4.3. Энергетические условия

В реальной Вселенной тензор энергии-импульса будет состоять из вкладов большого числа различных материальных полей. Поэтому, даже если нам были бы известны точный вид вклада каждого поля в отдельности и его уравнения движения, было бы слишком сложно выписать точное выражение для тензора энергии-импульса. В самом деле, мы весьма смутно представляем поведение материи в условиях предельно высоких давлений и плотностей. Таким образом, может показаться, что мало надежды на предсказание существования сингулярностей во Вселенной по уравнениям Эйнштейна, поскольку их правая часть нам неизвестна. Однако, по-видимому, имеются основания для того, чтобы потребовать выполнения определенных неравенств для тензора энергии-импульса. В этом разделе мы собираемся рассмотреть эти неравенства. Оказывается, что во многих ситуациях их достаточно для того, чтобы независимо от вида тензора энергии-импульса доказать наличие сингулярностей.

Первым из этих неравенств является

Слабое энергетическое условие

Тензор энергии импульса в каждой точке удовлетво ряет неравенству при любом времениподобном векторе Вследствие непрерывности это условие будет справедливо и для любого изотропного вектора

Наблюдателю, мировая линия которого имеет единичным касательным вектором V, локальная плотность энергии кажется равной Следовательно, наше неравенство эквивалентно утверждению, что локальная плотность энергии, измеренная каким-либо наблюдателем, неотрицательна. С точки зрения физики это представляется весьма разумным. Для дальнейшего выяснения смысла этого неравенства воспользуемся тем обстоятельством, что в точке компоненты тензора энергии-импульса в базисе (с времениподобным можно представить в одной из четырех канонических форм.

Это тот общий случай, когда тензор энергии-импульса обладает времениподобным собственным вектором и притом единственным, за исключением случая, когда Собственное значение представляет собой плотность энергии по измерениям наблюдателя, мировая линия которого в точке имеет касательным вектором собственные значения являются главными значениями давления в трех пространственноподобных направлениях Таков вид энергии-импульса для всех наблюдаемых полей с ненулевой массой покоя, а также и для всех полей с нулевой массой покоя, за исключением одного особого случая, когда мы имеем каноническую форму типа II.

В этом особом случае тензор энергии-импульса имеет двукратный собственный вектор Единственный наблюдаемый случай такой формы — когда безмассовое поле представляет собой излучение, целиком распространяющееся в направлении . В этом случае равны нулю.

Это — особый случай, в котором тензор энергии-импульса обладает трехкратным изотропным собственным вектором Полей, обладающих тензором энергии такого вида, не обнаружено.

Это — общий случай, когда у тензора энергии-импульса нет времениподобных или изотропных собственных векторов. Наблюдаемых полей с тензорами энергии-импульса такого вида тоже не существует.

Для типа I слабое энергетическое условие будет выполняться при . Для типа II оно будет выполнено, если Эти неравенства являются весьма разумными, и им удовлетворяют все экспериментально обнаруженные поля. Для физически нереализующихся типов III и IV слабое энергетическое условие не выполняется.

Этому условию удовлетворяет также скалярное поле постулированное Брансом и Дикке [39]. От этого поля требуется, чтобы оно всюду было положительным. Его тензор энергии-импульса имеет вид (3.6), причем Тензор энергии-импульса всех других полей отличается в раз от того, что было бы, если бы это скалярное поле не существовало.

Слабое энергетическое условие не выполняется для «С-поля», предложенного Хойлом и Нарликаром [82], которое также является скалярным полем с только на этот раз тензор энергии-импульса имеет противоположный знак и, следовательно, плотность энергии отрицательна. Ввиду этого возможно одновременное рождение квантов полей с положительной энергией и С-поля с отрицательной энергией. Этот процесс происходит в стационарной модели Вселенной, предложенной Хойлом и Нарликаром, в которой по мере разлета частиц вследствие общего расширения Вселенной непрерывно рождается новое вещество, так что поддерживается постоянная средняя плотность. Однако подобный процесс вызывает трудности с точки зрения квантовой механики. Даже если сечение такого процесса очень мало, наличие бесконечного фазового объема для квантов положительной и отрицательной энергии привело бы к рождению бесконечного числа пар в конечной области пространства-времени.

Такой катастрофы не случится, если выполняется слабое энергетическое условие. Существует также несколько более сильное условие, при котором невозможно рождение материи в том смысле, что пространство-время остается пустым все время, если оно пустое в какой-либо момент времени, и никакая материя не поступает из бесконечности; наоборот, материя, имеющаяся в какой-то момент времени, не может исчезнуть и, таким образом, присутствует всегда. Этим условием является

Условие энергодоминантности

Для любого времениподобного — непространственноподобный вектор.

Это условие можно интерпретировать следующим образом: любой наблюдатель видит, что локальная энергия неотрицательна, а локальный поток энергии непространственноподобен. Эквивалентным этому является утверждение, что в любом ортонормированием базисе энергия доминирует над другими компонентами т. е.

Это условие выполняется для типа I при и для типа II при

Рис. 9. Компактная область пространства-времени с невремениподоб ными границами прошлого и будущего и времениподобпой границей — часть лежащая в прошлом поверхности (определяемой значением

Другими словами, условие энергодоминантности представляет собой слабое энергетическое условие, дополненное требованием, чтобы давление не превышало плотности энергии. Ему удовлетворяют все известные формы материи и имеются серьезные основания предполагать, что оно выполняется во всех ситуациях. Дело в том, что скорость звуковых волн, распространяющихся в направлении равна скорости света, умноженной на Значит, должно быть справедливо неравенство ибо, согласно постулату (а) разд. 3.2, никакой сигнал не может распространяться быстрее света. Отсюда следует, что поскольку для любой известной формы материи давления малы, когда малы плотности. (Блудман и Рудерман [8, 9] показали, что могут быть поля, для которых перенормировка массы может привести к тому, что давление будет больше

плотности энергии. Однако, на наш взгляд, это скорее говорит против теории перенормировок, чем в пользу возможности такой ситуации.)

Рассмотрим теперь ситуацию, изображенную на рис. 9, когда имеется -функция градиент которой всюду времениподобен. (В разд. 6.4 будет показано, что такая функция существует, если только пространство-время не слишком близко к нарушению причинности.) Граница компактной области состоит: 1) из части нормальная форма которой непространственноподобна и такая, что на из части нормальная форма которой непространственноподобна, но и 3) из остальной части (которая может быть пуста). Знак нормальной формы получается из требования, чтобы было положительным для всех векторов X, которые направлены наружу (ср. с разд. 2.8); означает поверхность область в в которой Для дальнейшего использования в разд. 7.4 мы установим одно неравенство, которое выполняется не только для но и для любого симметричного тензора удовлетворяющего условию энергодоминаптности. В приложении к тензору энергии-импульса это неравенство будет означать, что он обращается в нуль всюду в если он равен нулю на и на начальной поверхности

Лемма 4.3.1.

Существует некоторая положительная постоянная Р, такая, что для любого тензора удовлетворяющего условию энергодоминантности и обращающегося в нуль на

Рассмотрим интеграл по объему

По теореме Гаусса его можно преобразовать в интеграл по границе области

Граница состоит из Поскольку

В силу условия энергодоминантности существует непространственноподобный вектор . Так как нормальная форма на непространственноподобна и то второй член в правой части неотрицателен. Следовательно,

В силу компактности в любом ортонормированном базисе с времениподобным вектором, направленным по существует некоторая верхняя граница для компонент Значит, существует такое что в

для любого удовлетворяющего условию энергодоминантности. Интеграл по можно представить в виде поверхностного интеграла по с последующим интегрированием по

где — элемент поверхности Итак,

Из этого результата сразу следует Теорема сохранения

Если тензор энергии-импульса удовлетворяет условию энергодоминантности и равен нулю на и на начальной поверхности тогда он равен нулю всюду в

Допустим, что

Тогда по лемме 4.3.1 получаем Но при достаточно малых значениях не пересекает и, следовательно, Тогда при всех , следовательно,

Из теоремы сохранения следует, что тензор энергии-импульса, равный нулю на множестве равен нулю также на области Коши будущего, которая по определению есть множество всех точек, обладающих тем свойством (рис. 10), что любая проходящая через них непространственноподобная кривая, направленная в прошлое, пересекает (ср. с разд. 6.5).

Рис. 10. Область Коши будущего пространственноподобного множества

Действительно, если — какая-нибудь точка то область расположенная в прошлом компактна (предложение 6.6.6), и ее можно взять в качестве Этот результат можно интерпретировать в том смысле, что из условия энергодоминантности следует невозможность движения материи быстрее света.

Значение слабого энергетического условия для нашего исследования сингулярностей состоит в том, что из него следует вывод о фокусирующем (точнее недефокусирующем) действии материи на конгруэнции изотропных геодезических. Если нет вращения, расхождение 0 подчиняется уравнению

Таким образом, в этом случае монотонно убывает вдоль изотропной геодезической, если для любого изотропного вектора Назовем это условие условием изотропного схождения. Из уравнений Эйнштейна

следует, что условие изотропного схождения независимо от значения Л содержится в слабом энергетическом условии.

Из (4.26) можно получить, что расхождение 0 времениподобной геодезической конгруэнции будет монотонно убывать вдоль геодезической, если для любого времениподобного Это условие назовем условием времениподобного схождения. В силу уравнений Эйнштейна оно удовлетворяется, если для тензора энергии-импульса выполняется неравенство

Для типа I это имеет место при

а для типа II - при

Будем говорить, что тензор энергии-импульса удовлетворяет сильному энергетическому условию, если приведенное неравенство выполняется при Это требование сильнее слабого энергетического условия, и все же в приложении к полному тензору энергии-импульса оно физически обосновано. Действительно, в общем случае (тип I) оно нарушается только наличием отрицательной плотности энергии или большого отрицательного давления (например, для идеальной жидкости плотностью нарушение может произойти только при атм). Это условие выполняется для электромагнитного поля и безмассового скалярного поля (в частности, для скалярного поля Бранса — Дикке). Для скалярного поля с ненулевой массой тензор энергии-импульса имеет вид (разд. 3.3)

Отсюда, если — единичный времениподобный вектор, имеем

т. е. это выражение может быть отрицательным. Однако из уравнений скалярного поля следует

Учитывая это соотношение в (4.37) и интегрируя по некоторой области получаем

Первый член неотрицателен, ибо есть положительно-определенная метрика, а второй член мал по сравнению с первым, если область велика по сравнению с длиной волны Для -мезонов, которые классически можно описывать скалярным полем, см. Итак, хотя тензор энергии-импульса -мезонов может и не удовлетворять сильному энергетическому условию в каждой точке, это не будет влиять на схождение времениподобных геодезических на расстояниях, превышающих см. Возможно, такое нарушение сильного энергетического условия привело бы к тому, что теоремы о сингулярностях (гл. 8) теряли бы справедливость при радиусе кривизны меньше см, но при этом кривизна столь велика, что ее можно было бы с успехом принять за сингулярность (разд. 10.2).