2.3. Отображение многообразий

В этом параграфе, пользуясь общим понятием отображения О-многообразия, мы дадим определение понятий вложения, погружения и индуцированного отображения тензоров. Первые два из них будут полезны позднее при рассмотрении подмногообразий, а третье играет важную роль при исследовании поведения семейств кривых и при установлении свойств симметрии многообразий.

Отображение из -мерного (-многообразия Л в -мерное -многообразие называется отображением класса О или О-отображением если для каких-либо локальных координатных систем в координаты точки-образа суть О-функции координат точки Поскольку такое отображение, вообще говоря, не является взаимно однозначным (например, оно не может быть таковым, если то в общем случае оно не имеет обратного. Даже, если некоторое -отображение имеет обратное, то последнее, вообще говоря, не будет класса О (пусть, например, есть отображение устанавливающее соответствие тогда недифференцируемо в точке

Пусть — функция на Отображение задает на функцию значением которой в точке является значение в точке т. е.

Таким образом, когда отображает точки из линейно отображает функции из

Нели -кривая, проходящая через точку то кривая на которую отображается проходит через точку При касательный вектор к этой кривой в точке будем обозначать как его можно рассматривать как образ вектора при отображении

Очевидно, есть линейное отображение из Из (2.5) и определения вектора как производной по направлению следует, что отображение векторов можно охарактеризовать соотношением

для каждой -функции в точке и вектора X в

Используя отображение векторов из можно при определить линейное отображение -форм из требуя, чтобы свертка вектора и -формы при этих отображениях сохранялась. Тогда -форма отображается в -форму причем для произвольного вектора имеем

Следствием этого является равенство

Отображениям можно придать более широкий смысл отображений контравариантных тензоров из и ковариантных тензоров из соответственно, если задать следующие правила:

причем для любого

и для любого

При говорят, что -отображение из имеет ранг в точке если размерность равна Оно называется инъективным в если (и, следовательно, ) в тогда в нет вектора, который обращается отображением Ф в нуль, называется сюръективным, если (и, следовательно, ).

С-отображение называют погружением, если оно и обратное ему отображение локально также являются С-отоб-ражениями, т. е. если у каждой точки существует такая ее окрестность что обратное отображение ограниченное на тоже принадлежит классу . Это означает, что . В силу теоремы о неявной функции при тогда и только тогда будет погружением, когда оно инъективно в каждой точке в этом случае есть изоморфизм на

его образ . В этом случае говорят, что образ является -мерным погруженным подмногообразием в Это подмногообразие может иметь самопересечения, т. е. может не быть взаимнооднозначным, если ограничиться малой окрестностью в .

Погружение является вложением, если оно представляет собой гомеоморфизм на свой образ по индуцированной топологии. Таким образом, вложение есть взаимно-однозначное погружение; однако не всякое взаимнооднозначное погружение есть вложение, см., например, рис. 6.

Рис. 6. Взаимно однозначное погружение в не являющееся вложением. Оно получено гладким присоединением части кривой к кривой

Отображение называется собственным, если образ любого компактного множества при обратном отображении компактен. Можно показать, что собственное взаимно-однозначное погружение есть вложение. Образ многообразия при отображении называется n-мерным вложенным подмногообразием

Отображение из 1 в называют -диффеоморфизмом, если оно является взаимно-однозначным -отображением и обратное отображение есть С-отображение из . В этом случае и при одновременно и инъективно, и сюръективно. Обратно, из теоремы о неявной функции следует, что если и инъективно, и сюръективно в точке то имеет открытую окрестность такую, что есть диффеоморфизм. Таким образом, есть локальный диффеоморфизм в окрестности если является изоморфизмом из

Если отображение является -диффеоморфизмом то отображает отображает Следовательно, мы можем определить отображение пространства при любых равенством

где произвольны. Это отображение тензоров типа на в тензоры типа на М сохраняет симметрии и соотношения тензорной алгебры; например, свертка равна отображению свертки Т.