6.3. Ахрональные границы

Из предложения 4.5.1 следует, что в нормальной выпуклой окрестности граница множеств или образована направленными в будущее изотропными геодезическими с началом Для установления свойств границ более общего типа введем понятия ахронального множества и множества будущего.

Множество называется ахрональным (в литературе его иногда называют «полупространственноподобным»), если пусто, иначе говоря, если никакие две точки не разделены времениподобно. называется множеством будущего, если Отметим, что если — множество будущего, то множество прошлого. Примерами множеств будущего служат где — любое множество. Примеры ахрональных множеств дает следующий фундаментальный результат.

Предложение 6.3.1

Если — множество будущего, то (граница ) представляет собой замкнутое вложенное ахрональное трехмерное -многообразие.

Если , то любая окрестность пересекает Если , то у точки существует окрестность в . Следовательно, Аналогично Если то существует такая окрестность точки что

Таким образом, не может принадлежать . В некоторой окрестности точки можно ввести нормальные координаты с времениподобным вектором так, чтобы кривые пересекали и Тогда каждая из этих кривых должна содержать точно одну точку . Координата этих точек должна быть функцией Липшица от , поскольку никакие две точки не разделены времениподобно. Поэтому взаимнооднозначное отображение задаваемое равенством для есть гомеоморфизм. Таким образом, есть -атлас для

Множество со свойствами , перечисленными в предложении 6.3.1, будем называть ахрональной границей. Такое множество можно разбить на четыре непересекающихся подмножества следующим образом: для точки найдутся или не найдутся точки такие, что и различные возможности определяют эти подмножества множества следующей схеме:

Если то поскольку и согласно предложению Это означает, что в имеется изотропный геодезический сегмент, проходящий через Если (соответственно то является конечной точкой в будущем (соответственно прошлом) изотропной геодезической в . Подмножество пространственноподобно (точнее непричинно), Это разбиение иллюстрируется рис. 36.

Полезнее условие, определяющее принадлежность точки одному из множеств дает следующая лемма, принадлежащая Пенроузу [128]:

Лемма 6.3.2

Пусть — некоторая окрестность где множество будущего. Тогда

Достаточно доказать пункт (1), поскольку можно считать также и границей множества прошлого Пусть — бесконечная последовательность точек в сходящаяся к

Рис. 36. Ахрональная граница может быть разделена на четыре множества: пространствеппоподобное изотропное (соответственно конечная точка будущего (соответственно прошлого) изотропной геодезической в .

Если от каждого до можно провести направленную в прошлое времениподобную кривую. По лемме 6.2.1 существует направленная в прошлое предельная кривая К от до Поскольку — открытое множество и содержится в пусто. Отсюда К должна быть времениподобной геодезической и лежать в

В качестве иллюстрации предыдущих результатов рассмотрим границу замкнутого множества будущего Согласно предложению 6.3.1, она является ахрональным многообразием, и по лемме 6.3.2 каждая точка множества принадлежит или Это означает, что порождается изотропными геодезическими сегментами, которые могут иметь конечную точку в будущем в но если они имеют конечные точки в прошлом, то обязательно только в самом Как видно из рис. 36, может существовать изотропная геодезическая, порождающая сегменты,

которые вообще не имеют конечных точек в прошлом, а уходят в бесконечность. Очевидно, что это несколько надуманный пример, но Пенроуз [124] показал, что аналогичное поведение имеет место в таком простом случае, как плоские волны; другими примерами служат решения де Ситтера 2-го рода (разд. 5.2) и Райсснера—Нордстрема (разд. 5.5). В разд. 6.6 мы увидим, что такое поведение связано с отсутствием поверхностей Коши для этих решений.

Будем говорить, что открытое множество — причиннопростое, если для каждого компактного множества

Это эквивалентно утверждению, что замкнуты в