6.8. Причинная граница пространства-времени

В этом разделе мы изложим в общих чертах метод присоединения границы к пространству-времени, предложенный Героком, Кронхеймером и Пенроузом [60]. Это построение зависит только от причинной структуры т. е. в нем не различаются граничные точки, находящиеся конечном расстоянии и на бесконечности. В разд. 8.3 мы дадим описание другого построения, при котором присоединяется граница, представляющая лишь сингулярные точки. К сожалению, похоже, что между этими построениями нет явной связи.

Будем предполагать, что удовлетворяет условию причинности. Тогда любая точка однозначно определяется ее хронологическим будущим или прошлым т. е.

Хронологическое прошлое любой точки обладает следующими свойствами:

1) — открытое множество;

2) — множество прошлого, т. е.

3) не может быть представлено в виде объединения двух собственных подмножеств, обладающих свойствами (1) и (2).

Множество со свойствами (1) — (3) мы будем называть неразложимым множеством прошлого, сокращенно (Определение, данное в [60], не включает свойства (1), тем не менее оно эквивалентно нашему определению, поскольку в [60] под

«множеством прошлого» подразумевается множество, которое равно своему хронологическому прошлому, а не только содержит его.)

Рис. 47. (см. скан) Диаграммы Пеироуза пространства Минковского и пространства де рода (ср. рис. 15 и 20). на которых изображены: ГНП, представляющее на точку пространства Минковского (а), и НП и ГНБ, представляющее на 3 точку пространства де Ситтера 2-го рода (б).

Аналогично определяется неразложимое множество будущего (НБ).

Все НП делятся на два класса: собственные НП (СНП), которые являются прошлым каких-либо точек в к граничные НП

(ГНП), которые не являются прошлым каких-либо точек в Идея состоит в том, чтобы рассматривать эти ГНП и соответствующим образом определенные ГНБ в качестве представителей точек, лежащих на причинной границе (с-граница) пространства Например, в пространстве Минковского заштрихованную область на рис. 47, а можно рассматривать в качестве представителя точки на Заметим, что в этом примере многообразие в целом само является и ГНП, и ГНБ, причем эти НП и НБ можно считать представителями точек соответственно. Всем точкам конформной границы пространства Минковского, за исключением могут быть поставлены в соответствие ГНП или ГНБ. В некоторых случаях, таких, как пространство де Ситтера 2-го рода, где конформная граница времениподобна, представителями одной и той же точки границы могут быть и ГНБ и ГНП (рис. 47, б).

ГНП можно охарактеризовать и как прошлое непродолжимых в будущее времениподобных кривых. Это означает, что прошлое непродолжимой в будущее кривой у можно рассматривать в качестве представителя конечной точки у в будущем на с-границе. Другая кривая у в будущем будет иметь ту же конечную точку, если и только если

Предложение 6.8.1 (Герок, Кронхеймер и Пенроуз)

Множество есть ГНП тогда и только тогда, когда существует непродолжимая в будущее времениподобная кривая для которой

Предположим сначала, что имеется кривая у для которой Пусть где и Т — некоторые открытые множества прошлого. Нам нужно показать, что или с Т, или Предположим противное: не содержится в Т и Т не содержится в Тогда можно найти точку — Т и точку Поскольку должны найтись такие точки что Но независимо от того, какое из множеств, или Т, содержит более позднюю из точек она будет содержать также и и что противоречит первоначальному определению и

Обратно, допустим, что V есть ГНП. Тогда можно построить времениподобную кривую у, для которой При этом, если — какая-либо точка множества то

Однако неразложимо, и потому или или Точка не содержится в так что вторая возможность исключается.

Этот вывод можно переформулировать следующим образом: в найдется точка, находящаяся в будущем относительно

любой данной пары точек из Выберем теперь счетное плотное семейство точек Возьмем некоторую точку находящуюся в будущем Поскольку принадлежат в будущем обеих этих точек можно подобрать точку Так как каждая точка полученная таким способом, лежит в прошлом последующей точки, в можно построить времениподобную кривую, проходящую через все точки последовательности.

Для каждой точки — открытое и непустое множество и оно должно содержать по меньшей мере одну из поскольку эти точки плотны. Но для каждого точка лежит в прошлом поэтому сама лежит в прошлом у. Отсюда ясно, что каждая точка лежит в прошлом у, и, поскольку у принадлежит открытому прошлому множеству должно иметь место равенство

Обозначим через множество всех НП пространства Тогда представляет все точки вместе с точками будущей с-границы; аналогично, множество всех НБ пространства представляет вместе с прошлой с-границей. Причинные отношения и Е можно распространить на следующим образом. О множествах будем говорить, что

С учетом этих отношений НП-пространство является причинным пространством [94]. Существует естественное инъективное отображение которое переводит точку Это отображение является изоморфизмом причинного отношения поскольку тогда и только тогда, когда Причинное сохраняется только в одну сторону, т. е. . Подобным же образом можно определить причинные отношения на

Теперь наша цель состоит в том, чтобы как-то составить из пространство которое имело бы вид , где можно было бы назвать границей пространства Для этого нам нужен метод отождествления соответствующих НП и Начнем с построения пространства представляющего собой объединение в котором каждое отождествлено с соответствующим Другими словами, соответствует точкам вместе со всеми ГНП и ГНБ. Однако, как

поназывает пример пространства де Ситтера 2-го рода, необходимо еще и отождествление некоторых ГНП с определенными ГНБ. Один способ такого построения состоит в наделении топологией и в последующем отождествлении некоторых точек таким образом, чтобы эта топология стала хаусдорфовой.

Как было упомянуто в разд. 6.4, базисом такой топологии в топологическом пространстве могут служить множества вида . К сожалению, подобный метод не может быть применен для задания базиса топологии поскольку в могут быть точки, которые не принадлежат хронологическому прошлому какой-либо точки Однако топологию можно получить также исходя из подбазиса, который состоит из множеств вида Следуя этой аналогии, Герок, Кронхеймер и Пенроуз показали, как можно задать топологию на Для определяем множества

и

для множества определяются аналогично. Открытые множества пространства Л определяются тогда как объединения и конечные пересечения множеств вида Множества являются аналогами множеств в . Если, в частности, то тогда и только тогда, когда Эти определения позволяют, однако, включить ГНП в Множества и являются аналогами

Окончательно мы получаем пространство , отождествив в наименьшее число точек, необходимое для превращения в хаусдорфово пространство. Точнее — фактор-пространство где — пересечение всех отношений эквивалентности а для которых хаусдорфово. Пространство обладает топологией, индуцированной из и согласующейся с топологией многообразия на подмножестве Вообще говоря, дифференцируемую структуру многообразия нельзя распространить на с-границу хотя можно это сделать для части в частном случае, который будет описан в следующем разделе.