2.8. Элемент объема и теорема Гаусса

Пусть -базис -форм; из него можно образовать -форму

Если — другой базис, связанный с соотношением то и -форма определяемая базисом связаны равенством

и, следовательно, эта форма не единственна. Однако наличие метрики можно использовать для введения -формы

где Компоненты этой -формы равны

Согласно закону преобразования определитель сокращается при условии, что он положителен. Поэтому, если ориентируемо, -формы определенные координатными базисами некоторого ориентированного атласа, будут тождественны. Иначе говоря, если задана ориентация можно однозначно определить поле -форм (каноническую -форму) на Контравариантный антисимметричный тензор

имеет компоненты

где — сигнатура (и, следовательно, число равно числу отрицательных собственных значений матрицы из компонент метрики). Поэтому эти тензоры удовлетворяют соотношениям

Из соотношений Кристоффеля следует, что ковариантные производные относительно связности, определяемой метрикой, равны нулю, т. е.

С помощью канонической -формы можно определить объем (относительно метрики ) -мерного подмногообразия как

Таким образом, можно рассматривать как положительно определенную меру объема на Мы будем часто пользоваться ею в этом смысле, обозначая ее Отметим, что здесь не означает оператор внешнего дифференцирования; есть просто мера на Если — функция на можно определить ее интеграл по относительно этой меры:

Относительно локальных ориентированных координат этот интеграл можно представить в виде кратного интеграла

который инвариантен относительно замены координат.

Свертка векторного поля X на будет полем -формы причем

Эту -форму можно интегрировать по любому (-мерному компактному ориентируемому подмногообразию У. Этот интеграл запишем в виде

причем мы считаем, что форма являющаяся мерой на Т, определяется канонической формой Если ориентация Т задана направлением нормальной формы , то можно представить в виде где — положительно определенная мера объема на подмногообразии Т. Пока нормаль не нормирована, мера объема определена неоднозначно. При нормировке на на единицу по метрике на т. е. если становится равной мере объема на У, которую задает на У индуцированная метрика (чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать ортонормированный базис с в качестве одного из базисных векторов).

С помощью канонической формы из теоремы Стокса можно вывести формулу Гаусса: для любого компактного -мерного подмногообразия

Однако

где дважды использовано равенство (2.37). Отсюда для любого векторного поля X

это и есть теорема Гаусса. Отметим, что эта теорема справедлива при такой ориентации в задаваемой нормальной формой при которой для вектора X, направленного наружу . Если метрика такова, что вектор направлен внутрь