Главная > Крупномасштабная структура пространства-времени
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.3. Описание сингулярностей

Приведенные выше теоремы свидетельствуют о наличии сингулярностей в широком классе решений, но содержат мало информации о природе этих сингулярностей. Чтобы исследовать этот вопрос более детально, нужно определить, что подразумевать под размерами, формой, местонахождением и прочими характеристиками сингулярности. Это было бы совсем легко, если бы сингулярные точки включались в пространственно-временное многообразие. Однако установление структуры многообразия в таких точках физическими измерениями было бы невозможно. В самом деле, может существовать много структур многообразия, совпадающих в регулярных областях, но различающихся в сингулярных точках. К примеру, в решении Робертсона — Уокера многообразие в окрестности сингулярности можно описать координатами

или координатами

В первом случае сингулярностью будет трехмерная поверхность, а во втором — единственная точка.

Выход заключается в том, чтобы разработать рецепт построения некоторой границы многообразия которая однозначно устанавливается измерениями в несингулярных точках, т. е. структурой Затем было бы желательно задать по меньшей мере топологию, а может быть, и дифференцируемую структуру в пространстве Одним из подходов мог бы служить метод неразложимых множеств для бесконечности, описанный в разд. 6.9. Но этот метод зависит лишь от конформной метрики и потому не позволяет отличить бесконечность от сингулярных точек на конечном расстоянии. Чтобы такое различие существовало, по-видимому, нужно при построении

исходить из того критерия, которым мы пользовались при доказательстве существования сингулярностей, а именно из -неполноты. Изящный метод такого построения был разработан Шмидтом. Этим методом перекрываются более ранние конструкции Хокинга [72] и Герока [53], в которых сингулярные точки определяются как классы эквивалентности неполных геодезических. В этих конструкциях не требуется, чтобы все -неполные кривые (скажем, неполные времениподобные кривые с ограниченным ускорением) обязательно имели конечные точки. В определении классов эквивалентности имеется некоторая неоднозначность. Конструкция Шмидта не страдает этими недостатками.

Метод Шмидта состоит в задании положительно определенной метрики на расслоении ортонормированных реперов Здесь О -множество всех ортонормированных четверок векторов для каждого (а пробегает значения от 1 до 4), а проекция, которая отображает базис в точке в саму точку Оказывается, что множество неполно по метрике если и только если многообразие -неполно. Если -неполно, можно с помощью фундаментальных последовательностей образовать пополнение до метрического пространства. Проекция может быть продолжена на и тогда фактор-пространство по есть по определению многообразие которое является объединением с множеством дополнительных точек д. Множество состоит из сингулярных точек многообразия в том смысле, что оно является множеством конечных точек всех -неполных кривых.

Чтобы выполнить построение, вспомним (разд. 2.9), что связность на задаваемая метрикой определяет четырехмерное горизонтальное подпространство Ни десятимерного касательного пространства в точке Таким образом, представляет собой прямую сумму подпространства и вертикального подпространства состоящего из всех векторов в которые касательны к слою Теперь мы построим базис для где А пробегает значения от 1 до от 1 до есть базис для Ни, и — базис для

Для данного вектора существует единственный вектор удовлетворяющий условию . Следовательно, на однозначно определены четыре горизонтальных векторных поля которые являются горизонтальными лифтами ортонормированных базисных векторов для каждой точки Интегральные кривые поля соответствуют параллельному перенесению базиса вдоль геодезической в направлении вектора Группа мультипликативная группа всех несингулярных действительных

лоренцевых -матриц , действует в слоях 0 множества переводя точку в точку Можно рассматривать О (3,1) как шестимерное многообразие и при этом описывать касательное пространство в единице группы векторным пространством всех -матриц а, обладающих свойством Тогда при а мы можем определить кривую в через где

Отсюда, если то в можно задать кривую, проходящую через и, полагая Поскольку кривая лежит в слое, ее касательный вектор вертикален. Поэтому для каждого можно определить вертикальное векторное поле :

для всякого Пусть есть базис в тогда представляют собой шесть векторных полей на и могут служить базисом для в каждой точке

Матрица задает отображение вида При индуцированном отображении вертикальные и горизонтальные векторные поля преобразуются следующим образом:

где базис в дуальный базису (следовательно, Для дальнейшего будет важна не конкретная форма этих индуцированных отображений, а их свойство быть постоянными на

Теперь у нас есть базис в каждой точке Поэтому мы можем задать положительно-определенную метрику на соотношением где и — компоненты X и в базисе Используя метрику можно ввести функцию расстояния , где как нижнюю грань длин кривых от и до и (измеренных по метрике ). Тогда можно поставить вопрос: является ли полным множеством относительно функции расстояния

Предложение 8.3.1

является -полным пространством тогда и только тогда, когда пространство-время -полно.

Пусть -некоторая кривая в Тогда, если задана точка где можно построить горизонтальную кривую которая проходит через и и для которой определения положительно-определенной метрики следует, что длина дуги измеренная по этой метрике, равна обобщенному аффинному параметру определяемому тем базисом в точке изображением которого является точка . Поэтому, если нет конечной точки, но длина ее, измеренная по обобщенному аффинному параметру, конечна, то тоже нет конечной точки, но конечна длина по метрике . Таким образом, -полиота множества означает -полноту в многообразии

Чтобы доказать обратное, нужно показать, что для С-кривой конечной длины в не имеющей конечной точки, является С-кривой в со следующими свойствами:

1) у нее конечная аффинная длина;

2) у нее нет конечных точек в

Свойство (1) доказывается следующим образом. Пусть Тогда через и можно провести горизонтальную кривую такую, что Для каждого значения будут лежать в одном и том же слое, так что в будет единственная кривая для которой Это означает, что

где Отсюда

где базис дуальный базису — базис дуальный базису Матрица удовлетворяет равенству Отсюда

так как Дифференцируя по имеем

Таким образом, Поскольку матрицы образуют базис существует такая постоянная С, что

Любая матрица может быть представлена в виде где

и и ортогональные матрицы вида

причем — ортогональные -матрицы, а векторы базиса (Е пронумерованы так, что — времениподобный вектор. Матрица соответствует изменению скорости в направлении а матрицы и соответствуют вращениям. При таком разложении

Для любого векторного поля

Следовательно,

Отсюда

и поэтому

Пусть — наименьшая верхняя грань для на

Тогда

где длина кривой к по метрике е. Так как ома конечна, должны быть конечны Следовательно, аффинная длина кривой равная будет конечна.

В завершение доказательства предложения 8.3.1 мы должны показать, что нет такой точки в любую окрестность которой входит и остается там кривая Поскольку точка обладает нормальной окрестностью, это вытекает из следующего утверждения:

Предложение 8.3.2 (Шмидт [147])

Пусть — компактное подмножество многообразия Допустим, что в имеется кривая конечной длины и без конечных точек, которая входит в и остается там. Тогда существует непродолжимая изотропная геодезическая у, целиком содержащаяся в

Пусть — горизонтальная кривая, проходящая через некоторую точку причем Кривая не имеет конечной точки. Допустим, что есть точка которая является конечной точкой горизонтальной кривой Тогда должна существовать такая открытая окрестность точки с компактным замыканием, что входит в нее и остается там. Пусть — множество для всех матриц . В силу компактности и ограниченности множество должно быть компактным. Кривая войдет в и останется в нем. Но любое компактное множество -полно относительно положительно определенной метрики е. Следовательно, кривая обладая конечной длиной, должна будет иметь конечную точку в Из этого видно, что у кривой нет конечной точки.

Пусть — последовательность точек на не имеющая какой-либо предельной точки. Поскольку компактное множество, найдется точка которая является предельной точкой Пусть — нормальная окрестность точки х с компактным замыканием, и пусть — сечение над ортонормированный базис в Пусть при Тогда, как и в предыдущем предложении, будет существовать единственное семейство матриц такое, что и матрицы А можно представить в виде Допустим, что имеет конечную верхнюю грань , где — подпоследовательность последовательности сходящаяся к Тогда точки должны принадлежать множеству и с при некоторой матрице с

Однако множество должно быть компактным и потому должно содержать предельную точку последовательности что противоречит нашему выбору Таким образом, не имеет конечной верхней грани. Поскольку ортогональная группа компактна, мы можем выбрать такую подпоследовательность что Отбудет сходиться к некоторой матрице к некоторой и т. д.); и

для некоторой постоянной а.

Пусть

Тогда стремится к Поскольку длина кривой конечна, кривая тоже имеет конечную длину. Это означает, что стремится к нулю интеграл

где

и

Следовательно,

стремится к нулю при каждом А. Компоненты касательного вектора к горизонтальной кривой равны

Поэтому

стремится к нулю.

Пусть интегральная кривая горизонтального векторного поля проходящая через Тогда будет изотропной геодезической в Допустим, что выходит из как в

направлении будущего, так и в направлении прошлого. Тогда найдется некоторая окрестность точки х с компактным замыканием и с тем свойством, что в каждом из этих направлений покидает множество где существует для которой Окрестность Т можно выбрать настолько малой, чтобы она обладала упомянутым свойством для любой интегральной кривой векторного поля которая пересекает т. е. так, чтобы любая такая кривая выходила из в обоих направлениях. Пусть трубка, состоящая из всех точек на интегральных кривых поля пересекающих Т. Тогда множество компактно. При достаточно больших кривая будет содержаться в Т. Согласно (8.2), поперечные к направлению компоненты касательного к вектора настолько малы, что при достаточно больших кривая нигде не сможет выйти за пределы трубки за исключением ее концов, т. е. там, где у выходит из Однако не может покинуть поскольку не выходит из Следовательно, должна лежать в при Это ведет к следующему противоречию. Кривая содержится в однако, согласно (8.1), окрестность можно выбрать настолько малой, что

будет лежать в но не в Т. Отсюда следует, что наше предположение о том, что изотропная геодезическая выходит из в обоих направлениях, ложно. Следовательно, должна быть какая-то точка которая является предельной точкой я Тогда по предложению 6.3.1 существует непродолжимая изотропная геодезическая у, проходящая через которая содержится в и является предельной кривой для

Если расслоение -неполно, можно построить его пополнение по метрике Оно по определению есть множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из точек расслоения Если две фундаментальные последовательности в расстоянием между х и у является по определению где — функция расстояния на определяемая положительно определенной метрикой будем говорить, что эквивалентны, если можно разложить на часть, гомеоморфпую и множество граничных точек . Функция расстояния задаст топологию

на . Из (8.1) следует, что эта топология на О не зависит от выбора базиса

Действие группы можно распространить на В самом деле, преобразование базиса под действием не зависит от положения в . Значит, существуют такие положительные постоянные (зависящие только от А), что

Это означает, что под действием А последовательности Коши будут отображаться на фундаментальные последовательности и классы эквивалентности фундаментальных последовательностей будут отображаться на такие же классы эквивалентности. Поэтому действие распространяется на единственным образом. Тогда можно определить как фактор-пространство по группе . Поскольку и поскольку под действием неполная фундаментальная последовательность остается неполной, мы можем представить как объединение многообразия и множества называемого -границей Точки можно считать изображениями конечных точек классов эквивалентности -неполных кривых в

Проекция которая относит точку в к ее классу эквивалентности относительно действия группы индуцирует топологию на по топологии на Однако не индуцирует на функцию расстояния, ибо функция не инвариантна относительно Таким образом, хотя топология пространства — метрическая и соответственно хаусдорфова, топология на не обязательно хаусдорфова. Это означает, что могут найтись такая точка и такая точка что любая окрестность будет пересекать любую окрестность Это случится, когда точка будет соответствовать неполной кривой, которая полностью или частично захвачена в Мы обсудим неполноту, связанную с захватом, позднее, в разд. 8.5.

Если - положительно определенная метрика на то гомеоморфно пополнению фундаментальными последовательностями. Конструкция Шмидта обладает, в частности, тем желательным свойством, что при вырезании из пространства замкнутого множества для каждой точки из возникает по меньшей мере одна точка в -границе, которая окажется конечной точкой для некоторой кривой в — Примером появления более одной точки -границы для одной точки из служит двумерное пространство Минковского, в котором в качестве взят отрезок оси между — 1 и + 1. Тогда при —

для каждой точки будут две точки -границы. Примером, когда точка на не может быть достигнута какой-либо кривой из служит множество

В - нет ии одной кривой, которая имела бы конечную точку в начале координат, и, следовательно, эта точка не может лежать в хотя она и принадлежит

Несмотря на изящную формулировку, метод Шмидта, к сожалению, крайне трудно применить на практике. Единственным решением, для которого можно найти помимо пространств постоянной кривизны является двумерное решение Робертсона — Уокера с обычной материей. В нем доказывается, что это пространствеииоподобная -поверхность, как и можно было бы ожидать из конформной картины. В этом случае можно наделить естественной дифференцируемой структурой и превратить в многообразие с краем. Однако, видимо, не существует какого-либо общего способа введения структуры многообразия на . Конечно, естественно думать, что в типовых ситуациях будет в высшей степени иррегулярным и на нем нельзя будет ввести гладкую структуру.

1
Оглавление
email@scask.ru