5.8. Пространство Тауба — НУТ

В 1951 г. Тауб получил пространственно-однородное решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве с топологией и метрикой

где

m и I — положительные постоянные. Здесь — координаты Эйлера на , следовательно,

Эта метрика особенна при где Ее можно продолжить через эти поверхности и получить пространство, найденное Ньюменом, Тамбурино и Унти по прежде чем перейти к обсуждению этого расширения, рассмотрим простой двумерный пример с похожими свойствами, принадлежащий Мизнеру [105]. Это пространство обладает топологией а метрика определяется формулой

где Эта метрика особенна при Если принять, что многообразие определяется координатами и причем то можно расширить, вводя Тогда получаем метрику

Метрика аиалитична на многообразии с топологией которое определяется координатами и причем Область пространства изометрична Основные черты пространства можно понять из рис. 32. В области имеются замкнутые времениподобные линии, но их нет там, где Одно семейство изотропных геодезических изображается на рис. 32 вертикальными линиями; они пересекают поверхность Другое семейство приближается к по спирали, но никогда не пересекает эту поверхность. Аффинные длины этих геодезических всегда конечны. Таким образом, расширение не симметрично относительно двух семейств изотропных геодезических, хотя исходное пространство было симметричным. Однако можно задать другое расширение в котором эти два семейства меняются ролями. Для этого определим как Интервал, определяющий метрику равен

Метрика аналитична на многообразии с топологией определяемом и неравенством — Область пространства изометрична Определив так мы в некотором смысле «раскрутили» второе семейство изотропных геодезических так, чтобы они превратились в вертикальные линии, и теперь их можно продолжить через Однако при этом мы «намотали» первое семейство, так

(кликните для просмотра скана)

что его геодезические стали спиральными, и их уже нельзя продолжить через Таким образом, мы имеем два неэквивалентных локально нерасширяемых аналитических расширения пространства причем обе геодезических неполны. Связь между этими двумя расширениями хорошо видна при переходе к накрывающему пространству пары

Оказывается, что таким накрывающим пространством является область I двумерного пространства Минковского содержащаяся внутри светового конуса будущего точки (рис. 32, б). Изометрии оставляющие неподвижной точку образуют однопараметрическую группу (группа Лоренца для метрики орбитами которой являются гиперболы где — обычные координаты Минковского. Пространство есть фактор-пространство пространства по дискретной подгруппе группы Лоренца, которая состоит из целое), причем А отображает в

иначе говоря, отождествляются точки

при всех целых они соответствуют точке

Действие группы изометрии в области I — собственно разрывное. Действие группы Н на многообразии называется собственно разрывным, если:

1) у каждой точки имеется окрестность такая, что для любого Лей, который не является единицей группы;

2) точки которые при любом Лей удовлетворяют условию обладают соответственно окрестностями такими, что при любом .

Условие (1) означает, что фактор-пространство является многообразием, а условие - что это многообразие хаусдорфово. Таким образом, фактор-пространство есть хаусдорфово пространство Действие собственно разрывно также в областях Следовательно, — тоже хаусдорфово пространство; на самом деле оно совпадает с Аналогично хаусдорфово пространство Отсюда видно, почему одно семейство изотропных геодезических может быть выбрано полным в расширении а другое семейство — в расширении

Казалось бы, можно осуществить оба расширения одновременно. Однако действие группы в области т. е. при удовлетворяет лишь условию (1), а условие (2) для точек на границе между точек на границе между и III не выполняется. Поэтому фактор-пространство не хаусдорфово, хотя и является многообразием.

Этот тип нехаусдорфова поведения отличается от примера, приведенного в разд. 2.1. Там можно было провести непрерывные кривые, которые разветвляются так, что две ее ветви уходят в разные области. Такое поведение мировой линии наблюдателя представляется крайне неудобным. В многообразии нет разветвляющихся кривых. Кривые из области можно продолжить в II или в III, но не в обе эти области одновременно. Это могло бы служить отправной точкой для такого ослабления требования хаусдорфовости модели пространства-времени, при котором допускаются ситуации описанного здесь типа, но исключаются те, которые приводят к бифуркации кривых. Дальнейшие результаты по нехаусдорфовым моделям пространства-времени можно найти в работе [66].

Можно убедиться, что условию (1) удовлетворяет действие на Следовательно, пространство является в некотором смысле максимальным нехаусдорфовым расширением пространства Однако и оно геодезически неполно, ибо есть геодезические, которые проходят через точку которую надо удалить. Если же оставить, то действие группы не удовлетворяет условию (1) и поэтому фактор-пространство не будет даже нехаусдорфовым многообразием. Рассмотрим, однако, расслоение линейных реперов т. е. совокупность всех пар линейно-независимых векторов во всех точках Действие элемента А группы изометрий на индуцирует операцию на которая переводит репер в точке в репер в точке Эта операция удовлетворяет условию (1), поскольку даже для и если, конечно, не есть тождественное преобразование; она удовлетворяет также услозию (2), если даже X и лежат на изотропном конусе Таким образом, фактор-пространство хаусдорфово многообразие. Оно является расслоенным пространством над множеством которое само не хаусдорфово и даже не многообразие. В определенном смысле можно было бы рассматривать как расслоение линейных реперов для пространства Тот факт, что расслоение линейных реперов может иметь нужные свойства, даже если само пространство ими не обладает, приводит к

мысли о полезности изучения сигулярпостей с точки зрения расслоения линейных реперов. Общий подход к этому указан в разд. 8.3.

Вернемся теперь к четырехмериому пространству Тауба где — это а метрика дана формулой (5.32). Поскольку одиосвязно, мы не можем, как в двумерном примере, построить накрывающее пространство. Однако можно получить похожий результат, рассматривая как расслоенное пространство над со слоем проекция расслоения определяется как Фактически это произведение оси на расслоение Хопфа которого имеется слой Пространство допускает 4-параметрическую группу изометрий, поверхностями транзитивности которой являются -сферы Эта группа изометрий отображает слои расслоения снова в слои, так что изометричны все пары где является слоем и — метрика, индуцированная в слое четырехмерной метрикой на Слой можно рассматривать как плоскость а метрика на получается из (5.32) отбрасыванием членов с определяется квадратичной формой

Касательное пространство в точке можно разложить на вертикальное подпространство которое касательно к слою и натянуто на векторы и на горизонтальное подпространство которое натянуто на векторы Любой вектор можно представить как сумму векторов лежащего в лежащего в Тогда метрику в можно записать так:

где — обычная метрика на -сфере: Итак, хотя метрика и не является прямой суммой (поскольку не есть прямое произведение . все же локально ее можно рассматривать в виде такой суммы.

Интересующая нас часть метрики содержится в и поэтому мы рассмотрим аналитические расширения пары Взяв их в такой же комбинации с метрикой -сферы, как в (5.34), мы получим аналитические расширения пространства

Метрика определяемая формулой (5.33), имеет особенности при в которых Однако, если взять многообразие задаваемое можно расширить,

введя координату

Тогда получаем метрику для которой

Эта метрика аналитична на многообразии с топологией , определяемой координатами причем . В области изометрична . В этой области нет времениподобных кривых, но они есть при

Это очень похоже на свойства рассмотренного ранее пространства за исключением того, что теперь возникают два горизонта (при ) вместо одного горизонта (при Одно семейство изотропных геодезических пересекает оба горизонта а другое семейство описывает спирали вокруг этих поверхностей и неполно.

Как и прежде, можно произвести иное расширение введением координаты

При этом получаем метрику для которой

и которая аналитична на многообразии определяемом координатами . Эта метрика тоже изометрична в области . Связь между разными расширениями снова можно продемонстрировать, перейдя к накрывающему пространству. Накрывающим пространством является многообразие определяемое координатами — На метрика может быть записана в изотропной форме

где Ее можно расширить подобно тому, как это было сделано в случае решения Райсснера — Нордстрема. Выберем на новые координаты

где

Здесь некоторое целое число. Тогда метрика полученная из (5.35) этим преобразованием, аналитична на многообразии изображенном на рис. 33, причем координаты аналитичны везде, кроме поверхности координаты — везде, кроме на своих поверхностях неаналитичности принадлежат по крайней мере классу Здесь имеется определенное сходство с расширением плоскости решения Райсснера — Нордстрема.

Рис. 33. Диаграмма Пенроуза максимально расширенного накрывающего пространства для Двумерного сечения пространства Тауба — НУТ; изображены орбиты группы изометрии. Пространство Тауба — НУТ и его расширения получены из части этого пространства отождествлением точек при действии дискретной подгруппы группы изометрии.

Пространство обладает однопараметрической группой изометрий, орбиты которой изображены на рис. 33. Вблизи точек эта группа действует подобно группе Лоренца в двумерном пространстве Минковского (см. рис. 32, б). Пусть

— дискретная подгруппа группы изометрии, порожденная нетривиальным элементом А последней. представляет собой фактор-пространство одной из областей по являются соответственно фактор-пространствами Построив фактор-пространство области мы могли бы получить хаусдорфово многообразие: это соответствует тому, чтобы расширять у поверхности как при построении , а поверхности как при построении же как в примере Мизнера, взяв фактор-пространство всего пространства без точек получаем нехаусдорфово многообразие, а взяв фактор-пространство получим пространство, которое не хаусдорфово и не многообразие. Аналогично примеру Мизнера, фактор-пространство расслоения линейных реперов над образует хаусдорфово многообразие.

Комбинируя эти расширения плоскости с координатами можно получить соответствующие расширения четырехмерного пространства В частности, два расширения и приведут к двум различным локально нерасширяемым расширениям пространства которые оба геодезически неполны.

Рассмотрим одно из этих расширений, скажем -сферы, являющиеся поверхностями транзитивности группы изометрии, пространственноподобны в области и времениподобны при Поверхности транзитивности изотропны и образуют горизонт Коши для любой пространственно-подобной поверхности, содержащейся в поскольку в областях имеются времениподобные кривые, которые никогда не пересекают соответственно (в этих областях существуют, в частности, замкнутые времениподобные кривые). Область пространства-времени компактна, и все же имеются времениподобные и изотропные геодезические, которые все время остаются внутри нее и неполны. Такого рода поведение будет рассмотрено позднее, в гл. 8.

Более подробное описание пространства Тауба — НУТ можно найти в работах [103, 109].