8.3. Описание сингулярностей

Приведенные выше теоремы свидетельствуют о наличии сингулярностей в широком классе решений, но содержат мало информации о природе этих сингулярностей. Чтобы исследовать этот вопрос более детально, нужно определить, что подразумевать под размерами, формой, местонахождением и прочими характеристиками сингулярности. Это было бы совсем легко, если бы сингулярные точки включались в пространственно-временное многообразие. Однако установление структуры многообразия в таких точках физическими измерениями было бы невозможно. В самом деле, может существовать много структур многообразия, совпадающих в регулярных областях, но различающихся в сингулярных точках. К примеру, в решении Робертсона — Уокера многообразие в окрестности сингулярности можно описать координатами

или координатами

В первом случае сингулярностью будет трехмерная поверхность, а во втором — единственная точка.

Выход заключается в том, чтобы разработать рецепт построения некоторой границы многообразия которая однозначно устанавливается измерениями в несингулярных точках, т. е. структурой Затем было бы желательно задать по меньшей мере топологию, а может быть, и дифференцируемую структуру в пространстве Одним из подходов мог бы служить метод неразложимых множеств для бесконечности, описанный в разд. 6.9. Но этот метод зависит лишь от конформной метрики и потому не позволяет отличить бесконечность от сингулярных точек на конечном расстоянии. Чтобы такое различие существовало, по-видимому, нужно при построении

исходить из того критерия, которым мы пользовались при доказательстве существования сингулярностей, а именно из -неполноты. Изящный метод такого построения был разработан Шмидтом. Этим методом перекрываются более ранние конструкции Хокинга [72] и Герока [53], в которых сингулярные точки определяются как классы эквивалентности неполных геодезических. В этих конструкциях не требуется, чтобы все -неполные кривые (скажем, неполные времениподобные кривые с ограниченным ускорением) обязательно имели конечные точки. В определении классов эквивалентности имеется некоторая неоднозначность. Конструкция Шмидта не страдает этими недостатками.

Метод Шмидта состоит в задании положительно определенной метрики на расслоении ортонормированных реперов Здесь О -множество всех ортонормированных четверок векторов для каждого (а пробегает значения от 1 до 4), а проекция, которая отображает базис в точке в саму точку Оказывается, что множество неполно по метрике если и только если многообразие -неполно. Если -неполно, можно с помощью фундаментальных последовательностей образовать пополнение до метрического пространства. Проекция может быть продолжена на и тогда фактор-пространство по есть по определению многообразие которое является объединением с множеством дополнительных точек д. Множество состоит из сингулярных точек многообразия в том смысле, что оно является множеством конечных точек всех -неполных кривых.

Чтобы выполнить построение, вспомним (разд. 2.9), что связность на задаваемая метрикой определяет четырехмерное горизонтальное подпространство Ни десятимерного касательного пространства в точке Таким образом, представляет собой прямую сумму подпространства и вертикального подпространства состоящего из всех векторов в которые касательны к слою Теперь мы построим базис для где А пробегает значения от 1 до от 1 до есть базис для Ни, и — базис для

Для данного вектора существует единственный вектор удовлетворяющий условию . Следовательно, на однозначно определены четыре горизонтальных векторных поля которые являются горизонтальными лифтами ортонормированных базисных векторов для каждой точки Интегральные кривые поля соответствуют параллельному перенесению базиса вдоль геодезической в направлении вектора Группа мультипликативная группа всех несингулярных действительных

лоренцевых -матриц , действует в слоях 0 множества переводя точку в точку Можно рассматривать О (3,1) как шестимерное многообразие и при этом описывать касательное пространство в единице группы векторным пространством всех -матриц а, обладающих свойством Тогда при а мы можем определить кривую в через где

Отсюда, если то в можно задать кривую, проходящую через и, полагая Поскольку кривая лежит в слое, ее касательный вектор вертикален. Поэтому для каждого можно определить вертикальное векторное поле :

для всякого Пусть есть базис в тогда представляют собой шесть векторных полей на и могут служить базисом для в каждой точке

Матрица задает отображение вида При индуцированном отображении вертикальные и горизонтальные векторные поля преобразуются следующим образом:

где — базис в дуальный базису (следовательно, Для дальнейшего будет важна не конкретная форма этих индуцированных отображений, а их свойство быть постоянными на

Теперь у нас есть базис в каждой точке Поэтому мы можем задать положительно-определенную метрику на соотношением где и — компоненты X и в базисе Используя метрику можно ввести функцию расстояния , где как нижнюю грань длин кривых от и до и (измеренных по метрике ). Тогда можно поставить вопрос: является ли полным множеством относительно функции расстояния

Предложение 8.3.1

является -полным пространством тогда и только тогда, когда пространство-время -полно.

Пусть -некоторая кривая в Тогда, если задана точка где можно построить горизонтальную кривую которая проходит через и и для которой определения положительно-определенной метрики следует, что длина дуги измеренная по этой метрике, равна обобщенному аффинному параметру определяемому тем базисом в точке изображением которого является точка . Поэтому, если нет конечной точки, но длина ее, измеренная по обобщенному аффинному параметру, конечна, то тоже нет конечной точки, но конечна длина по метрике . Таким образом, -полиота множества означает -полноту в многообразии

Чтобы доказать обратное, нужно показать, что для С-кривой конечной длины в не имеющей конечной точки, является С-кривой в со следующими свойствами:

1) у нее конечная аффинная длина;

2) у нее нет конечных точек в

Свойство (1) доказывается следующим образом. Пусть Тогда через и можно провести горизонтальную кривую такую, что Для каждого значения будут лежать в одном и том же слое, так что в будет единственная кривая для которой Это означает, что

где Отсюда

где — базис дуальный базису — базис дуальный базису Матрица удовлетворяет равенству Отсюда

так как Дифференцируя по имеем

Таким образом, Поскольку матрицы образуют базис существует такая постоянная С, что

Любая матрица может быть представлена в виде где

и и — ортогональные матрицы вида

причем — ортогональные -матрицы, а векторы базиса (Е пронумерованы так, что — времениподобный вектор. Матрица соответствует изменению скорости в направлении а матрицы и соответствуют вращениям. При таком разложении

Для любого векторного поля

Следовательно,

Отсюда

и поэтому

Пусть — наименьшая верхняя грань для на

Тогда

где длина кривой к по метрике е. Так как ома конечна, должны быть конечны Следовательно, аффинная длина кривой равная будет конечна.

В завершение доказательства предложения 8.3.1 мы должны показать, что нет такой точки в любую окрестность которой входит и остается там кривая Поскольку точка обладает нормальной окрестностью, это вытекает из следующего утверждения:

Предложение 8.3.2 (Шмидт [147])

Пусть — компактное подмножество многообразия Допустим, что в имеется кривая конечной длины и без конечных точек, которая входит в и остается там. Тогда существует непродолжимая изотропная геодезическая у, целиком содержащаяся в

Пусть — горизонтальная кривая, проходящая через некоторую точку причем Кривая не имеет конечной точки. Допустим, что есть точка которая является конечной точкой горизонтальной кривой Тогда должна существовать такая открытая окрестность точки с компактным замыканием, что входит в нее и остается там. Пусть — множество для всех матриц . В силу компактности и ограниченности множество должно быть компактным. Кривая войдет в и останется в нем. Но любое компактное множество -полно относительно положительно определенной метрики е. Следовательно, кривая обладая конечной длиной, должна будет иметь конечную точку в Из этого видно, что у кривой нет конечной точки.

Пусть — последовательность точек на не имеющая какой-либо предельной точки. Поскольку компактное множество, найдется точка которая является предельной точкой Пусть — нормальная окрестность точки х с компактным замыканием, и пусть — сечение над — ортонормированный базис в Пусть при Тогда, как и в предыдущем предложении, будет существовать единственное семейство матриц такое, что и матрицы А можно представить в виде Допустим, что имеет конечную верхнюю грань , где — подпоследовательность последовательности сходящаяся к Тогда точки должны принадлежать множеству и с при некоторой матрице с

Однако множество должно быть компактным и потому должно содержать предельную точку последовательности что противоречит нашему выбору Таким образом, не имеет конечной верхней грани. Поскольку ортогональная группа компактна, мы можем выбрать такую подпоследовательность что Отбудет сходиться к некоторой матрице к некоторой и т. д.); и

для некоторой постоянной а.

Пусть

Тогда стремится к Поскольку длина кривой конечна, кривая тоже имеет конечную длину. Это означает, что стремится к нулю интеграл

где

и

Следовательно,

стремится к нулю при каждом А. Компоненты касательного вектора к горизонтальной кривой равны

Поэтому

стремится к нулю.

Пусть интегральная кривая горизонтального векторного поля проходящая через Тогда будет изотропной геодезической в Допустим, что выходит из как в

направлении будущего, так и в направлении прошлого. Тогда найдется некоторая окрестность точки х с компактным замыканием и с тем свойством, что в каждом из этих направлений покидает множество где существует для которой Окрестность Т можно выбрать настолько малой, чтобы она обладала упомянутым свойством для любой интегральной кривой векторного поля которая пересекает т. е. так, чтобы любая такая кривая выходила из в обоих направлениях. Пусть трубка, состоящая из всех точек на интегральных кривых поля пересекающих Т. Тогда множество компактно. При достаточно больших кривая будет содержаться в Т. Согласно (8.2), поперечные к направлению компоненты касательного к вектора настолько малы, что при достаточно больших кривая нигде не сможет выйти за пределы трубки за исключением ее концов, т. е. там, где у выходит из Однако не может покинуть поскольку не выходит из Следовательно, должна лежать в при Это ведет к следующему противоречию. Кривая содержится в однако, согласно (8.1), окрестность можно выбрать настолько малой, что

будет лежать в но не в Т. Отсюда следует, что наше предположение о том, что изотропная геодезическая выходит из в обоих направлениях, ложно. Следовательно, должна быть какая-то точка которая является предельной точкой я Тогда по предложению 6.3.1 существует непродолжимая изотропная геодезическая у, проходящая через которая содержится в и является предельной кривой для

Если расслоение -неполно, можно построить его пополнение по метрике Оно по определению есть множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из точек расслоения Если две фундаментальные последовательности в расстоянием между х и у является по определению где — функция расстояния на определяемая положительно определенной метрикой будем говорить, что эквивалентны, если можно разложить на часть, гомеоморфпую и множество граничных точек . Функция расстояния задаст топологию

на . Из (8.1) следует, что эта топология на О не зависит от выбора базиса

Действие группы можно распространить на В самом деле, преобразование базиса под действием не зависит от положения в . Значит, существуют такие положительные постоянные (зависящие только от А), что

Это означает, что под действием А последовательности Коши будут отображаться на фундаментальные последовательности и классы эквивалентности фундаментальных последовательностей будут отображаться на такие же классы эквивалентности. Поэтому действие распространяется на единственным образом. Тогда можно определить как фактор-пространство по группе . Поскольку и поскольку под действием неполная фундаментальная последовательность остается неполной, мы можем представить как объединение многообразия и множества называемого -границей Точки можно считать изображениями конечных точек классов эквивалентности -неполных кривых в

Проекция которая относит точку в к ее классу эквивалентности относительно действия группы индуцирует топологию на по топологии на Однако не индуцирует на функцию расстояния, ибо функция не инвариантна относительно Таким образом, хотя топология пространства — метрическая и соответственно хаусдорфова, топология на не обязательно хаусдорфова. Это означает, что могут найтись такая точка и такая точка что любая окрестность будет пересекать любую окрестность Это случится, когда точка будет соответствовать неполной кривой, которая полностью или частично захвачена в Мы обсудим неполноту, связанную с захватом, позднее, в разд. 8.5.

Если - положительно определенная метрика на то гомеоморфно пополнению фундаментальными последовательностями. Конструкция Шмидта обладает, в частности, тем желательным свойством, что при вырезании из пространства замкнутого множества для каждой точки из возникает по меньшей мере одна точка в -границе, которая окажется конечной точкой для некоторой кривой в — Примером появления более одной точки -границы для одной точки из служит двумерное пространство Минковского, в котором в качестве взят отрезок оси между — 1 и + 1. Тогда при —

для каждой точки будут две точки -границы. Примером, когда точка на не может быть достигнута какой-либо кривой из служит множество

В - нет ии одной кривой, которая имела бы конечную точку в начале координат, и, следовательно, эта точка не может лежать в хотя она и принадлежит

Несмотря на изящную формулировку, метод Шмидта, к сожалению, крайне трудно применить на практике. Единственным решением, для которого можно найти помимо пространств постоянной кривизны является двумерное решение Робертсона — Уокера с обычной материей. В нем доказывается, что это пространствеииоподобная -поверхность, как и можно было бы ожидать из конформной картины. В этом случае можно наделить естественной дифференцируемой структурой и превратить в многообразие с краем. Однако, видимо, не существует какого-либо общего способа введения структуры многообразия на . Конечно, естественно думать, что в типовых ситуациях будет в высшей степени иррегулярным и на нем нельзя будет ввести гладкую структуру.