Предложение 6.3.1
Если — множество будущего, то
(граница
) представляет собой замкнутое вложенное ахрональное трехмерное
-многообразие.
Если
, то любая окрестность
пересекает
Если
, то у точки
существует окрестность в
. Следовательно,
Аналогично
Если
то существует такая окрестность точки
что
Таким образом,
не может принадлежать
. В некоторой окрестности
точки
можно ввести нормальные координаты
с времениподобным вектором
так, чтобы кривые
пересекали и
Тогда каждая из этих кривых должна содержать точно одну точку
. Координата
этих точек должна быть функцией Липшица от
, поскольку никакие две точки
не разделены времениподобно. Поэтому взаимнооднозначное отображение
задаваемое равенством
для
есть гомеоморфизм. Таким образом,
есть
-атлас для
Множество со свойствами
, перечисленными в предложении 6.3.1, будем называть ахрональной границей. Такое множество можно разбить на четыре непересекающихся подмножества
следующим образом: для точки
найдутся или не найдутся точки
такие, что
и различные возможности определяют эти подмножества множества
следующей схеме:
Если
то
поскольку
и согласно предложению
Это означает, что в
имеется изотропный геодезический сегмент, проходящий через
Если
(соответственно
то
является конечной точкой в будущем (соответственно прошлом) изотропной геодезической в
. Подмножество
пространственноподобно (точнее непричинно), Это разбиение иллюстрируется рис. 36.
Полезнее условие, определяющее принадлежность точки одному из множеств
дает следующая лемма, принадлежащая Пенроузу [128]:
Лемма 6.3.2
Пусть
— некоторая окрестность где
множество будущего. Тогда
Достаточно доказать пункт (1), поскольку
можно считать также и границей множества прошлого
Пусть
— бесконечная последовательность точек в
сходящаяся к
Рис. 36. Ахрональная граница
может быть разделена на четыре множества: пространствеппоподобное
изотропное
(соответственно
конечная точка будущего (соответственно прошлого) изотропной геодезической в
.
Если
от каждого
до
можно провести направленную в прошлое времениподобную кривую. По лемме 6.2.1 существует направленная в прошлое предельная кривая К от
до
Поскольку
— открытое множество и содержится в
пусто. Отсюда К должна быть времениподобной геодезической и лежать в
В качестве иллюстрации предыдущих результатов рассмотрим
границу замкнутого множества будущего
Согласно предложению 6.3.1, она является ахрональным многообразием, и по лемме 6.3.2 каждая точка множества
принадлежит
или
Это означает, что
порождается изотропными геодезическими сегментами, которые могут иметь конечную точку в будущем в
но если они имеют конечные точки в прошлом, то обязательно только в самом
Как видно из рис. 36, может существовать изотропная геодезическая, порождающая сегменты,
которые вообще не имеют конечных точек в прошлом, а уходят в бесконечность. Очевидно, что это несколько надуманный пример, но Пенроуз [124] показал, что аналогичное поведение имеет место в таком простом случае, как плоские волны; другими примерами служат решения де Ситтера 2-го рода (разд. 5.2) и Райсснера—Нордстрема (разд. 5.5). В разд. 6.6 мы увидим, что такое поведение связано с отсутствием поверхностей Коши для этих решений.
Будем говорить, что открытое множество
— причиннопростое, если для каждого компактного множества
Это эквивалентно утверждению, что
замкнуты в