8.3. Описание сингулярностей
Приведенные выше теоремы свидетельствуют о наличии сингулярностей в широком классе решений, но содержат мало информации о природе этих сингулярностей. Чтобы исследовать этот вопрос более детально, нужно определить, что подразумевать под размерами, формой, местонахождением и прочими характеристиками сингулярности. Это было бы совсем легко, если бы сингулярные точки включались в пространственно-временное многообразие. Однако установление структуры многообразия в таких точках физическими измерениями было бы невозможно. В самом деле, может существовать много структур многообразия, совпадающих в регулярных областях, но различающихся в сингулярных точках. К примеру, в решении Робертсона — Уокера многообразие в окрестности сингулярности
можно описать координатами
или координатами
В первом случае сингулярностью будет трехмерная поверхность, а во втором — единственная точка.
Выход заключается в том, чтобы разработать рецепт построения некоторой границы
многообразия
которая однозначно устанавливается измерениями в несингулярных точках, т. е. структурой
Затем было бы желательно задать по меньшей мере топологию, а может быть, и дифференцируемую структуру в пространстве
Одним из подходов мог бы служить метод неразложимых множеств для бесконечности, описанный в разд. 6.9. Но этот метод зависит лишь от конформной метрики и потому не позволяет отличить бесконечность от сингулярных точек на конечном расстоянии. Чтобы такое различие существовало, по-видимому, нужно при построении
исходить из того критерия, которым мы пользовались при доказательстве существования сингулярностей, а именно из
-неполноты. Изящный метод такого построения был разработан Шмидтом. Этим методом перекрываются более ранние конструкции Хокинга [72] и Герока [53], в которых сингулярные точки определяются как классы эквивалентности неполных геодезических. В этих конструкциях не требуется, чтобы все
-неполные кривые (скажем, неполные времениподобные кривые с ограниченным ускорением) обязательно имели конечные точки. В определении классов эквивалентности имеется некоторая неоднозначность. Конструкция Шмидта не страдает этими недостатками.
Метод Шмидта состоит в задании положительно определенной метрики
на расслоении ортонормированных реперов
Здесь О
-множество всех ортонормированных четверок векторов
для каждого
(а пробегает значения от 1 до 4), а
проекция, которая отображает базис в точке
в саму точку
Оказывается, что множество
неполно по метрике
если и только если многообразие
-неполно. Если
-неполно, можно с помощью фундаментальных последовательностей образовать пополнение
до метрического пространства. Проекция
может быть продолжена на
и тогда фактор-пространство
по
есть по определению многообразие
которое является объединением
с множеством дополнительных точек д. Множество
состоит из сингулярных точек многообразия
в том смысле, что оно является множеством конечных точек всех
-неполных кривых.
Чтобы выполнить построение, вспомним (разд. 2.9), что связность на
задаваемая метрикой
определяет четырехмерное горизонтальное подпространство Ни десятимерного касательного пространства
в точке
Таким образом,
представляет собой прямую сумму подпространства
и вертикального подпространства
состоящего из всех векторов в
которые касательны к слою
Теперь мы построим базис
для
где А пробегает значения от 1 до
от 1 до
есть базис для Ни, и
— базис для
Для данного вектора
существует единственный вектор
удовлетворяющий условию
. Следовательно, на
однозначно определены четыре горизонтальных векторных поля
которые являются горизонтальными лифтами ортонормированных базисных векторов
для каждой точки
Интегральные кривые поля
соответствуют параллельному перенесению базиса
вдоль геодезической в направлении вектора
Группа
мультипликативная группа всех несингулярных действительных
лоренцевых
-матриц
, действует в слоях 0 множества
переводя точку
в точку
Можно рассматривать О (3,1) как шестимерное многообразие и при этом описывать касательное пространство
в единице группы
векторным пространством всех
-матриц а, обладающих свойством
Тогда при а
мы можем определить кривую в
через
где
Отсюда, если
то в
можно задать кривую, проходящую через и, полагая
Поскольку кривая
лежит в слое, ее касательный вектор
вертикален. Поэтому для каждого
можно определить вертикальное векторное поле
:
для всякого
Пусть
есть базис в
тогда
представляют собой шесть векторных полей на
и могут служить базисом для
в каждой точке
Матрица
задает отображение
вида
При индуцированном отображении
вертикальные и горизонтальные векторные поля преобразуются следующим образом:
где
— базис в
дуальный базису
(следовательно,
Для дальнейшего будет важна не конкретная форма этих индуцированных отображений, а их свойство быть постоянными на
Теперь у нас есть базис
в каждой точке
Поэтому мы можем задать положительно-определенную метрику
на
соотношением
где
и
— компоненты X и
в базисе
Используя метрику
можно ввести функцию расстояния
, где
как нижнюю грань длин кривых от и до и (измеренных по метрике
). Тогда можно поставить вопрос: является ли
полным множеством относительно функции расстояния
Предложение 8.3.1
является
-полным пространством тогда и только тогда, когда пространство-время
-полно.
Пусть
-некоторая кривая в
Тогда, если задана точка где
можно построить горизонтальную кривую
которая проходит через и и для которой
определения положительно-определенной метрики
следует, что длина дуги
измеренная по этой метрике, равна обобщенному аффинному параметру
определяемому тем базисом в точке
изображением которого является точка
. Поэтому, если
нет конечной точки, но длина ее, измеренная по обобщенному аффинному параметру, конечна, то
тоже нет конечной точки, но конечна длина по метрике
. Таким образом,
-полиота множества
означает
-полноту в многообразии
Чтобы доказать обратное, нужно показать, что для С-кривой
конечной длины в
не имеющей конечной точки,
является С-кривой в
со следующими свойствами:
1) у нее конечная аффинная длина;
2) у нее нет конечных точек в
Свойство (1) доказывается следующим образом. Пусть
Тогда через и можно провести горизонтальную кривую
такую, что
Для каждого значения
будут лежать в одном и том же слое, так что в
будет единственная кривая
для которой
Это означает, что
где
Отсюда
где
— базис
дуальный базису
— базис
дуальный базису
Матрица
удовлетворяет равенству
Отсюда
так как
Дифференцируя по
имеем
где
длина кривой к по метрике е. Так как ома конечна, должны быть конечны
Следовательно, аффинная длина кривой
равная
будет конечна.
В завершение доказательства предложения 8.3.1 мы должны показать, что нет такой точки
в любую окрестность
которой входит и остается там кривая
Поскольку точка
обладает нормальной окрестностью, это вытекает из следующего утверждения:
Предложение 8.3.2 (Шмидт [147])
Пусть
— компактное подмножество многообразия
Допустим, что в
имеется кривая
конечной длины и без конечных точек, которая входит в
и остается там. Тогда существует непродолжимая изотропная геодезическая у, целиком содержащаяся в
Пусть
— горизонтальная кривая, проходящая через некоторую точку
причем
Кривая
не имеет конечной точки. Допустим, что есть точка
которая является конечной точкой горизонтальной кривой
Тогда должна существовать такая открытая окрестность
точки
с компактным замыканием, что
входит в нее и остается там. Пусть
— множество
для всех матриц
. В силу компактности
и ограниченности
множество
должно быть компактным. Кривая
войдет в
и останется в нем. Но любое компактное множество
-полно относительно положительно определенной метрики е. Следовательно, кривая
обладая конечной длиной, должна будет иметь конечную точку в
Из этого видно, что у кривой
нет конечной точки.
Пусть
— последовательность точек на
не имеющая какой-либо предельной точки. Поскольку
компактное множество, найдется точка
которая является предельной точкой
Пусть
— нормальная окрестность точки х с компактным замыканием, и пусть
— сечение
над
— ортонормированный базис в
Пусть
при
Тогда, как и в предыдущем предложении, будет существовать единственное семейство матриц
такое, что
и матрицы А можно представить в виде
Допустим, что
имеет конечную верхнюю грань
, где
— подпоследовательность последовательности
сходящаяся к
Тогда точки
должны принадлежать множеству
и с при некоторой матрице
с
направлении будущего, так и в направлении прошлого. Тогда найдется некоторая окрестность
точки х с компактным замыканием и с тем свойством, что в каждом из этих направлений
покидает множество
где
существует
для которой
Окрестность Т можно выбрать настолько малой, чтобы она обладала упомянутым свойством для любой интегральной кривой векторного поля
которая пересекает
т. е. так, чтобы любая такая кривая выходила из
в обоих направлениях. Пусть
трубка, состоящая из всех точек на интегральных кривых поля
пересекающих Т. Тогда множество
компактно. При достаточно больших
кривая
будет содержаться в Т. Согласно (8.2), поперечные к направлению
компоненты касательного к
вектора настолько малы, что при достаточно больших
кривая
нигде не сможет выйти за пределы трубки
за исключением ее концов, т. е. там, где у выходит из
Однако
не может покинуть
поскольку
не выходит из
Следовательно,
должна лежать в
при
Это ведет к следующему противоречию. Кривая
содержится в
однако, согласно (8.1), окрестность можно выбрать настолько малой, что
будет лежать в
но не в Т. Отсюда следует, что наше предположение о том, что изотропная геодезическая
выходит из
в обоих направлениях, ложно. Следовательно, должна быть какая-то точка
которая является предельной точкой я
Тогда по предложению 6.3.1 существует непродолжимая изотропная геодезическая у, проходящая через
которая содержится в
и является предельной кривой для
Если расслоение
-неполно, можно построить его пополнение по метрике
Оно по определению есть множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из точек расслоения
Если
две фундаментальные последовательности в
расстоянием
между х и у является по определению
где
— функция расстояния на
определяемая положительно определенной метрикой
будем говорить, что
эквивалентны, если
можно разложить на часть, гомеоморфпую
и множество граничных точек
. Функция расстояния
задаст топологию
на
. Из (8.1) следует, что эта топология на О не зависит от выбора базиса
Действие группы
можно распространить на
В самом деле, преобразование базиса
под действием
не зависит от положения в
. Значит, существуют такие положительные постоянные
(зависящие только от А), что
Это означает, что под действием А последовательности Коши будут отображаться на фундаментальные последовательности и классы эквивалентности фундаментальных последовательностей будут отображаться на такие же классы эквивалентности. Поэтому действие
распространяется на
единственным образом. Тогда
можно определить как фактор-пространство
по группе
. Поскольку
и поскольку под действием
неполная фундаментальная последовательность остается неполной, мы можем представить
как объединение многообразия
и множества
называемого
-границей
Точки
можно считать изображениями конечных точек классов эквивалентности
-неполных кривых в
Проекция
которая относит точку в
к ее классу эквивалентности относительно действия группы
индуцирует топологию на
по топологии на
Однако
не индуцирует на
функцию расстояния, ибо функция
не инвариантна относительно
Таким образом, хотя топология пространства
— метрическая и соответственно хаусдорфова, топология на
не обязательно хаусдорфова. Это означает, что могут найтись такая точка
и такая точка
что любая окрестность
будет пересекать любую окрестность
Это случится, когда точка
будет соответствовать неполной кривой, которая полностью или частично захвачена в
Мы обсудим неполноту, связанную с захватом, позднее, в разд. 8.5.
Если
- положительно определенная метрика на
то
гомеоморфно пополнению
фундаментальными последовательностями. Конструкция Шмидта обладает, в частности, тем желательным свойством, что при вырезании из пространства замкнутого множества
для каждой точки из возникает по меньшей мере одна точка в
-границе, которая окажется конечной точкой для некоторой кривой в
— Примером появления более одной точки
-границы для одной точки из
служит двумерное пространство Минковского, в котором в качестве
взят отрезок оси
между — 1 и + 1. Тогда при —
для каждой точки
будут две точки
-границы. Примером, когда точка на
не может быть достигнута какой-либо кривой из
служит множество
В
- нет ии одной кривой, которая имела бы конечную точку в начале координат, и, следовательно, эта точка не может лежать в
хотя она и принадлежит
Несмотря на изящную формулировку, метод Шмидта, к сожалению, крайне трудно применить на практике. Единственным решением, для которого можно найти
помимо пространств постоянной кривизны является двумерное решение Робертсона — Уокера с обычной материей. В нем доказывается, что
это пространствеииоподобная
-поверхность, как и можно было бы ожидать из конформной картины. В этом случае можно наделить
естественной дифференцируемой структурой и превратить
в многообразие с краем. Однако, видимо, не существует какого-либо общего способа введения структуры многообразия на
. Конечно, естественно думать, что в типовых ситуациях
будет в высшей степени иррегулярным и на нем нельзя будет ввести гладкую структуру.