4.4. Сопряженные точки

В разд. 4.1 мы видели, что компоненты вектора девиации, характеризующего взаимное расположение и соседней кривой в конгруэнции времениподобных геодезических, подчиняются уравнению Якоби:

Решение этого уравнения будем называть якобиввым полем вдоль Поскольку решение может быть охарактеризовано заданием в некоторой точке то вдоль будет шесть якобиевых полей. Существует три независимых якобиевых поля, равных нулю в некоторой точке Их можно записать следующим образом:

где

матрица , равная нулю в Можно считать, что эти якобиевы поля описывают девиацию (взаимное разделение) соседних геодезических, проходящих через q. Как и прежде, можно определить вращение, поперечный сдвиг и расхождение якобиевых полей вдоль обращающихся в нуль в

Они будут подчиняться выведенным в разд. 4.1 уравнениям с . В частности, матрица

будет постоянной вдоль Однако она равна нулю в где Следовательно, везде, где неособенна.

Будем говорить, что точка на сопряжена точке вдоль если найдется якобиево поле, не равное тождественно нулю, которое исчезает в и Можно представлять себе как точку, в которой пересекаются бесконечно близкие геодезические, проходящие через (Отметим, однако, что в будут пересекаться только бесконечно близкие геодезические; не обязательно, чтобы две различные геодезические, выходя из проходили через Якобиевы поля, обращающиеся в нуль в определяются матрицами Поэтому точка сопряжена точке вдоль тогда и только тогда, когда — особенная матрица в Объемное расхождение 0 определяется как Поскольку подчиняется уравнению (4.39) с конечным должно быть конечно. Следовательно, будет сопряжена вдоль если 0 становится бесконечным в Обратное тоже верно, ибо а матрица может быть особенной только в изолированных точках, иначе она была бы особенной всюду.

Предложение 4.4.1

Пусть в некоторой точке объемное расхождение 0 принимает значение и пусть всюду тогда между [при условии, что можно продолжать до этих значений параметра] существует точка, сопряженная вдоль (Это последнее условие может оказаться невыполненным, если пространство-время геодезически неполно. В гл. 8 такая неполнота интерпретируется как проявление сингулярности.)

Объемное расхождение 0 матрицы подчиняется уравнению Райчаудхури (4.26):

(Здесь мы пользуемся тем, что вращение отсутствует.) Все члены в правой части отрицательны. Следовательно, при

Отсюда следует, что обращается в бесконечность, так что существует точка, сопряженная при значении заключенном между

Другими словами, если выполняется условие времениподобного схождения и если соседние геодезические, выходящие из начинают сходиться к некоторые бесконечно близкие геодезические пересекут если только можно провести до достаточно больших значений параметра

Предложение 4.4.2

Если и если в некоторой точке приливная сила не равна нулю, найдутся такие значения что будут сопряжены вдоль при условии, что можно продолжить до этих значений

Решение уравнения (4.39) вдоль однозначно определяется значениями в точке Рассмотрим множество Р, состоящее из всех таких решений, для которых бар, — симметричная матрица со следом Для каждого решения из Р найдется некоторое при котором -особенная матрица, поскольку или и тогда это следует из предыдущего результата, или , и тогда , а, значит, и вследствие этого 0 становится отрицательным при Элементы множества Р находятся во взаимнооднозначном соответствии с пространством всех симметричных матриц с неположительным следом [т. е. со всеми ]. Следовательно, имеется отображение из в которое каждому начальному значению ставит в соответствие ту точку на в ко торой в первый раз становится особенной. Это отображение непрерывно. Далее, если какая-либо из компонент очень велика, соответствующая точка на будет находиться близко к поскольку член в (4.39) в пределе становится пренебрежимо малым и решение приобретает тот же вид, что и в плоском случае. Таким образом, найдутся такие постоянные что если какая-либо компонента больше С, то соответствующая точка на ближе к чем Но в пространстве подпространство, состоящее из всех матриц, элементы которых меньше или равны С, компактно. Отсюда видно, что существует такое что содержится в сегменте Рассмотрим теперь точку причем Если между нет точек, сопряженных якобиевы поля, равные.нулю в должны иметь в точке положительное расхождение (иначе они принадлежали бы множеству Р, представляющему собой все семейства якобиевых полей без вращения с неположительным объемным расхождением в Тогда из предыдущего предложения следует, что найдется точка которая сопряжена вдоль

Для реалистического с точки зрения физики решения уравнений Эйнштейна можно ожидать, что каждая времениподобная геодезическая проходит сквозь какую-то материю или гравитационное излучение и, следовательно, содержит точку, где (хотя этого может и не быть в точном решении с высокой симметрией). Было бы разумно предположить, что в таком решении каждая времениподобная геодезическая содержит пары сопряженных точек, при условии, что эта линия может быть продолжена достаточно далеко в обоих направлениях.

Мы рассмотрим также конгруэнцию времениподобных геодезических, нормальных к пространственноподобной трехмерной поверхности Пространственноподобной -поверхностью мы называем вложенное трехмерное подмногообразие, определенное локально уравнением где есть -функция и при Введем единичный нормальный вектор к и второй фундаментальный тензор х на где называется первым фундаментальным тензором (или индуцированным метрическим тензором) на (ср. с разд. 2.7). Из этого определения следует, что тензор х симметричен. Конгруэнция времениподобных геодезических, ортогональных к будет состоять из времениподобных геодезических, у которых единичные касательные векторы V на равны Тогда имеем

Вектор девиации изображающий расположение относительно соседних геодезических, нормальных к будет подчиняться уравнению Якоби (4.38). На в точке удовлетворяет начальному условию

Мы представим якобиевы поля вдоль удовлетворяющие этому условию, в виде

где

а в точке — единичная матрица, и

Будем говорить, что точка сопряжена поверхности вдоль если существует якобиево поле вдоль не равной тождественно нулю, удовлетворяющее в начальному

условию 4.4.4 и обращающееся в нуль в . Другими словами, сопряженно вдоль если и только если особенна в Можно представлять себе как точку, в которой пересекаются соседние геодезические, нормальные к Как и прежде, будет особенна там и только там, где расхождение становится бесконечным. Начальное значение в равно нулю, и поэтому на Начальное значение равно

Предложение 4.4.3

Если найдется точка, сопряженная вдоль на расстоянии от не более при условии, что можно продолжить на такое расстояние.

Для доказательства можно использовать уравнение Райчаудхури (4.26), как и при доказательстве предложения

Будем называть решение уравнения

вдоль изотропной геодезической якобиевым полем вдоль Компоненты можно рассматривать как компоненты вектора в пространстве каждой точки относительно базиса Будем говорить, что сопряжено вдоль изотропной геодезической если существует не равное тождественно нулю якобиево поле вдоль обращающееся в нуль в и Если — вектор, соединяющий соседние изотропные геодезические, проходящие через компонента будет равна нулю всюду. Таким образом, можно представлять себе как точку, в которой пересекаются бесконечно близкие геодезические, проходящие через Опишем обращающиеся в нуль в якобиевы поля вдоль матрицами

Как и прежде, имеем и поэтому у якобиевых полей, равных нулю в вращение отсутствует. И снова будет сопряженно вдоль если и только если

обращается в в бесконечность. Аналогично предложению 4.4.1 имеем

Предложение 4.4.4

Если всюду и если в некоторой точке расхождение имеет отрицательное значение тогда между найдется точка, сопряженная вдоль

при условии, что можно продолжить на такое расстояние.

Расхождение матрицы подчиняется уравнению (4.3.5):

и, следовательно, доказательство проводится, как прежде,

Предложение 4.4.5

Если всюду и если отлично от нуля, то найдутся такие что будут сопряжены вдоль при условии, что можно продолжить до этих значений

Если отлично от нуля, то же верно и для Тогда доказательство аналогично доказательству предложения 4.4.2.

Как и во времениподобном случае, условие выполняется для изотропных геодезических, проходящих сквозь некоторую материальную среду, за исключением случая, когда эта среда есть чистое излучение (тензор энергии-импульса типа II, разд. 4.3), распространяющееся в направлении вектора К, касательного к геодезической. В пустом пространстве это условие выполняется, если рассматриваемая изотропная геодезическая содержит точку, в которой тензор Вейля отличен от нуля, а К не принадлежит ни к одному из направлений, для которых (таких направлений самое большее четыре). Поэтому представляется разумным предположить, что в физически реалистическом решении уравнений Эйнштейна каждая времениподобная или изотропная геодезическая содержит точку, В которой отлично от нуля. Будем говорить, что пространство-время, в котором выполняется это условие, удовлетворяет типовому условию (generic condition).

Подобным же образом мы можем рассмотреть изотропные геодезические, ортогональные к пространственноподобной -поверхности ). Под пространственноподобной -поверхностью мы имеем в виду вложенное двумерное подмногообразие, определяемое локально уравнениями где суть такие -функции, что при векторы не равны нулю, не параллельны и

для двух разных действительных значений Тогда каждый вектор, лежащий на этой двумерной поверхности, обязательно пространственноподобен. В качестве изотропных

векторов, нормальных к , введем пропорциональные соответственно и затем нормируем их так, чтобы

Введя еще два единичных пространственноподобных вектора ортогональных друг к другу и к можно получить псевдоортогональный базис. Определим два вторых фундаментальных тензора на :

где симметричны.

Существуют два семейства изотропных геодезических, нормальных к соответственно двум изотропным нормалям Рассмотрим то семейство, касательный вектор которого К на равен Мы можем фиксировать наш псевдоортогональный базис приняв, что на и перенеся его параллельно вдоль изотропных геодезических. Проекция на пространство вектора девиации описывающего взаимное разделение соседних изотропных геодезических относительно изотропной геодезической будет удовлетворять уравнению (4.30) и начальным условиям

в точке Как и прежде, вращение этих полей будет равно нулю; начальное значение расхождения 0 равно -Аналогично предложению 4.4.3 имеем

Предложение 4.4.6

Если всюду то существует точка, сопряженная 9 вдоль в пределах афинного расстояния

В силу определения сопряженных точек их существование означает наличие в семействах геодезических самопересечений или каустик. Дальнейшее обсуждение роли сопряженных точек будет дано в следующем разделе.