3.4. Уравнения поля

До сих пор мы не конкретизировали метрику . В специальной теории относительности, которая не рассматривает гравитационные эффекты, принимается, что метрика плоская. Однако наблюдения показали, что лучи света, проходящие вблизи Солнца, отклоняются от своего первоначального направления. Поскольку световые лучи представляют собой изотропные геодезические, отсюда следует, что пространственно-временная метрика не может быть плоской или хотя бы конформной плоской метрике. Поэтому нам нужно иметь какой-то рецепт вычисления кривизны пространства-времени. Оказывается, его можно сформулировать так, чтобы в пределе малой, медленно изменяющейся кривизны воспроизводились результаты ньютоновской теории тяготения. Поэтому нет необходимости во введении какого-либо дополнительного поля для описания тяготения. Это не означает, что дополнительного поля, ответственного за часть гравитационных эффектов, вообще не может быть. Такого рода скалярное поле было введено Иорданом [86] и Брансом и Дикке [39]. Причем, как отмечено выше, такое дополнительное поле можно было бы рассматривать просто как еще один вид материального поля и включить в полный тензор энергии-импульса. Поэтому мы придерживаемся того взгляда, что поле тяготения описывается только пространственно-временной метрикой. Тогда возникает проблема нахождения полевых уравнений, связывающих метрику с распределением материи.

Эти уравнения должны быть тензорными уравнениями, учитывающими материю только через ее тензор энергии-импульса, т. е. они не выявляют различий между двумя различными материальными полями, которые имеют одинаковые распределения энергии и импульса. Данное условие можно рассматривать как обобщение ньютоновского принципа равенства активной гравитационной массы тела (массы, создающей поле тяготения) пассивной гравитационной массе (массе, на которую действует поле тяготения). Экспериментально это равенство было проверено Кройцером [93].

Чтобы установить, какими должны быть искомые уравнения поля, рассмотрим предельный ньютоновский случай. Поскольку в ньютоновское уравнение гравитационного поля время не входит, соответствие с ньютоновской теорией нужно устанавливать в статической метрике. Под статической метрикой подразумевается метрика, которая допускает времешшодобное векторное поле Киллинга К, ортогональное к семейству пространствепно-подобных поверхностей. Эти поверхности можно рассматри вать как поверхности постоянного времени и отмечать их пара метром Введем единичный времениподобный вектор где Тогда где описывает отклонение от геодезичиости интегральных кривых вектора V (которые, конечно, одновременно являются интегральными кривыми вектора К). Заметим, что

Эти интегральные кривые определяют статическую систему отсчета; иными словами, для частицы, история которой представлена одной из этих кривых, пространственно-временная рика кажется не зависящей от времени. Частица, выведенная из состояния покоя и движущаяся по геодезической, выглядела бы: так, как будто она получила начальное ускорение —V относительно этой статической системы отсчета. Если лишь незначительно отличается от единицы, начальное ускорение выведенной из покоя свободно движущейся частицы приблизительно равно градиенту взятому со знаком минус. Это наводит на мысль, что в качестве величины, аналогичной ньютоновскому гравитационному потенциалу, следует рассматривать

Уравнение для этого потенциала можно вывести, рассматривая дивергенцию

Однако

и

так что имеем

Левая часть есть лапласиан относительно метрики, индуцированной на -поверхности Если эта метрика почти плоская, то мы получим ньютоновский лапласиан потенц вала. Таким образом, мы получим согласие с теорией Ньютона в предельном случае слабого поля (т. е. когда если правая часть будет равна плотности материи, умноженной на плюс

члены, которые малы в предельном случае слабого поля. Это будет иметь место при условии, что существует соотношение вида

где — тензорная функция тензора энергии-импульса и метрики, такая, что равно плотности материн плюс члены, которые малы в ньютоновском приближении. Допустим на время, что имеется соотношение такого вида.

Поскольку удовлетворяет свернутым тождествам Бианки из (3.11) следует

Отсюда видно, что кажущееся естественным уравнение не может быть правильным, так как и уравнений сохранения Таь-ь мы получили бы, что Для идеальной жидкости это означало бы, что во всем пространстве-времени — условие, которому в общем случае жидкость удовлетворять не может.

В действительности из тех тождеств, которым удовлетворяет тензор энергии-импульса, законами сохранения являются в общем случае только тождества первого порядка. Отсюда следует, что тензорной функцией тензора энергии-импульса и метрики, для которой тождества (3.12) выполняются при любом тензоре энергии-импульса, может быть только функция

где к и Л — некоторые постоянные. Значения этих постоянных можно определить из ньютоновского приближения. Рассмотрим идеальную жидкость с плотностью энергии и давлением линии тока которой являются интегральными кривыми вектора Киллинга (т.е. жидкость покоится в статической системе отсчета). Ее тензор энергии-импульса имеет вид (3.8). Подставляя его в (3.13) и (3.11), получим

В ньютоновском пределе давление обычно весьма мало в сравнении с плотностью энергии. (Мы пользуемся единицами, в которых скорость света равна единице. Если единицы таковы, что скорость света равна с, выражение следует заменить на Следовательно, приближенное согласие с ньютоновской теорией будет достигнуто, если а постоянная очень мала. Мы будем пользоваться единицами массы, в

которых . В этих единицах масса соответствует длине 1 см. Из наблюдений удаленных галактик, выполненных Сендейджем [145, 146], вытекают ограничения на порядка Обычно мы будем принимать но следует помнить о возможности иных значений.

Теперь можно проинтегрировать (3.14) по компактной области -поверхности и преобразовать левую часть в интеграл от градиента но граничной -иоверхности

где — элемент объема -поверхности в индуцированной метрике и — элемент площади -поверхности на этой -поверхности. Это приводит к аналогу формулы Ньютона для полной массы, заключенной внутри -поверхности. Есть, однако, два важных отличия от ньютоновского случая:

1. В интеграле в правой части появляется множитель это означает, что материя, находящаяся в области, где значительно меньше единицы (большой отрицательный ньютоновский потенциал), дает меньший вклад в полную массу, чем материя из области, где почти равно единице (малый отрицательный ньютоновский потенциал).

2. Давление дает вклад в полную массу; это означает, что в определенных условиях оно может способствовать, а вовсе не препятствовать гравитационному коллапсу.

Уравнения

называются уравнениями Эйнштейна, и часто их записывают в следующей эквивалентной форме:

Поскольку тензоры в обеих частях симметричны, эти уравнения образуют систему десяти связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для метрики и ее первых и вторых производных. Однако ковариантные дивергенции левой и правой частей тождественно равны нулю, т. е.

и

независимо от уравнений поля. Таким образом, в действительности уравнения поля содержат только шесть независимых дифференциальных уравнений для метрики. Это как раз то число уравнений, которое нужно для задания геометрии пространства-времени: четыре из десяти компонент метрики могут быть приведены к произвольным значениям при использовании четырех степеней свободы в виде координатных преобразований. К этому выводу можно прийти и другим путем: две метрики на многообразии задают ту же самую геометрию, если существует диффеоморфизм 0, переводящий поэтому уравнения поля должны определять метрику с точностью до класса эквивалентности относительно диффеоморфизмов, в выборе которых имеются четыре степени свободы.

В гл. 7 мы рассмотрим задачу Коши для уравнений Эйнштейна и покажем, что последних вместе с уравнениями для материальных полей при подходящих начальных данных достаточно для определения эволюции пространства-времени и что они удовлетворяют постулату причинности (а) (стр. 72).

Уравнения Эйнштейна могут быть выведены из требования стационарности действия

при вариации Здесь — лагранжиан материи и А — подходящая постоянная. Действительно,

последний член можно переписать в виде

Отсюда интеграл от этого члена можно преобразовать в интеграл по границе который обращается в нуль потому, что на Поэтому

и если обращается в нуль при всех мы получаем уравнения Эйнштейна, положив

Может возникнуть вопрос, нельзя ли, варьируя действие, полученное из какой-либо другой комбинации метрического тензора и тензора кривизны, получить другую разумную систему уравнений. Однако скалярная кривизна — единственный скаляр, который линеен по вторым производным метрического

тензора, так что только этом случае можно выделить поверхностный интеграл и получить уравнение, содержащее производные метрики не выше второго порядка. Если же исходить из какого-либо другого скаляра, например или то получится уравнение, содержащее четвертые производные метрического тензора. Это обстоятельство нежелательно, ибо все прочие уравнения физики первого или второго порядка. Если бы уравнения были четвертого порядка, то для описания эволюции метрики пришлось бы задавать начальные значения не только метрики и ее первых производных, но также значения вторых и третьих производных.

Мы будем предполагать, что уравнения поля не содержат производных метрики выше второго порядка. Если эти уравнения выводятся из какого-либо лагранжиана, то действие обязательно должно иметь вид (3.16). Однако можно получить систему уравнений, отличную от эйнштейновской, если наложить ограничения на вид вариаций при которых мы требуем стационарности действия. Скажем, можно было бы ограничиться метриками, конформными к плоской метрике, т. е. положить

где — плоская метрика специальной теории относительности. Тогда

и действие будет стационарным при условии, что

при всех , т. е. если

Из (2.30)

где означает ковариаитное дифференцирование относительно плоской метрики Для статической метрики вдоль интегральных кривых вектора Киллинга К (т. е. не будет зависеть от времени будет пропорционален Поэтому

Таким образом, лапласиан будет равен плюс член, пропорциональный квадрату градиента Этим последним членом в слабом поле можно пренебречь. Согласно уравнениям поля

Для идеальной жидкости Следовательно, согласие с ньютоновской теорией достигается, если Л мало или равно нулю и

Эта теория, в которой на метрику наложено условие, чтобы она была конформно-плоской, известна как теория Нордсгрема. Ее можно переформулировать как теорию, в которой метрика плоская, а гравитационное взаимодействие представлено добавочным скалярным полем Как упоминалось ранее, такого рода теория не согласуется с наблюдаемым отклонением луча света массивными объектами и не может объяснить измеренное смещение перигелия Меркурия.

Наблюдаемые значения этих величин (отклонения луча и смещения перигелия Меркурия) можно было бы получить при следующем ограничении на вид метрики:

где — произвольное поле -формы. В этом случае ньютоновский предел имел бы место в статической метрике, в которой параллельно времениподобному вектору Киллинга. Однако могла бы существовать и другая статическая метрика, в которой не параллельно вектору Киллинга, и она не приводила бы к ньютоновскому пределу. Кроме того, это ограничение выглядит довольно искусственным. Представляется более естественным не накладывать иных ограничений на метрику, кроме требования, чтобы она была лоренцевой.

Поэтому в качестве нашего третьего постулата мы примем:

Постулат (в): Уравнения поля

На многообразии удовлетворяются уравнения поля Эйнштейна (3.15).

Предсказания этих уравнений согласуются в пределах ошибок эксперимента с выполненными до настоящего времени наблюдениями отклонения луча света и сдвига перигелия Меркурия. В то же время пока остается открытым вопрос, существует ли дальнодействующее скалярное ноле, которое нужно было бы включить в тензор энергии-импульса.