неполно ввиду кольцевой сингулярности; однако ее достигают только те времениподобные и изотропные геодезические, которые лежат на экваториальной плоскости в той части, где

(кликните для просмотра скана)

Расширение в случае несколько сложнее из-за существования двух значении при которых обращается в нуль. Эти поверхности подобны поверхностям в решении Райсснера — Нордстрема. Для продолжения метрики через эти поверхности перейдем к координатам Керра где

Тогда на многообразии, определяемом этими координатами, метрика имеет вид

она аналитична при Снова мы имеем сингулярность при которая имеет ту же форму кольца и описанную выше геодезическую структуру. Метрику Керра можно расширить и на другое многообразие, определенное координатами где

а метрика имеет вид с заменой на Максимальное аналитическое расширение получается комбинацией этих двух расширений, как в случае Райсснера — Нордстрема [15, 23]. Его глобальная структура очень похожа на структуру решения Райсснера — Нордстрема, за тем исключением, что теперь возможно продолжение через кольцо к отрицательным значениям На рис. 28, а показана конформная структура решения вдоль оси симметрии. Области соответствуют асимптотически-плоские области, в которых Области II содержат замкнутые ловушечные поверхности. Области III содержат кольцевую сингулярность, в любой области III через каждую точку можно провести замкнутую времениподобную кривую, в других двух областях и II) нет никаких нарушений причинности.

В случае совпадают и области отсутствуют. (Максимальное расширение похоже на расширение решения Райсснера — Нордстрема при конформной структуре вдоль оси симметрии для этого случая можно судить по рис. 28, б.

Решение Керра, будучи станционарпым и осесимметричным, имеет двухпараметрическую группу пзометрий; она необходимо абелева [26]. Следовательно, существуют два независимых коммутирующих векторных поля Киллинга. Имеется только одна их

линейная комбинация которая времениподобна при произвольно больших положительных и отрицательных Кроме того, можно составить линейную комбинацию этих полей, равную нулю на оси симметрии.

Рис. 28. Конформная структура решения Керра вдоль оси симметрии Пунктирные линии соответствуют линиям области и III в случае (а) разделяются поверхностями а области I и III в случае — поверхностью т. В обоих случаях структура пространства вблизи кольцевой сингулярности такая же, как на рис. 27.

Орбиты вектора Киллинга определяют станционарную систему отсчета: объект, движущийся вдоль одной их этих орбит, из бесконечности выглядит станционарным. Орбиты вектора Киллинга представляют собой замкнутые кривые, что соответствует вращательной симметрии решения Керра.

В решениях Шварцшильда и Райсснера — Нордстрема вектор Киллинга, времениподобный при больших времениподобен всюду в области I и становится изотропным на поверхностях соответственно. Эти поверхности изотропны. Отсюда следует, что частица, которая пересекает одну из этих

поверхностей, в направлении будущего не может вернуться в прежнюю область. Эти поверхности являются границей той области решения, из которой частицы могут достичь бесконечности данной области и они называются горизонтами событий этой Для наблюдателя, движущегося в области по какой-либо орбите вектора они являются фактически горизонтами событий в смысле, установленном в разд. 5.2.

Рис. 29. Решение Керра при эргосфера лежит между предельной поверхностью стационарности и горизонтом Частицы могут уйти на бесконечность из области I (вне горизонта событий ), но не из областей II (между эта область содержит кольцевую сингулярность).

Наоборот, для решения Керра вектор Киллинга пространственноподобен в некоторой области вне называемой эргосферой (рис. 29). Внешней границей этой области является поверхность на которой изотропен. Она называется предельной поверхностью стационарности, так как является границей области, в которой частица, движущаяся по времениподобной кривой, может находиться на орбите вектора Киллинга и таким образом оставаться в покое относительно бесконечности. Предельная поверхность стационарности времениподобна, за исключением двух точек на оси, в которых она изотропна (в этих точках она соприкасается с поверхностью Там, где она времениподобна, ее могут пересекать и входящие, и выходящие частицы. Поэтому она не является горизонтом событий для Горизонтом событий в действительности является поверхность Из рис. 30

видно, почему это так. На нем изображена экваториальная плоскость каждая точка на этом рисунке представляет собой орбиту вектора Киллинга т. е. стационарна относительно Малые круги изображают положение фронта светового импульса через короткое время после излучения из точек, изображенных черными кружками.

Рис. 30. Экваториальная плоскость решения Керра при Круги изображают положение через короткое время вспышек света, излученных источниками, которые обозначены жирными точками.

Вне предельной поверхности стационарности вектор Киллинга времениподобен, т. е. лежит внутри светового конуса. Это означает, что точка на рис. 30, изображающая орбиту точки вспышки, лежит внутри фронта волны света.

На предельной поверхности стационарности вектор изотропен, и точка, изображающая орбиту точки вспышки, лежит на фронте волны. Однако фронт волны лежит частью вне, а частью внутри предельной поверхности стационарности, поэтому частица, движущаяся по времениподобной кривой, может с этой поверхности уйти в бесконечность. В эргосфере между предельной

поверхностью стационарности и поверхностью вектор Киллиига пространственноподобеи, и точка, изображающая орбиту испускания, лежит вне фронта волны. В этой области времениподобное или изотропное движение не может происходить по орбите вектора Киллинга и поэтому частииа не может оставаться в покое относительно бесконечности. Однако положения волновых фронтов таковы, что частицы по-прежнему могут пересечь предельную поверхность стационарности и уйти на бесконечность. На поверхности вектор по-прежнему пространственноподобен, но фронт волны, расходящийся от частицы на этой поверхности, лежит целиком внутри этой поверхности. Это означает, что частица, движущаяся по времениподобной кривой из какой-либо точки на или внутри поверхности не может выйти из области, охватываемой этой поверхностью, и достичь бесконечности. Поэтому поверхность является горизонтом событий для и изотропна.

Хотя вектор Киллинга пространственноподобен в эргосфере, модуль бивектора Киллинга отрицателен всюду вне за исключением оси где он равен нулю. Поэтому на натягивается -поверхность и, следовательно, в каждой точке вне за исключением оси, имеется линейная комбинация которая времепиподобна. Таким образом, решение в эргосфере в некотором смысле локально стационарно, хотя и не станционарно относительно бесконечности. Одной линейной комбинации которая была бы времениподобна всюду вне не существует. Величина бивектора Киллинга на обращается в нуль и положительна внутри этой поверхности. На оба вектора пространственноподобпы, но существует их линейная комбинация, изотропная всюду на этой поверхности [25].

Рассмотренные нами свойства эргосферы и горизонта событий будут играть важную роль при рассмотрении черных дыр в разд. 9.2 и 9.3.

Подобно тому как решения Райсснера — Нордстрема можно рассматривать как решение Шварцшильда при наличии заряда, имеется семейство аналогичных решений Керра [23]. Их глобальные свойства весьма похожи на свойства решения Керра без заряда.