8.5. Захваченная неполнота

В разд. 8.1 мы предложили использовать -неполноту в качестве определения сингулярности. Наш замысел состоял в том, чтобы поставить -неполную кривую в соответствие сингулярной точке, которая удалена из пространства-времени. Допустим,

однако, что имеется -неполная кривая к, у которой существует предельная точка т.е. к частично или полностью захвачена в компактной окрестности Тогда мы можем вложить в большее четырехмерное хаусдорфово паракомпактное многообразие так, чтобы к продолжилась в Действительно, если точка, в которой к пересекает границу то любая окрестность должна пересекать любую окрестность что невозможно, поскольку хаусдорфово и По существу, захваченную неполноту в можно охарактеризовать нехаусдорфовым поведением пополнения из конструкции Шмидта.

Предложение 8.5.1

Точка не отделена по Хаусдорфу в от точки если в существует неполная кривая к, для которой служит предельной точкой, конечной точкой в

Допустим, что — предельная точка -неполной кривой к. Можно построить горизонтальный лифт к кривой к в расслоении ортонормированных реперов Некоторая точка

будет служить для к конечной точкой. Если Т—некоторая окрестность точки то является открытой окрестностью х в . Таким образом, содержит все точки на после некоторой точки у. Поэтому все точки на к после будут лежать в Т и Т будет пересекать любую окрестность точки так как — предельная точка кривой к. о

Пространство Тауба — НУТ (разд. 5.8) служит примером, в котором существуют неполные геодезические, причем все они полностью захвачены в компактных окрестностях горизонтов прошлого и будущего Поскольку в этих компактных окрестностях метрика вполне регулярна, неполные геодезические не соответствуют сингулярностям скалярных полиномов кривизны. Рассмотрим неполную в будущем замкнутую изотропную геодезическую на горизонте будущего Пусть и пусть — первое положительное значение и, для которого Тогда, как и в разд. 6.4, параллельно перенесенный касательный к к вектор будет удовлетворять равенству

где для каждого где

Таким образом, если на взять параллельно перенесенный псевдоортонормированный базис где то для другого изотропного базисного вектора выполняется равенство При каждом обороте вдоль замкнутой изотропной геодезической вектор становится больше, а вектор — меньше. Векторы не меняются. Поэтому если тензор Римана имеет ненулевую компоненту, которая включает , возможно, то она будет казаться все больше и больше при каждом обороте по , следовательно, будет иметь место сингулярность кривизны в параллельно перенесенном базисе. Однако в пространстве Тауба—НУТ вектор можно выбрать так, что у тензора Римана будет только одна независимая компонента, а именно Она включает одинаковым образом и поэтому не меняет своего значения с оборотами по X. Поскольку такой же вывод, по всей вероятности, справедлив для любой захваченной кривой, похоже, что в пространстве Тауба — НУТ нет никакой сингулярности кривизны, хотя оно, согласно нашему определению, сингулярно. Хотелось бы знать, может ли случиться нечто подобное в физически реалистических решениях, содержащих вещество, или же пространство Тауба — НУТ является особым патологическим случаем. Этот вопрос важен потому, что в следующей главе мы будем обосновывать такую интерпретацию предыдущих теорем, согласно которой они свидетельствуют не о том, что непременно должна быть сингулярность, а о том, что в сильных гравитационных полях общая теория относительности теряет силу. Таких полей нет в ситуации, подобной пространству Тауба — НУТ. Этот вывод основан на весьма специальном виде тензора Римана в пространстве Тауба — НУТ. Следует ожидать, что в общем случае на захваченной кривой будут отличны от нуля некоторые другие компоненты тензора Римана и соответственно появятся сингулярности кривизны в параллельно перенесенном базисе, хотя сингулярности скалярных полиномов могут и отсутствовать. Действительно, можно доказать

Предложение 8.5.2

Если предельная точка -неполной кривой X и если в для всех непространственноподобных векторов К

то кривой X соответствуют сингулярности кривизны в параллельно перенесенном базисе. (Условие может быть

заменено условием отсутствия каких-либо изотропных направлений , для которых

Пусть выпуклая нормальная координатная окрестность точки с компактным замыканием, и пусть — поле дуальных ортонормированных базисов в Пусть — параллельно перенесенные дуальные ортонормировянные базисы на кривой -параметр на X, такой, что в

где — компоненты касательного вектора в базисе Тогда параметром измеряется длина дуги в положительно определенной метрике в в которой базисы ортонор-мированы.

Поскольку в для любого непространственноподобного вектора существует окрестность в которой

где постоянная, — единичный времениподобный вектор и удовлетворяет неравенству при любом непространственноподобном векторе Допустим, что после некоторого значения параметра кривая X пересечет Т. Поскольку у X нет конечных точек, предельная точка X, та часть X, которая лежит в будет иметь бесконечную длину, если она измерена по параметру Однако обобщенный аффинный параметр дается формулой

где — компоненты касательного вектора так что — компоненты базиса в базисе . Поскольку параметр и конечен на кривой X, модуль вектора-столбца должен стремиться к нулю и соответственно преобразования Лоренца, определяемые компонентами должны стать неограниченно большими. — единичный времениподобный вектор, и поэтому компоненты в базисе будут неограниченно расги, а следовательно, и некоторые компоненты тензора Риччи в базисе станут сколь угодно велики.

Из этого результата видно, что наблюдатель, чья история представляет собой Ь-неполную, захваченную непространствен-поподобную кривую в характерном пространстве, будет сброшен с этой кривой за конечный промежуток времени, тогда как другой наблюдатель может путешествовать в том же районе, не

испытывая ничего подобного. Интересным примером в этом отношении служит такое пространство Тауба — НУТ, у которого метрика умножена на конформный множитель отличающийся от единицы лишь в малой окрестности точки на горизонте. Это конформное преобразование не меняет причинной структуры пространства и не влияет на неполноту замкнутой изотропной геодезической, проходящей через точку Однако, вообще говоря, где касательный вектор к этой замкнутой изотропной геодезической. После каждого цикла умножается на и поэтому имеет место сингулярность кривизны в параллельно перенесенном базисе. Все же метрика вполне регулярна в компактной окрестности горизонта, и потому с этой неполнотой не связана никакая сингулярность скалярных полиномов кривизны.

Было бы желательно исключить ситуацию такого рода, когда неполные кривые полностью захвачены в компактной области. Однако такое могло бы произойти в бесконечном счетном множестве различных областей пространства-времени. Поэтому при рассмотрении ее нельзя ограничиться случаем, когда все неполные кривые полностью заключены в каком-то одном компактном множестве. Вместо этого правильно будет сказать, что мы хотим исключить ситуацию, когда множество неполных кривых, которое в каком-то смысле компактно, полностью захвачено в компактной области многообразия Чтобы выразить это в более строгой форме, мы введем следующее определение -ограниченности.

Определим пространство как множество всех пар , где и — точка в расслоении линейных реперов и -кривая в имеющая только одну конечную точку, лежащую в . Пусть — открытое множество в и Т—открытое множество в Мы определим открытое множество как множество всех элементов из В таких, что X пересекают Множества вида при всех

Т образуют подбазис для топологии Напомним, что отображение определяется заданием вектора X в точке и смещением из вдоль геодезической в направлении X на единицу расстояния, измеренного по аффинному параметру, который определяется вектором X. Аналогично мы можем задать отображение следуя из вдоль кривой X на единицу расстояния, измеренного по обобщенному аффинному параметру, который определен точкой Отображение определено непрерывным образом для любого В когда — полное многообразие. Будем говорить, что пространство -ограиичепо. если для любого компактного множества обладает компактным замыканием в Ввиду непрерывности пространство

Ь-ограничено, если оно -полно. Однако пространство Тауба — НУТ, например, -ограничено, но -неполно. Мы покажем, что это оказалось возможным только из-за того, что пространство Тауба — НУТ везде пустое. Присутствие любой материи на поверхности (теорема 4) будет означать, что пространство и -неполно, и - неограниченно.

Теорема 5

Пространство-время -неполно, если выполняются условия (1) — (3) теоремы 4 и, кроме того,

4) тензор энергии-импульса не равен нулю где-либо на ,

5) тензор энергии-импульса подчиняется условию энергодоминантности (разд. 4.3) в несколько более сильной форме (разд. 4.3): если — непространственноподобный вектор, то равен нулю или непространственноподобен и , причем равенство имеет место лишь при

Замечание. Условие (4) можно заменить типовым условием (см. теорему 2).

Доказательство. Рассмотрим накрывающее пространство (разд. 6.5), определенное как множество всех пар где — кривая от до — разность чисел пересечений поверхности кривой в направлении будущего и в направлении прошлого. Для каждого положительного а множество

диффеоморфно поверхности и является частичной поверхностью Коши в Вообще, если многообразие -ограничено, еще не обязательно является таковым, но в рассматриваемой ситуации справедливо следующее утверждение:

Лемма 8.5.3

Пусть выполнены условия (1) — (3), и пусть не обладает компактным замыканием в тогда, если — накрывающая проекция, не будет иметь компактного замыкания в

Многообразие диффеоморфно или многообразию или той части а многообразия , которая лежит между и в последнем случае отождествляются. Если для любого а не имеет компактного замыкания в , то не будет иметь компактного замыкания в Если, однако, множество обладает компактным замыканием для всех , в силу некомпактности оно должно быть также и непустым для всех . Но для собственный объем ограничен снизу некоторой постоянной с. Следовательно, для любого

собственный объем области не должен быть меньше с. Но это невозможно, поскольку, в силу условий (1) — (3) и предложения 6.7.1, собственный объем меньше, чем (площадь поверхности , где отрицательная верхняя грань на

Используя этот результат, можно доказать такое утверждение:

Лемма 8.5.4

Если не имеет компактного замыкания, многообразие не является -ограниченным.

Пусть — подмножество пространства состоящее из всех пар , где — любая непродолжнмая в будущее, ортогональная к времениподобная геодезическая кривая в с конечной точкой и -любой базис в один из векторов которого касателен к и имеет длину а остальные векторы образуют ортонормированный базис в

Пусть — набор открытых множеств, покрывающих Каждое будет объединением конечного числа пересечений множеств вида Т). Достаточно рассмотреть случай, когда можно представить в виде

где при каждом — набор некоторого конечного числа открытых множеств в ; — открытое множество в . Пусть Тогда существует значение а, при котором Это означает, что геодезическая пересекает открытое множество при каждом значении и что Поскольку геодезические непрерывно зависят от их начальных значений, найдется окрестность точки такая, что каждая непродолжимая в будущее геодезическая, проходящая через и ортогональная к будет пересекать при каждом значении Пусть — открытое множество, такое, что Тогда

содержится в Таким образом, множества образуют измельчение покрытия

Рассмотрим подмножество расслоения состоящего из всех базисов над в которых один из базисных векторов ортогонален к и имеет длину — а остальные векторы образуют ортонормированный базис в . В силу компактности оно может быть покрыто конечным числом множеств . Следовательно, компактно и поскольку его можно покрыть конечным числом множеств

По предложению 6.7.1 каждая точка области лежит в пределах собственного расстояния вдоль направленной в будущее времениподобной геодезической, ортогональной к Это означает, что содержит Пусть есть отображение, переводящее Тогда будет компактным подмножеством пространства для которого

Таким образом, если не компактно, тоже не компактно и, следовательно, пространство не является -ограниченным.

Отсюда видно, что достаточно доказать некомпактность Допустим, что оно компактно. Тогда горизонт тоже должен быть компактным. Ниже мы покажем, что отсюда вытекает равенство нулю расхождения изотропных геодезических всюду на Это невозможно, если плотность материи где-либо на отлична от нуля.

Лемма 8.5.5

Если — частичная поверхность Коши и если горизонт компактен, то изотропные геодезические сегменты-образующие геодезически полны в направлении прошлого.

Из предложения 6.5.2 следует, что сегменты-образующие не имеют конечных точек в прошлом. Следовательно, они должны образовывать «почти замкнутые» кривые в компактном множестве Если бы они образовывали настоящие замкнутые кривые, то можно было бы воспользоваться предложением 6.4.4 и показать, что при их неполноте в направлении прошлого вариацией в направлении прошлого из них можно получить замкнутые времениподобные геодезические. Однако это оказывается невозможным из-за того, что такие кривые должны были бы лежать в . В случае, когда изотропные геодезические образующие горизонта только «почти замкнуты», доказательство аналогичное, хотя несколько более тонкое.

Введем направленное в будущее единичное векторное поле V, геодезическое в некоторой окрестности с компактным замыканием горизонта Введем, как в предложении 6.4.4, положительно определенную метрику

Пусть — параметр, измеряющий собственное расстояние в метрике вдоль изотропной геодезической, образующей сегмент у горизонта причем в некоторой точке Тогда

Поскольку у нет конечной точки в прошлом, параметр не ограничен снизу. Пусть и даны равенствами

где — некоторый аффинный параметр. Допустим, что у геодезически неполна в прошлом, тогда аффинный параметр

при должен иметь нижнюю грань Рассмотрим теперь вариацию а кривой у с вектором вариации Тогда

Поскольку при можно найти такую ограниченную функцию что выражение (8.3) будет отрицательным при всех Однако этого не будет достаточно для уверенности в том, что вариация дала всюду времениподобную кривую, поскольку может случиться, что область значений и, для которой (8.3) остается отрицательным, стремится к нулю при Чтобы учесть это, рассмотрим вторую производную при вариации:

Выбирая и пользуясь тем фактом, что V — геодезическое векторное поле в окрестности горизонта полученное выражение при 0 и можно привести к виду

В любом ортонормированном относительно метрики базисе компоненты тензора Римана и ковариантных производных (относительно ) V будут на ограниченными. Таким образом, существует такая постоянная что

Далее,

так что

Отсюда при

где и — верхняя грань для . Таким образом, имеем

где Поэтому

и

где

Возьмем теперь

где

тогда Поскольку функция ограничена на компактном множестве и поскольку предполагается, что интеграл

сходится при должны иметь верхнюю грань, а при — — положительную нижнюю грань. Тогда для , если — .

Другими словами, вариация а должна дать непродолжимую в прошлое времениподобную кривую, лежащую в

и полностью заключенную в компактном множестве Но это невозможно, поскольку по лемме 6.6.5 в выполняется условие сильной причинности. Следовательно, кривая у должна быть геодезически полной в направлении прошлого.

Рассмотрим расхождение касательных векторов к изотропным геодезическим образующим поверхности -Допустим, что в некоторой точке образующей у и пусть пространственноподобная -поверхность в некоторой окрестности на 0), проходящая через Образующие поверхности будут ортогональны к и будут сходиться в прошлое. Тогда по условию (1) и доказанной выше лемме должна быть точка сопряженная вдоль у (предложение 4.4.6). Точки у, лежащие за точкой могли бы быть соединены с времениподобными кривыми (предложение 4.5.14). Но это невозможно в силу того, что -ахрональное множество. Следовательно, на

Рассмотрим теперь семейство дифференцируемых отображений

определяемых как перенос точки на расстояние (измеренное в метрике в прошлое вдоль изотропной геодезической, проходящей через Пусть — площадь малого элемента поверхности измеренная в метрике При отображении

Следовательно,

Но отображает на если образующие сегменты не имеют будущих конечных точек]. Таким образом, интеграл (8.4) должен быть меньше или равен нулю. Вместе с предыдущим результатом это означает, что на Согласно уравнению распространения (4.35), это возможно лишь тогда, когда всюду на где К — касательный вектор изотропной геодезической образующей. Однако, согласно теореме сохранения (разд. 4.3), из условия (5) следует, что величина где-нибудь на отлична от нуля и, согласно уравнениям Эйнштейна (с -членом или без него),

[Строго говоря, требуемая форма теоремы сохранения несколько отличается от приведенной в разд. 4.3. Поскольку нет

каких-либо подходящих пространственноподобных поверхностей, пересекающих мы используем семейство поверхностей, одной из которых является а остальные — пространственноподобные. Эти поверхности можно задать, взяв значение функции в точке равным собственному объему взятому со знаком минус. Поскольку вектор становится изотропным на утверждение о существовании такой постоянной при которой на выполняется неравенство

более не является обязательно справедливым. Однако, если — времениподобное векторное поле на существует постоянная С, для которой

и

Затем можно поступить, как в разд. 4.3, используя вместо и доказывая, что величина не может быть равной нулю на если она отлична от нуля на Тогда наше утверждение следует из условия (5).]