Приложение А. Пьер Симон Лаплас

Доказательство теоремы о том, что сила притяжения небесного тела могла бы выть столь велика, что от него не будет исходить свет

1. Если — скорость, — время и — расстояние, которое равномерно проходится в течение этого времени, то, как известно,

2. Если движение не является равномерным, то для получения значения в какой-либо момент нужно поделить пройденное расстояние и интервал времени одно на другое, т. е. поскольку скорость на бесконечно малом интервале постоянна и движение, таким образом, можно принять за равномерное.

3. Непрерывно действующая сила будет стремиться изменить эту скорость. Это изменение скорости, а именно является поэтому наиболее естественной мерой этой силы. Но поскольку любая сила вызывает двойной эффект за двойное время, мы должны разделить изменение скорости на время в течение которого это изменение вызывается силой Р; таким образом, получается общее выражение для силы Р, т. е.

Теперь, если есть постоянная,

соответственно

4. Пусть сила притяжения тела М; второе тело (например, частица света) находится на расстоянии действие силы М на эту частицу света будет отрицательный знак появляется из-за того, что действие М противоположно движению света.

5. Теперь согласно (3) эта сила также равна следовательно,

Умножая на получим

после интегрирования

где С — постоянная величина, или

Теперь, в силу (2), — скорость и соответственно справедливо равенство

где — скорость частицы света на расстояние

6. Теперь для определения постоянной С допустим, что — радиус притягивающего тела и а — скорость света на расстоянии (следовательно, на поверхности притягивающего тела); тогда из (5) получается

поэтому

Подставляя это в предыдущее уравнение, получим

7. Пусть будет радиус другого притягивающего тела; его сила притяжения будет а скорость света на расстоянии составит тогда, согласно уравнению в (6),

8. Если сделать бесконечно большим, последний член в предыдущем уравнении обращается в нуль, и мы получаем

Расстояние до неподвижных звезд столь велико, что это предположение справедливо,

9. Пусть сила притяжения второго тела так велика, что свет не может удалиться от него; это можно выразить аналитически следующим образом: скорость света и равна нулю. Подставив такое значение и в уравнение (8) для и, получим уравнение, из которого можно вывести массу при которой это происходит. Следовательно, имеем

10. Чтобы определить а, допустим сначала, что этим притягивающим телом является Солнце; тогда а — скорость света Солнца на поверхности Солнца. Однако сила притяжения Солнца в сравнении со скоростью света столь мала, что можно эту скорость принять за равномерную. Из явления аберрации следует, что Земля проходит своего пути, в то время как свет проходит от Солнца до Земли; следовательно: пусть V есть средняя скорость Земли на ее орбите, тогда мы имеем радиусу (выраженному в секундах):

11. Мое предположение в «Изложении системы мира», часть

II, стр. 305, состоит в том, что Далее, масса изменяется как объем притягивающего тела, умноженный на его плотность, объем — как куб радиуса, соответственно масса — как куб радиуса, умноженный на плотность. Пусть плотность Солнца плотность второго тела тогда

или

или

12. Подставляем значения и в уравнение , таким образом, имеем

или

13. Чтобы получить необходимо еще определить М. Сила М Солнца на расстоянии равна Пусть — среднее расстояние до Земли, V — средняя скорость Земли; тогда эта сила равна также (см. «Астрономии» Ланде, III, § 3539.

Отсюда или Подстановка этого в уравнение (12) для дает

Следовательно,

откуда следует, что плотность приблизительно равна 4, или такая же по величине, как и плотность Земли.