Главная > Крупномасштабная структура пространства-времени
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.8. Элемент объема и теорема Гаусса

Пусть -базис -форм; из него можно образовать -форму

Если — другой базис, связанный с соотношением то и -форма определяемая базисом связаны равенством

и, следовательно, эта форма не единственна. Однако наличие метрики можно использовать для введения -формы

где Компоненты этой -формы равны

Согласно закону преобразования определитель сокращается при условии, что он положителен. Поэтому, если ориентируемо, -формы определенные координатными базисами некоторого ориентированного атласа, будут тождественны. Иначе говоря, если задана ориентация можно однозначно определить поле -форм (каноническую -форму) на Контравариантный антисимметричный тензор

имеет компоненты

где — сигнатура (и, следовательно, число равно числу отрицательных собственных значений матрицы из компонент метрики). Поэтому эти тензоры удовлетворяют соотношениям

Из соотношений Кристоффеля следует, что ковариантные производные относительно связности, определяемой метрикой, равны нулю, т. е.

С помощью канонической -формы можно определить объем (относительно метрики ) -мерного подмногообразия как

Таким образом, можно рассматривать как положительно определенную меру объема на Мы будем часто пользоваться ею в этом смысле, обозначая ее Отметим, что здесь не означает оператор внешнего дифференцирования; есть просто мера на Если — функция на можно определить ее интеграл по относительно этой меры:

Относительно локальных ориентированных координат этот интеграл можно представить в виде кратного интеграла

который инвариантен относительно замены координат.

Свертка векторного поля X на будет полем -формы причем

Эту -форму можно интегрировать по любому (-мерному компактному ориентируемому подмногообразию У. Этот интеграл запишем в виде

причем мы считаем, что форма являющаяся мерой на Т, определяется канонической формой Если ориентация Т задана направлением нормальной формы , то можно представить в виде где — положительно определенная мера объема на подмногообразии Т. Пока нормаль не нормирована, мера объема определена неоднозначно. При нормировке на на единицу по метрике на т. е. если становится равной мере объема на У, которую задает на У индуцированная метрика (чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать ортонормированный базис с в качестве одного из базисных векторов).

С помощью канонической формы из теоремы Стокса можно вывести формулу Гаусса: для любого компактного -мерного подмногообразия

Однако

где дважды использовано равенство (2.37). Отсюда для любого векторного поля X

это и есть теорема Гаусса. Отметим, что эта теорема справедлива при такой ориентации в задаваемой нормальной формой при которой для вектора X, направленного наружу . Если метрика такова, что вектор направлен внутрь

1
Оглавление
email@scask.ru