6.4. Условия причинности

Постулат (а) разд. 3.2 требует только локальной причинности; глобальные вопросы остаются при этом открытыми. Следовательно, мы не исключили такую возможность, что в больших масштабах могут найтись замкнутые времениподобные геодезические (т. е. времениподобные окружности 51). Но существование таких кривых, по-видимому, привело бы к возможности логических парадоксов: можно представить ситуацию, когда космонавт на звездолете может совершить круг по такой кривой и, возвратившись обратно к своему старту, помешать самому себе стартовать в первый раз. Конечно, здесь есть противоречие только с позиций элементарных представлений о свободе воли, но их не так легко отбросить, поскольку эти представления опираются на уверенность, что мы вольны осуществить любой возможный эксперимент. Не исключено, что можно построить теорию, в которой допускались бы замкнутые времениподобные кривые, а представление о свободе воли было бы как-то изменено (см., например, [150]), но проще представить себе, что пространство-время удовлетворяет требованию, которое мы называем хронологическим условием, а именно, чтобы в пространстве-времени не было замкнутых времениподобных кривых. Однако мы должны иметь в виду возможность существования точек (может быть, там, где плотность или кривизна очень велики), в которых это условие не выполняется. Множество всех таких точек будем называть множеством, нарушающим хронологию-, оно характеризуется следующим предложением:

Предложение 6.4.1 (Картер)

Множество многообразия нарушающее хронологию, есть объединение пересекающихся множеств вида

Если принадлежит множеству многообразия нарушающему хронологию, то должна существовать направленная в будущее времениподобная кривая X с конечными точками в прошлом и будущем в Если то найдутся направленные в прошлое и будущее времениподобные кривые соединяющие и Тогда будет направленной в будущее времениподобной кривой с конечными точками в прошлом и будущем Более того, если

то

Для завершения доказательства заметим, что каждая точка в которой нарушается хронология, принадлежит множеству

Предложение 6.4.2

Если компактно, то множество, нарушающее хронологию является непустым.

может быть покрыто открытыми множествами вида Если хронологическое условие выполняется в то Таким образом, если бы хронологическое условие выполнялось в каждой точке, нельзя было бы покрыть конечным числом множеств вида

Из полученного результата, по-видимому, разумно сделать вывод, что пространство-время некомпактно. Другой аргумент против компактности состоит в том, что никакое компактное четырехмерное многообразие с лоренцевой метрикой на нем не может быть односвязным. (Существование лоренцевой метрики означает, что характеристика Эйлера

Как известно, где число Бетти многообразия . В силу дуальности . Так как это означает, что откуда в свою очередь следует, что Таким образом, компактное пространство-время является в действительности компактным многообразием, в котором отождествлены некоторые точки. Представляется физически разумным не отождествлять точки, а считать, что пространством-временем является накрывающее пространство.

Мы будем говорить, что выполнено условие причинности, если не существует замкнутых непрострапственноподобных кривых. Аналогично предложению 6.4.1 имеем

Предложение 6.4.3

Множество точек, в которых нарушается условие причинности, есть объединение непересекающихся множеств вида

В частности, если в точке условие причинности нарушено, а хронологическое условие выполняется, должна существовать замкнутая изотропная геодезическая кривая проходящая через Пусть — аффинный параметр на у (рассматриваемый как отображение открытого интервала из на и пусть — последовательные значения и Тогда мы можем сравнивать в точке касательный вектор и касательный вектор полученный параллельным переносом при обходе по у. Поскольку оба вектора имеют одинаковое направление, то они должны быть пропорциональны Множитель а имеет следующий смысл: аффинное расстояние покрываемое при обходе по равно Отсюда при никогда не достигает значения , таким образом, кривая у геодезически неполна в будущем, несмотря на то, что можно совершить бесконечное число оборотов. Аналогично, если то у неполна в прошлом, в то время как при она полна в обоих направлениях. В двумерной модели пространства Тауба — НУТ, описанной в разд. 5.7, существуют замкнутые изотропные геодезические, которые служат примером случая с Поскольку множитель а является конформным инвариантом, эта неполнота не зависит от конформного множителя. Однако такого рода поведение может встретиться лишь при нарушении причинности в том или ином смысле; если выполняется условие сильной причинности (см. ниже), подходящее конформное преобразование метрики превращает все изотропные геодезические в полные [33].

Множитель а приобретает более широкий смысл в силу следующего результата.

Предложение 6.4.4

Пусть у — замкнутая изотропная геодезическая кривая, которая неполна в будущем; тогда найдется вариация у, которая сдвигает каждую точку у в будущее, и при этом получается замкнутая времениподобная кривая.

Согласно разд. 2.6, на можно построить поле линейных элементов , нормированное так, что Поскольку мы предполагаем, что ориентируемо во времени, можно согласованным образом выбрать одно из направлений и получить в результате направленное в будущее времениподобное векторное поле V. Тогда можно ввести

положительно-определенную метрику

Пусть — неаффинный параметр на у, который равен нулю в некоторой точке и для которого Тогда измеряет собственное расстояние вдоль у в метрике и пробегает значения Рассмотрим вариацию у с вектором вариации равным где х — функция Согласно разд. 4.5,

где Допустим теперь, что — аффинный параметр на Тогда будет пропорционален где После одного обхода по у вектор умножается на Следовательно,

Поэтому, если мы возьмем функцию равной

где то получим вариацию у в будущее и замкнутую времениподобную кривую.

Если

а) для любого изотропного вектора К;

б) выполняется типовое условие: каждая изотропная геодезическая с касательным вектором К содержит точку, в которой

в) в выполняется хронологическое условие, то в выполняется условие причинности.

Если бы существовали неполные замкнутые изотропные кривые, то в силу предыдущего предложения их можно было бы варьировать так, чтобы получить замкнутые времениподобные кривые. Если бы существовали полные замкнутые изотропные линии, то по предложению 4.4.5 они содержали бы сопряженные точки и, согласно предложению 4.5.12, их снова можно было бы варьировать к замкнутым времениподобным кривым,

Из этого видно, что в физически реалистических решениях условие причинности и хронологическое условие эквивалентны.

Рис. 37. (см. скан) Пространство, в котором всюду выполняются условие причинности и условие, выделяющее прошлое, но условие, выделяющее будущее, в или не выполняется (действительно, Наклон изотропных конусов на цилиндре увеличивается, пока одно изотропное направление не станет горизонтальным, и затем конусы снова выпрямляются; из пространства удалена полоса, так что она разрывает эту изотропную геодезическую, которая иначе была бы замкнута.

Подобно отказу от замкнутых времениподобных линий, представляется разумным исключить ситуации, в которых будут существовать непространственноподобные кривые, возвращающиеся сколь угодно близко к своей исходной точке или проходящие сколь угодно близко от таких непространственноподобных кривых, которые в свою очередь проходят бесконечно близко от исходной точки первой кривой и т. д. Картер [27] указал, что в

действительности имеется более чем счетная бесконечная иерархия таких условий причинности более высокого порядка; они зависят от числа и порядка рассматриваемых предельных процессов. Мы опишем первые три из этих условий и затем сформулируем предельно-сильное условие причинности.

Говорят, что в выполняется условие, выделяющее будущее (соответственно прошлое) [94], если в каждой окрестности содержится такая окрестность которую никакая направленная в будущее (соответственно в прошлое) из непространственноподобная кривая не пересекает более одного раза.

Рис. 38. Пространство-время, которое удовлетворяет условию причинности и условиям, выделяющим прошюе и будущее, но в точке не удовлетворяет условию сильной причинности. С поверхности цилиндра удалены Две полоски; световые конусы проходят под углом ±45°.

Эквивалентное утверждение состоит в том, что из равенства (соответственно из следует, что На рис. 37 дан пример ситуации, когда условие причинности и условие, выделяющее прошлое, выполнены всюду, но условие, выделяющее будущее, не выполняется в точке

Говорят, что в выполняется условие сильной причинности, если каждая окрестность содержит такую окрестность которую никакая непространственноподобная кривая не пересекает более одного раза. Пример нарушения этого условия дан на рис. 38.

Предложение

Если условия (а) — (в) предложения 6.4.5 выполнены и, кроме того,

г) — изотропно геодезически полное многообразие, то на выполняется условие сильной причинности.

Допустим, что в условие сильной причинности не выполняется. Пусть — нормальная выпуклая окрестность точки и пусть — бесконечная последовательность окрестностей таких, что любая окрестность содержит все с достаточно большими Тогда для каждого будет существовать направленная в будущее непространственноподобная кривая которая выйдет за пределы и затем вернется в По лемме 6.2.1 найдется непродолжимая непространственноподобная кривая X, которая будет предельной кривой для последовательности Никакие две точки X не могут иметь времениподобное разделение, иначе их можно было бы соединить некоторой так чтобы получилась замкнутая непространственноподобная кривая. Таким образом, X должна быть изотропной геодезической. Но по условиям должна содержать сопряженные точки и, следовательно, точки с времениподобным разделением.

Следствие

На будут выполняться также условия, выделяющие прошлое и будущее, ибо они содержатся в условии сильной причинности.

С этими тремя условиями причинности более высокого порядка тесно связано явление захвата. При построении направленной в будущее непространственноподобной кривой у, которая непродолжима в будущее, возможны следующие варианты:

1) кривая войдет и останется в компактном множестве

2) кривая не будет оставаться внутри какого-либо компактного множества, но будет постоянно возвращаться в компактное множество

3) кривая не останется внутри какого-либо компактного множества и не будет возвращаться более конечного числа раз в любое такое множество.

В третьем случае можно считать, что у уходит к краю пространства-времени, т. е. или на бесконечность, или в сингулярность. В первом и во втором случае мы будем говорить, что будущее у соответственно полностью или частично захвачено множеством Может показаться, что захват имеет место только при нарушении условия причинности, но пример, принадлежащий Картеру (рис. 39), показывает, что это не обязательно. Тем не менее справедливо следующее предложение:

Предложение 6.4.7

Если условие сильной причинности выполняется на компактном множестве то не может быть непродолжимых в будущее

непространственноподобных кривых с будущим, полностью или частично захваченным множеством .

9 можно покрыть конечным числом выпуклых нормальных координатных окрестностей с компактным замыканием, таких, что любую любая непространственноподобная кривая пересекает не более одного раза. (Такие окрестности мы будем называть окрестностями локальной причинности.)

Рис. 39. Пространство с захваченными непространственноподобными линиями но без замкнутых непространственноподобных линий. Многообразие представляет собой и описывается координатами , причем отождествляется с , где а — иррациональное число. Лоренцева метрика имеет вид — сечение показывающее ориентацию изотропных конусов; — сечение показывающее часть изотропной геодезической.

Любая непродолжимая в будущее непространственноподобная кривая, которая пересекает одну из этих окрестностей, должна ее покинуть и не возвращаться в нее.

Предложение 6.4.8

Если на компактном множестве выполняются условия, выделяющие будущее или прошлое, то может существовать непродолжимая в будущее иепространственноподобная кривая, дущее которой полностью захвачено . (Этот результат приведен здесь, поскольку он интересен сам по себе, но в дальнейшем он нам не понадобится.)

Пусть - счетный базис из открытых множеств в (т. е. любое открытое множество в можно

представить как некоторое объединение множеств Т). Поскольку на выполняется условие, выделяющее будущее или прошлое, любая точка будет иметь нормальную выпуклую координатную окрестность такую, что никакая направленная в будущее (соответственно в прошлое) непростраиственпоподобная кривая, выходящая из не пересекает более одного раза. Введем функцию равную наименьшему значению а, при котором Т содержит и сама содержится в некоторой окрестности

Допустим, что имеется непродолжимая в будущее непространственноподобная кривая с будущим, полностью заключенным в Пусть точка а такова, что содержится в . Определим как замкнутое непустое множество, состоящее из всех точек , которые являются предельными точками Пусть — та точка, в которой равна наименьшему значению на Тогда через можно провести непродолжимую непространственноподобную кривую каждая точка которой будет предельной точкой Никакие две точки не могут иметь времениподобное разделение, иначе некоторый сегмент К можно было бы деформировать так, чтобы получить замкнутую непространственноподобную кривую. Следовательно, будет непродолжимой изотропной геодезической, которая полностью захвачена в и в направлении будущего, и в направлении прошлого. Пусть — замкнутое множество, состоящее из всех предельных точек области (или, в случае выполнения на условия, выделяющего прошлое, поскольку каждая такая точка будет также и предельной точкой Ввиду того что не может содержать каких-либо предельных точек множества (соответственно будет точно меньше Так мы получим бесконечную последовательность замкнутых множеств Каждое не пусто, ибо является множеством всех предельных точек изотропной геодезической с будущим (соответственно с прошлым), полностью захваченным в (соответственно в . Пусть Поскольку компактно, — непустое множество: пересечение любого конечного числа множеств непусто. Допустим, Тогда для некоторого Но пусто, и поэтому не может принадлежать множеству а значит, и не может принадлежать Отсюда ясно, что существование непродолжимой в будущее непространственноподобной кривой с полностью захваченным в будущим невозможно.

Причинные отношения в можно использовать для введения на топологии, называемой топологией Александрова,

Эта топология, в которой по определению множество открыто в том и только в том случае, если оно является объединением одного или больше множеств вида открыто в топологии многообразия; поэтому любое множество, открытое в топологии Александрова, будет открытым и в топологии многообразия, хотя обратное не обязательно верно.

Рис. 40. Пространство, удовлетворяющее условию сильной причинности, в котором, однако, малейшее изменение метрики может привести к появлению замкнутых времениподобных линий, проходящих через . С поверхности цилиндра удалены три полоски; световые конусы проходят под углом ±45°.

Допустим, однако, что на выполняется условие сильной причинности. Тогда вокруг любой точки найдется окрестность локальной причинности Топология Александрова пары которая сама рассматривается как пространство-время, очевидно, совпадает с топологией многообразия в окрестности Отсюда следует, что топология Александрова многообразия совпадает с топологией многообразия, так как можно покрыть окрестностями локальной причинности. Это означает, что при выполнении условия сильной причинности топологическая структура пространства-времени может быть установлена изучением причинных соотношений.

Как видно из рис. 40, даже наложение условия сильной причинности не ликвидирует все причинные патологии; пространство-время находится на грани нарушения хронологического условия в том смысле, что малейшее изменение метрики может

привести к появлению замкнутых кривых. Такого рода ситуация не выглядит физически реалистической, поскольку общая теория относительности, по-видимому, является классическим пределом еще неизвестной квантовой теории пространства-времени, а в этой теории принцип неопределенности должен воспрепятствовать тому, чтобы метрика имела точное значение в каждой точке.

Рис. 41. (см. скан) Открытое множество в открытой -топологии на пространстве симметричных тензоров типа (0,2) на .

Поэтому, чтобы быть физически осмысленным, то или иное свойство пространства-времени должно обладать определенного рода устойчивостью, т. е. этим свойством должны обладать и «близкие» пространства. Для придания точного смысла слову «близкий» необходимо задать некоторую топологию на множестве всех пространств-времен, т. е. всех некомпактных четырехмерных многообразий и лоренцевых метрик на них. Мы не будем касаться проблемы объединения многообразий с различными топологиями в односвязное топологическое пространство, а рассмотрим лишь введение топологии в множество всех лоренцевых С-метрик на данном многообразии. Это можно сделать разными способами в зависимости от того, требуем ли мы, чтобы

«близкая» метрика была близка только по своим значениям (-топология) или же еще и по производным до порядка (С-топология), а также от того, требуется ли близость везде (открытая топология) или только на компактных множествах (компактная открытая топология).

Для наших целей интересна открытая -топология. Ее можно определить следующим образом. Пространства симметричных тензоров типа в каждой точке образуют многообразие (с естественной структурой). — расслоение симметричных тензоров типа над Лоренцева метрика на есть установление соответствия Между некоторым элементом и каждой точкой , следовательно, ее можно рассматривать как такое отображение или сечение для которого где — проекция , переводящая в Пусть — открытое множество в и пусть — множество всех лоренцевых -метрик таких, что содержится в (рис. 41). Тогда открытое множество лоренцевых С-метрик в открытой -топологии определяется как объединение одного или более множеств вида

Будем говорить, что на выполняется условие устойчивой причинности, если пространственно-временная метрика имеет такую открытую окрестность в открытой -топологии, что в любой метрике, принадлежащей этой окрестности, нет замкнутых времениподобных кривых. Использование О-топологии не привело бы к отличиям, но компактная открытая топология недопустима, так как в ней каждая окрестность любой метрики содержит замкнутые времениподобные кривые. Другими словами, условие устойчивой причинности означает, что в каждой точке можно слегка расширить световой конус, не получая при этом замкнутых времениподобных кривых.

Предложение 6.4.9

Условие устойчивой причинности выполняется всюду в если и только если существует функция на градиент которой всюду времениподобен.

Замечание. Функцию можно мыслить как род космического времени в том смысле, что она возрастает вдоль каждой направленной в будущее непространственноподобной кривой.

Доказательство. Из существования функции с везде времениподобным градиентом следует условие устойчивой причинности, поскольку замкнутые времениподобные линии невозможны в любой метрике которая близка к настолько, что изотропный конус каждой точки в метрике пересекает проходящую

через поверхность только в Чтобы показать справедливость обратного утверждения, введем на объемную меру не связана с объемной мерой, задаваемой метрикой по которой полный объем равен единице. Один из способов введения этой меры состоит в следующем: выберем для счетный атлас в котором компактно в Пусть естественная евклидова мера на и пусть разложение единицы для атласа Тогда можно определить как

Теперь, если выполняется условие устойчивой причинности, найдется семейство лоренцевых С-метрик со следующими свойствами:

1) является пространственно-временной метрикой

2) для каждого в метрике нет замкнутых времениподобных кривых;

3) если то каждый вектор, непространственноподобный в метрике будет времениподобным в метрике

Пусть объем области по мере , где через обозначено прошлое относительно в метрике Для данного значения будет ограниченной функцией, возрастающей вдоль каждой непространственноподобной кривой. Однако эта функция может не быть непрерывной: как видно из рис. 42, может оказаться, что небольшое изменение положения позволяет наблюдателю увидеть прошлое за «ширмой» и таким образом увеличить объем прошлого. Следовательно, нам нужно каким-то образом сгладить так, чтобы получить непрерывную функцию, возрастающую вдоль каждой направленной в будущее и непространственноподобной в метрике кривой. Это можно сделать, проводя усреднение по области изменения а. Пусть

покажем, что непрерывна на

Сначала нужно показать, что полунепрерывна сверху. Зададим пусть — шар с центром в такой, что объем по мере меньше, чем По свойству (3) для в I найдется окрестность точки для которой

Пусть положительное целое число, большее чем Тогда мы определим множество является окрестностью и содержится в при любом

Рис. 42. Небольшой сдвиг точки из в приводит к большому изменению объема прошлого этой точки. Световые конусы проходят под углом удалена полоска.

Поэтому будет содержаться в — если . Отсюда

и, следовательно, из чего видно, что полунепрерывна сверху. Аналогично доказывается, что она полунепрерывна снизу. Чтобы получить дифференцируемую функцию, можно усреднить 0 с подходящей сглаживающей функцией по окрестности каждой точки. Выбирая достаточно малую окрестность, можно получить функцию градиент которой везде времениподобен по метрике Детали этой процедуры сглаживания можно найти в работе [167].

Пространственноподобные поверхности можно рассматривать в качестве поверхностей одновременности в пространстве-времени, хотя они, конечно, не единственны. Если эти поверхности компактны, то они все диффеоморфны одна другой, но это не обязательно справедливо, если некоторые из них некомпактны.