2.3. Отображение многообразий
В этом параграфе, пользуясь общим понятием отображения О-многообразия, мы дадим определение понятий вложения, погружения и индуцированного отображения тензоров. Первые два из них будут полезны позднее при рассмотрении подмногообразий, а третье играет важную роль при исследовании поведения семейств кривых и при установлении свойств симметрии многообразий.
Отображение
из
-мерного (
-многообразия Л в
-мерное
-многообразие называется отображением класса О или О-отображением
если для каких-либо локальных координатных систем в
координаты точки-образа
суть О-функции координат точки
Поскольку такое отображение, вообще говоря, не является взаимно однозначным (например, оно не может быть таковым, если
то в общем случае оно не имеет обратного. Даже, если некоторое
-отображение имеет обратное, то последнее, вообще говоря, не будет класса О (пусть, например,
есть отображение устанавливающее соответствие
тогда
недифференцируемо в точке
Пусть
— функция на
Отображение
задает на
функцию
значением которой в точке
является значение
в точке
т. е.
Таким образом, когда
отображает точки из
линейно отображает функции из
Нели
-кривая, проходящая через точку
то кривая
на которую отображается
проходит через точку
При
касательный вектор к этой кривой в точке
будем обозначать как
его можно рассматривать как образ вектора
при отображении
Очевидно,
есть линейное отображение из
Из (2.5) и определения вектора как производной по направлению следует, что отображение векторов
можно охарактеризовать соотношением
для каждой
-функции
в точке
и вектора X в
Используя отображение векторов
из
можно при
определить линейное отображение
-форм
из
требуя, чтобы свертка вектора и
-формы при этих отображениях сохранялась. Тогда
-форма
отображается в
-форму
причем для произвольного вектора
имеем
Следствием этого является равенство
Отображениям
можно придать более широкий смысл отображений контравариантных тензоров из
и ковариантных тензоров из
соответственно, если задать следующие правила:
причем для любого
и для любого
При
говорят, что
-отображение
из
имеет ранг
в точке
если размерность
равна
Оно называется инъективным в
если
(и, следовательно,
) в
тогда в
нет вектора, который обращается отображением Ф в нуль,
называется сюръективным, если
(и, следовательно,
).
С-отображение
называют погружением, если оно и обратное ему отображение локально также являются С-отоб-ражениями, т. е. если у каждой точки
существует такая ее окрестность
что обратное отображение
ограниченное на
тоже принадлежит классу
. Это означает, что
. В силу теоремы о неявной функции
при
тогда и только тогда будет погружением, когда оно инъективно в каждой точке
в этом случае
есть изоморфизм
на
его образ
. В этом случае говорят, что образ
является
-мерным погруженным подмногообразием в
Это подмногообразие может иметь самопересечения, т. е.
может не быть взаимнооднозначным, если ограничиться малой окрестностью в
.
Погружение является вложением, если оно представляет собой гомеоморфизм на свой образ по индуцированной топологии. Таким образом, вложение есть взаимно-однозначное погружение; однако не всякое взаимнооднозначное погружение есть вложение, см., например, рис. 6.
Рис. 6. Взаимно однозначное погружение
в
не являющееся вложением. Оно получено гладким присоединением части кривой
к кривой
Отображение
называется собственным, если образ любого компактного множества
при обратном отображении
компактен. Можно показать, что собственное взаимно-однозначное погружение есть вложение. Образ
многообразия
при отображении
называется n-мерным вложенным подмногообразием
Отображение из 1 в
называют
-диффеоморфизмом, если оно является взаимно-однозначным
-отображением и обратное отображение
есть С-отображение из
. В этом случае
и при
одновременно и инъективно, и сюръективно. Обратно, из теоремы о неявной функции следует, что если
и инъективно, и сюръективно в точке
то
имеет открытую окрестность
такую, что
есть диффеоморфизм. Таким образом,
есть локальный диффеоморфизм в окрестности
если
является изоморфизмом из