6.7. Существование геодезических

Важность глобальной гиперболичности для гл. 8 связана со следующим результатом:

Предложение 6.7.1

Пусть и лежат на глобально гиперболическом множестве причем Тогда и можно соединить непространственноподобной кривой, длина которой не меньше длины любой другой непространственноподобной кривой от до

Мы дадим два доказательства этого утверждения: первое, принадлежащее Авезу [4] и Зейферту [156], основано на использовании компактности а второе (применимое лишь при открытом представляет собой метод построения самой этой геодезической.

Пространство содержит плотное подмножество состоящее из всех времениподобных О-кривых от до Длина одной такой кривой определяется (ср. с разд. 4.5) как

где есть О-параметр на Функция не является непрерывной на поскольку любая окрестность Я содержит зигзагообразную кусочно почти изотропную кривую произвольно малой длины (рис. 46). Эта потеря непрерывности возникает от того, что мы пользуемся -топологией, согласно которой две кривые близки, если в близки их точки, но не требуется близости их касательных векторов.

Рис. 46. — открытая окрестность времениподобной кривой к от до . В существуют времениподобные кривые от до которые приближенно являются ломаными изотропными кривыми и имеют сколь угодно малую длину.

Можно было бы наделить -топологией и таким образом придать непрерывность, но мы не делаем этого, ибо некомпактно; компактное пространство получается только после присоединения всех непрерывных непространственноподобных кривых. Вместо этого мы пользуемся -топологией и распространим определение на

Из-за сигнатуры метрики увеличение извилистости времениподобной кривой сокращает ее длину. Таким образом, не полунепрерывна снизу. Однако имеет место

Лемма 6.7.2

полунепрерывна сверху в -топологии на

Рассмотрим времениподобную О-кривую от до причем в качестве параметра выберем длину дуги от . В достаточно малой окрестности кривой К можно найти функцию которая равна и такова, что поверхности пространственноподобны и ортогональны к Один способ задания такой функции состоит в построении пространственноподобных геодезических, ортогональных к К. Для

достаточно малой окрестности кривой Я они дают однозначное отображение на и значение в некоторой точке окрестности можно определить как значение в той точке Я, на которую отображается Любую кривую можно параметризовать функцией Касательный вектор можно представить в виде

где k — пространственноподобный вектор, лежащий на поверхности Тогда

Однако на Отсюда, при данном можно выбрать настолько малую окрестность что в е. Поэтому для любой кривой

Теперь мы определим длину непрерывной непространственноподобной кривой от до следующим образом. Пусть — окрестность к в и пусть —наименьшая верхняя грань длин времениподобных кривых в от до Тогда мы определим как наибольшую нижнюю грань для всех окрестностей кривой в Это определение длины применимо ко всем кривым от до в каждой окрестности которых существует времениподобная С-кривая, т. е. оно применимо ко всем точкам в которые принадлежат замыканию Как мы знаем (разд. 4.5), непространственноподобная кривая от до если она не является изотропной геодезической кривой без изломов, может быть деформирована во времениподобную кусочно С-кривую от до а изломы этой кривой можно округлить так, чтобы получить времениподобную О-кривую от до Следовательно, точки в — это изотропные геодезические без изломов (не содержащие сопряженных точек), и мы положим, что их длина равна нулю.

Такое определение превращает ее в полунепрерывную сверху функцию на компактном пространстве [На самом деле, пока непрерывная непространственноподобная кривая удовлетворяет локальному условию Липшица, она дифференцируема почти всюду. Поэтому длину все еще можно было бы определить как

и это не противоречило бы введенному выше определению.] Если но непустое множество, то и соединяются изотропной геодезической без изломов; кроме нее между и не существует иных непространственноподобных кривых. Если это множество содержит некоторую точку, в которой достигает своего максимального значения, т. е. найдется непространственноподобная кривая у от до длина которой больше или равна длине любой другой такой кривой. Согласно предложению 4.5.3, у должна быть геодезической кривой, поскольку иначе можно было бы найти точки которые лежали бы в нормальной выпуклой координатной окрестности и могли бы быть соединены геодезическим сегментом большей длины, чем часть у между

Для другого, конструктивного доказательства мы введем функцию от равную нулю, если а в противном случае равную наименьшей верхней грани длин, кусочно непространственноподобных кривых от до направленных в будущее. [Отметим, что может быть бесконечной.] Для множеств и введем равную наименьшей верхней грани при

Допустим, что конечно. Тогда для любого можно подобрать времениподобную кривую X от до длиной и такую окрестность точки что X можно деформировать во времениподобную кривую длины соединяющую с любой точкой Следовательно, функция там, где она конечна, полунепрерывна снизу. В общем случае не полунепрерывна сверху, но имеется

Лемма 6.7.3

Функция конечна и непрерывна по и когда и принадлежат глобально гиперболическому множеству

Сначала мы докажем, что конечна. Поскольку на компактном множестве выполняется условие сильной причинности, его можно покрыть конечным числом таких локально-причинных множеств, каждое из которых не содержит непрострапственнонодобные кривые длиннее некоторого Поскольку любая непространственноподобная кривая от до может войти в каждую окрестность не более одного раза, она должна иметь конечную длину.

Предположим теперь, что существует такое постоянное что каждая окрестность содержит точку для которой

Пусть бесконечная последовательность точек в сходящаяся к для которой Тогда из каждой до можно провести непространственноподобную кривую длина которой больше, чем По лемме существует направленная в прошлое непространственноподобная кривая , которая проходит через и является предельной кривой последовательности Пусть локально-причинная окрестность точки Тогда к не может пересечь ибо в этом случае одну из кривых можно было бы деформировать в непространственноподобную кривую от до с длиной больше Поэтому к обязательно будет изотропной геодезической с началом в и в каждой точке функция будет иметь разрыв больше, чем Повторением этих же аргументов можно показать, что k — изотропная геодезическая и что в каждой точке функция имеет разрыв больше, чем Отсюда видно, что не является конечной точкой кривой к, так как по предложению непрерывна в локально-причинной окрестности точки . С другой стороны, к должна быть непродолжимой в и поэтому, если бы не была его конечной точкой, то она должна была бы, согласно предложению 6.4.7, выйти из компактного множества Это доказывает, что полунепрерывна сверху на

Используя функцию расстояния, легко построить геодезическую максимальной длины от до в случае открытого Пусть — локально-причинная окрестность не содержащая и пусть такова, что функция максимизируется при Проведем из через точку х направленную в будущее геодезическую у. Для всех точек на у между их будет выполняться соотношение Допустим, что имеется точка являющаяся последней точкой на у, в которой это соотношение выполняется. Пусть - локально-причинная окрестность точки у, не содержащая и пусть точка такова, что достигает своего максимального значения при Если то

что невозможно. Отсюда видно, что соотношение

должно выполняться для всех Ввиду компактности кривая у должна покинуть в некоторой точке у. Допустим, тогда у должна лежать на направленной в прошлое изотропной геодезической с началом в Соединив у

с X, мы получили бы непространственноподобную кривую от до варьируя которую, можно было бы получить кривую более длинную, чем но это невозможно. Следовательно, геодезическая кривая от до длины

Следствие

Если — частичная -поверхность Коши, то к каждой точке можно провести направленную в будущее времениподобную геодезическую кривую длины ортогональную и не содержащую между сопряженную к 9 точку.

Согласно предложению не пересекают и, следовательно, не принадлежат

Поэтому и в силу предложения — глобально гиперболическое множество. По предложению компактно, и, следовательно, достигнет своего максимального значения в некоторой точке При этом между и будет существовать геодезическая кривая у длины которая, согласно лемме 4.5.5 и предложению 4.5.9, должна быть ортогональна к и не должна иметь между точку, сопряженную к