5.2. Пространство-время де Ситтера 1-го и 2-го рода

Пространственно-временные метрики постоянной кривизны локально характеризуются условием Ему эквивалентно равенство , следовательно, тензор Римана определяется одним лишь скаляром Риччи Из свернутых тождеств Бианки сразу следует, что во всем пространстве-времени; действительно, эти пространства однородны. Тензор Эйнштейна имеет вид

поэтому эти пространства можно считать решениями уравнений поля в пустом пространстве с или решениями для идеальной жидкости с постоянной плотностью и с постоянным давлением — Однако последняя трактовка, по-видимому, неприемлема, поскольку тогда или давление, или плотность должны быть отрицательными; кроме того, уравнение движения (3.10) для такой жидкости становится неопределенным.

Пространство-время Минковского является пространством постоянной кривизны с Пространство постоянной кривизны с есть пространство-время де Ситтера 1-го рода, которое обладает топологией (см. интересное описание свойств этого пространства в [152], принадлежащее Шрединге-ру). Оно наиболее просто реализуется в виде гиперболоида

в плоском пятимерном пространстве с метрикой

(рис. 16). На этом гиперболоиде можно ввести координаты , определяемые соотношениями

В этих координатах метрика имеет вид

Особенности метрики при обусловлены лишь полярными координатами; за исключением этих тривиальных сингулярностей, координаты покрывают все пространство при Пространственными сечениями постоянного являются сферы постоянной положительной кривизны, и они представляют собой поверхности Коши. Их геодезические нормали представляют собой линии, монотонно сходящиеся до некоторого минимального пространственного расстояния и затем снова расходящиеся до бесконечности (см. рис. 16, а).

На гиперболоиде молено ввести также координаты

В этих координатах метрика принимает вид

однако они покрывают лишь половину гиперболоида, так как не определены при (см. рис. 16, б). Область пространства де Ситтера рода, для которой образует пространство-время стационарной модели Вселенной, предложенной Бонди и Голдом [12] и Хойлом [80]. В этой модели предполагается, что материя движется по геодезическим нормалям к поверхностям Поскольку при этом происходит «разрежение» материи, то для поддержания постоянного значения плотности предполагается непрерывное рождение новой материи. Бонди и Голд не пытались вводить уравнения поля для этой модели, но Пирами [135] и Хойл и Нарликар [82] заметили, что метрику стационарной модели можно рассматривать как решение уравнений Эйнштейна если в дополнение к обычной материи ввести скалярное поле с отрицательной плотностью энергии. Это «С-поле» вызывало бы также и непрерывное рождение материн.

Стационарная модель обладает тем достоинством, что ее предсказания просты и определенны. Однако с нашей точки зрения у нее имеются два неудовлетворительных свойства. Первое — существование отрицательной энергии, о чем говорилось в разд. 4.3. Второе - возможность расширения пространства-времени, связанная с тем, что оно является только половиной пространства де Ситтера 1-го рода.

Рис. 16. Пространство-время де Ситтера 1-го рода, представленное в виде гиперболоида, вложенного в пятимерное плоское пространство (на рисунке два измерения опущены); а — координаты покрывают весь гиперболоид; сечения являются поверхностями кривизны . б — координаты покрывают половину гиберболоида; поверхности являются плоскими -пространствами; их геодезические нормали расходятся из точки в бесконечно удаленном прошлом.

Несмотря на эти возражения, по-настоящему справедливость стационарной модели определяется тем, насколько ее предсказания согласуются с наблюдениями. Согласия в настоящее время, по-видимому, нет, но наблюдения еще не дают достаточно оснований для окончательного вывода.

Пространство де Ситтера 1-го рода геодезически полно, но в нем существуют точки, которые нельзя соединить никакой геодезической. Этим оно сильно отличается от пространств с положительно определенной метрикой, где геодезическая полнота гарантирует возможность соединения любых двух точек по крайней мере одной геодезической. Половина пространства де Ситтера,

соответствующая стационарной модели, не полна в прошлом (существуют геодезические, которые полны во всем пространстве и пересекают границу области стационарной модели, поэтому они неполны в этой области).

Чтобы исследовать бесконечность в пространстве-времени де Ситтера 1-го рода, определим временную координату следующим образом:

где

Тогда

где дается формулой (5.7) после замены на Таким образом, пространство де Ситтера 1-го рода конформно части статической вселенной Эйнштейна, определенной неравенством (5.8) (рис. 17, а). Диаграмма Пенроуза для пространства де Ситтера

1-го рода изображена на рис. 17, б. Половина этого рисунка, представленная на рис. 17, б, изображает ту часть пространства-времени де Ситтера, которая соответствует стационарной модели.

Мы видим, что в отличие от пространства Минковского в пространстве де Ситтера 1-го рода для времениподобных и изотропных кривых существует как в будущем, так и в прошлом пространственноподобная бесконечность. Это различие соответствует существованию в пространстве-времени де Ситтера горизонтов частиц и событий для геодезических семейств наблюдателей.

Рассмотрим в пространстве де Ситтера 1-го рода семейство частиц, историями которых являются времениподобные геодезические. Эти линии начинаются на пространственноподобной бесконечности и кончаются на пространственноподобной бесконечности Пусть — некоторое событие на мировой линии частицы О этого семейства, т. е. некоторый момент ее истории (собственное время, измеренное вдоль мировой линии О). Световой конус прошлого события — это множество событий в пространстве-времени, которые может увидеть наблюдатель, находящийся на частице в это время (наблюдатель О). Мировые линии некоторых других частиц могут пересекать этот конус, и эти частицы наблюдатель О может увидеть. Но могут существовать частицы, мировые линии которых не пересекают этот изотропный конус и, таким образом, еще не видны наблюдателю О. В более поздние моменты времени наблюдатель О может увидеть большее число частиц, но и в эти моменты будут существовать частицы, невидимые О,

Мы будем говорить, что частицы, которые наблюдатель О в событии может увидеть, отделяются от частиц, не видимых О в это время, горизонтом частиц наблюдателя О в событии этот горизонт определяется мировыми линиями частиц, лежащих на пределе видимости наблюдателя О.

Рис. 17. (см. скан) а — пространство-время де Ситтера рода конформно области — статической вселенной Эйнштейна; б — диаграмма Пенроуза пространства-времени де Ситтера рода; в — диаграмма Пенроуза стационарной модели Вселенной. На диаграммах а и б каждая точка изображает -сферу площадью изотропные линии проходят под углом отождествляются.

Отметим, что горизонт частиц определен, только если мировые линии всех частиц семейства известны. Если некоторая частица лежит на этом горизонте, то — это событие, в котором изотропный конус момента «рождения» этой частицы пересекает мировую линию О. С другой стороны, в пространстве Минковского в любом событии

на мировой линии О можно увидеть все другие частицы, если они движутся по времениподобным геодезическим. Пока мы рассматриваем только семейства геодезических наблюдателей, существование горизонта частиц можно считать следствием пространствениоподобности бесконечности прошлого (рис. 18).

Рис. 18. (см. скан) а — горизонт частиц, определяемый конгруэнцией геодезических кривых при пространственноподобной бесконечности прошлого 9 изотропных геодезических; б — отсутствие такого горизонта при изотропной

Все события вне изотропного конуса прошлого невидимы из и до события никогда не были видимы. Мировая линия О имеет предельную точку на . В пространстве-времени де Ситтера 1-го рода изотропный конус прошлого этой точки (получаемый предельным переходом в реальном пространстве или непосредственно из конформного пространства-времени) является границей между событиями, которые хотя бы в какой-то момент

времени станут видимы наблюдателем О, и событиями, которые О никогда не увидит. Такую поверхность мы называем горизонтом событий будущего данной мировой линии.

Рис. 19. (см. скан) а — горизонт событий будущего для частицы О, который существует, когда бесконечность будущего пространственноподобна; аналогично горизонт событий прошлого, который существует, когда пространственноподобна бесконечность прошлого б — если бесконечность будущего состоит из изотропной поверхности и из для геодезического наблюдателя О не существует горизонта событий будущего. Однако у ускоряющегося наблюдателя может быть горизонт событий будущего.

Это граница мировой линии прошлого. Напротив, в пространстве-времени Минковского предельный изотропный конус любого геодезического наблюдателя включает все пространство-время и, следовательно, в нем нет событий которых геодезический наблюдатель никогда не сможет увидеть. Однако, если наблюдатель движется равноускоренно, его мировая линия может иметь горизонт событий будущего. Существование горизонта событий будущего для

геодезического наблюдателя можно рассматривать как следствие пространственноподобности (рис. 19).

Рассмотрим горизонт событий для наблюдателя О в пространстве-времени де Ситтера и предположим, что в некоторый момент собственного времени (событие на его мировой линии) его изотропный конус пересекает .мировую линию частицы После этого наблюдатель О всегда может видеть частицу Но на мировой линии имеется событие которое лежит на горизонте событий будущего частицы О; О никогда не увидит тех событий на мировой линии которые расположены позднее Более того, любое данное событие на мировой линии О отделено бесконечным промежутком собственного времени от события, когда он сможет увидеть но вместе с тем между любым событием вдоль мировой линии и событием представляющим собой обычное событие на этой линии, проходит конечное время. Таким образом, наблюдатель О за бесконечное время видит конечную часть истории выражаясь более физично, при наблюдении частицы наблюдателем О происходит красное смещение, которое стремится к бесконечности по мере приближения наблюдаемых на мировой линии событий к точке Соответственно с частицы никогда нельзя будет увидеть событий, следующих за некоторой точкой на мировой линии О, а близлежащие к ней точки наблюдаются с очень большим красным смещением.

Изотропный конус будущего любой точки мировой линии является границей множества таких событий в пространстве-вре-мени, на которые О может влиять начиная с данного момента. Чтобы получить максимальное множество тех событий в пространстве-времени, на которые О может влиять хоть в какой-то момент, возьмем изотропный конус будущего предельной точки мировой линии О, расположенной в бесконечности прошлого иначе говоря, возьмем границу будущего этой мировой линии (ее можно рассматривать как изотропный конус момента рождения частицы О). Такая нетривиальная область существует для геодезического наблюдателя только тогда, когда бесконечность прошлого пространственноподобна (и тогда она фактически является горизонтом событий прошлого частицы О). Из приведенных рассуждений ясно, что в стационарной модели, где бесконечность прошлого для изотропных и времениподобных геодезических изотропна, а бесконечность будущего пространственноподобна, любой фундаментальный наблюдатель имеет горизонт событий будущего, но не имеет горизонта событий прошлого.

Отождествлением точек пространства де Ситтера 1-го рода мы можем получить другие локально-эквивалентные ему пространства. Простейший случай — отождествление антиподальных точек (см. рис. 16) на гиперболоиде. Полученное пространство не ориентируемо во времени: если в время течет

в направлении стрелки, то антиподальное отождеетлеиш требует, чтобы оно в текло в направлении против стрелки, но такое отождествление будущей прошлой половины изотропного конуса нельзя распространить на весь гиперболоид. В работе [19] подробно изучены пространства, получающиеся при таких отождествлениях; в частности, в ней показано, что произвольная точка в полученном пространстве может быть соединена геодезической с любой другой точкой, если и только если пространство не ориентируемо во времени.

Пространство постоянной кривизны с называется пространством де Ситтера 2-го рода. Оно обладает топологией и может быть представлено в виде гиперболоида

в плоском пятимерном пространстве с метрикой

В этом пространстве существуют замкнутые вре.мепиподобные линии, однако оно не является односвязным, и если мы развернем круг (чтобы получить его накрывающее пространство то будем иметь универсальное накрывающее пространство пространства де Ситтера 2-го рода, в котором пет замкнутых времениподобных линий. В дальнейшем под пространством де Ситтера 2-го рода мы будем подразумевать это универсальное накрывающее пространство; оно имеет топологию

Метрика этого пространства может быть записана в виде

Эта система координат покрывает лишь часть пространства и имеет кажущиеся сингулярности при Пространство целиком может быть покрыто координатами в которых метрика принимает статическую форму:

В таком представлении пространство покрывается поверхностями с негеодезическими нормалями.

Для исследования структуры бесконечности введем координату

Тогда получаем где определяется формулой (5.7); иными словами, все пространство де Ситтера 2-го рода конформно области эйнштейновского статического цилиндра. Соответствующая диаграмма Пенроуза приведена на рис. 20. Изотропную и пространственную бесконечности в этом случае можно представлять себе как времениподобную поверхность. Топология этой поверхности эквивалентна

(кликните для просмотра скана)

В пространстве де Ситтера 2-го рода нельзя построить конформное преобразование, переводящее временную бесконечность в конечную область, если не сжимать статическую вселенную Эйнштейна в точку (если при конформном преобразовании временная координата бесконечности становится конечной, то масштаб пространственного сечения умножается на бесконечный множитель), и поэтому мы изображаем времениподобную бесконечность отдельно стоящими точками

Линии являются геодезическими, ортогональными к поверхностям они все сходятся в будущем (соответственно в прошлом) в точках (соответственно пространства-времени, и этим схождением объясняется наличие кажущихся (координатных) особенностей в первоначальном виде метрики. Этими координатами покрывается область между поверхностью и изотропными поверхностями, на которых геодезические нормали становятся вырожденными.

Это пространство обладает двумя другими интересными чертами. Во-первых, вследствие времениподобности бесконечности в нем нигде нет поверхности Коши. Хотя и можно построить семейства пространствениоподобных поверхностей (например, поверхности которые покрывают пространство полностью, все же для любой данной поверхности такого семейства существуют изотропные геодезические, которые ее нигде не пересекают. Если задать начальные данные на какой-либо из этих поверхностей, за пределами ее области Коши нельзя что-либо предсказать; таким образом, с поверхности можно делать предсказания лишь в области, покрытой координатами Любой попытке предсказаний вне этой области препятствует поступление «свежей» информации из времениподобной бесконечности.

Во-вторых, в соответствии с тем, что все геодезические нормали из сходятся в и все геодезические из в прошлое расходятся (нормально к поверхности ненова сходятся в . В действительности все временнподобные геодезические из любой точки этого пространства (и в прошлое, и в будущее) фокусируются в точку-изображение, от нее снова расходятся и снова фокусируются во вторую точку-изображение и т.д. Поэтому времениподобная геодезическая из в будущее никогда не может достичь 3 в отличие от изотропной геодезической в будущее, которая доходит до Э и образует границу будущего точки Как следствие такого различия между времеииподобными и изотропными геодезическими в будущем точки (т. е. там, куда могут быть проведены из направленные в будущее времениподобные линии) существуют области, которых нельзя достичь из по какой-либо геодезической. Множеством точек, которых можно достичь по направленным в будущее

времениподобным линиям из будет множество точек, лежащих выше изотропного конуса будущего точки множество точек, которых можно достичь из по направленным в будущее времениподобным геодезическим, образует внутренность бесконечной последовательности ромбообразных областей, подобных той, которая покрывается координатами Заметим, что любую точку в области Коши поверхности можно достичь с этой поверхности по единственной геодезической нормали, но, вообще говоря, до точек вне области Коши нельзя провести геодезическую нормаль к