7.7. Уравнения Эйнштейна при наличии материи

До сих пор мы для простоты рассматривали уравнения Эйнштейна только для пустого пространства. Однако аналогичные результаты получаются и при наличии материи, если уравнения, которым подчиняются материальные поля удовлетворяют определенным, физическим разумным условиям. Схема получения этих результатов такова. Решаем уравнения движения материи с заданными начальными условиями в заданном пространстве-времени с метрикой затем решаем приведенные уравнения Эйнштейна (7.42) как линейные уравнения с коэффициентами, которые определяются метрикой и с правой частью которая определяется и решением для материальных полей. При этом получаем новую метрику и повторяем все снова, взяв вместо Для того чтобы показать, что такая процедура сходится к решению системы из уравнений Эйнштейна и уравнений движения материи, на последние необходимо наложить определенные условия. Мы их сформулируем следующим образом:

а) если - начальные данные на ахрональной пространственноподобной поверхности в -метрике то существует единственное решение материальных уравнений в некоторой окрестности в области причем для любой гладкой пространственноподобной поверхности и

б) если -решение в области в -метрике существуют такие положительные постоянные и что для любого -решения в метрике для которой

и

выполняется неравенство

в) тензор энергии-импульса является полиномом по

Условие (а) представляет собой локальную теорему Коши для материальных полей в заданной пространственно-временной метрике. Условие представляет теорему об устойчивости решения задачи Коши для материальных полей при вариациях начальных данных и пространственно-временной метрики Если уравнения движения материи — это квазилинейные гиперболические уравнения второго порядка и их изотропный конус совпадает с изотропным конусом метрики или лежит внутри него, то выполнение этих условий можно установить так же, как это было сделано для приведенных уравнений Эйнштейна.

В случае скалярного поля или электромагнитного потенциала, удовлетворяющих линейным уравнениям, эти условия выполняются в силу предложения 7.4.7. Мы можем рассмотреть также скалярное поле, взаимодействующее с электромагнитным потенциалом: зададим метрику и электромагнитный потенциал, решим уравнение скалярного поля как линейное уравнение в этой метрике и с этим потенциалом и затем решим уравнения электромагнитного поля в заданной метрике со скалярным полем в качестве источника. Можно показать, что итерации этой процедуры придостаточно малых начальных данных сходятся на множестве вида к решению уравнений скалярного и электромагнитного полей с их взаимодействием в заданной метрике; затем, изменяя масштабы метрики и полей, покажем, что при достаточной малости (по измерениям в пространственно-временной метрике можно получить решение для любых допустимых начальных данных. Эта же процедура действует при любом числе связанных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка, если связь не содержит производные выше первого порядка.

Уравнения движения идеальной жидкости не являются гиперболическими уравнениями второго порядка, а образуют квазилинейную систему первого порядка. (Определение гиперболической системы первого порядка см. в [36], Для такой системы можно получить аналогичные результаты при условии, что конус лучей совпадает с изотропным конусом пространства-времени

с метрикой или лежит внутри него. Требование, чтобы уравнения движения материи были гиперболическими уравнениями второго порядка или составляли гиперболическую систему первого порядка и чтобы их конусы совпали с конусом пространственно-временной метрики или лежали внутри него, можно считать более строгой формулировкой постулата локальной причинности из гл. 3.

При выполнении условий и можно доказать предположения 7.5.1 и 7.5.2 для системы приведенных уравнений Эйнштейна и уравнений движения материи; из этих предложений следуют локальная и глобальная теоремы о решениях задачи Коши и теорема об устойчивости.