8.2. Теоремы о сингулярностях

В разд. 5,4 было показано, что при определенных разумных условиях в пространственно-однородных решениях будут сингулярности. Аналогичные теоремы можно доказать для ряда других классов точных симметрий. Тем не менее вовсе не обязательно было бы придавать этим результатам какой-либо физический смысл, поскольку они все-таки обусловлены ограничением, чтобы симметрия была точной, чего, конечно, не будет ни в какой реальной физической ситуации. Поэтому многие авторы полагали, что сингулярности являются лишь следствием симметрии и не появятся в общем решении. Эта точка зрения была поддержана Е. М. Лифшицем, И. М. Халатниковым и их сотрудниками, которые показали, что определенные классы решений с пространственноподобными сингулярностями не содержат того числа произвольных функций, которое предполагается у общего решения уравнений поля (эта работа подытожена в [101]). Как считали авторы [101], это свидетельствует о том, что данные Коши, приводящие к таким сингулярностям, имеют меру нуль в множестве всех возможных данных Коши и, значит, не должны иметь отношения к реальной Вселенной. Однако впоследствии

В. А. Белинский, И. М. Халатников и Е. М. Лифшиц [5] нашли иные классы решений, которые, по-видимому, содержали полное число произвольных функций, причем в этих решениях были сингулярности. Поэтому они отказались от утверждения, что в общих решениях нет сингулярностей. Их методы интересны тем, что проливают свет на возможную структуру сингулярностей, но не ясно, сходятся ли используемые ими степенные ряды. Никто еще на нашел общего вида условий, при которых возникновение сингулярности неизбежно. Тем не менее мы рассматриваем результаты Белинского, Лифшица и Халатникова как свидетельство в пользу нашей точки зрения, согласно которой сингулярности, предсказываемые теоремами этого раздела, вообще говоря, связаны с бесконечностью кривизны.

Первая теорема о сингулярностях, не содержащая каких-либо предположений о симметриях, была доказана Пенроузом [126]. Он ставил целью доказать, что в звезде, коллапсирующей внутрь

своего шварцшильдова радиуса, появится сингулярность. Если коллапс строго сферически-симметричен, решение можно получить прямым интегрированием, и сингулярность всегда возникает. Однако далеко не очевидно, что так будет и тогда, когда существует неоднородность или хотя бы небольшой момент количества движения. В самом деле, в ньютоновской теории самый незначительный момент количества движения может воспрепятствовать появлению бесконечной плотности и вызвать у звезды переход от сжатия к расширению. Однако Пеироуз показал, что в общей теории относительности ситуация совсем иная: если коллапсирующая звезда ушла внутрь своей шварцшильдовой поверхности (поверхность ), то она уже не сможет из-под нее выйти. Шварцшильдова поверхность в действительности определена лишь для строго сферически-симметричного решения, но Пенроуз использовал более общий критерий, который эквивалентен в случае решения Шварцшильда существованию шварц-шильдовой поверхности и приложим к решениям, не обладающим строгой симметрией. Этим критерием является существование замкнутой ловушечной поверхности которая представляет собой такую замкнутую (т. е. компактную, без края) пространственноподобную -поверхность класса что два семейства ортогональных к изотропных геодезических у поверхности сходятся (т. е. отрицательны, где Две изотропные вторые фундаментальные формы на (В последующих главах мы обсудим обстоятельства, при которых появляется такая поверхность.) Это можно представить себе следующим образом: находится в столь сильном гравитационном поле, что даже расходящиеся лучи света затягиваются обратно и превращаются в сходящиеся. Поскольку ничто не может двигаться быстрее света, материя, заключенная в последовательно запирается внутри -поверхностей все меньшей и меньшей площади, и все выглядит так, словно должно случиться что-то «плохое». Что это так и есть, строго доказывает теорема Пенроуза.

Теорема 1

Пространство-время не может быть изотропно геодезически полным, если

1) для всех изотропных векторов (ср. с разд. 4.3);

2) в существует некомпактная поверхность Коши

3) в существует замкнутая ловушечная поверхность.

Замечание. Идея доказательства такова. Нужно показать, что граница будущего поверхности будет компактной, если — изотропно геодезически полное многообразие. Затем доказывается, что это несовместимо с некомпактностью

Доказательство. Из существования поверхности Коши следует, что М — глобально-гиперболическое (предложение 6.6.3) и потому причинно простое (предложение 6.6.1) многообразие. Это означает, что границей множества будет поверхность и ее образующими будут ортогональные Т геодезические сегменты с конечными точками в прошлом на

Рис. 49. Двумерное сечение геодезически полного пространства с компактной поверхностью Коши 36. Будущее -сферы имеет компактную границу поскольку расходящиеся изотропыые геодезические встречаются, обойдя цилиндр кругом.

Допустим, что — изотропно геодезически полное многообразие. Тогда, согласно условиям (1) и (3) и предложению 4.4.6 вдоль любой направленной в будущее изотропной геодезической, ортогональной к в пределах аффинного расстояния, должна быть точка, сопряженная причем с равно значению в точке, где данная изотропная геодезическая пересекает Согласно предложению 4.5.14, те точки такой изотропной геодезической, которые лежат за точкой, сопряженной принадлежат области Таким образом, каждый образующий сегмент поверхности должен иметь конечную точку в будущем в сопряженной к точке или до нее. Вблизи на каждой ортогональной к изотропной геодезической можно задать непрерывным образом аффинный параметр. Рассмотрим непрерывное

отображение дискретное множество 1, 2), определяемое переносом точки на аффинное расстояние вдоль одной из двух направленных в будущее изотропных геодезических, проходящих через ортогонально к Ввиду компактности поверхности будет существовать некоторое минимальное значение величин Тогда, при -Следовательно, будучи замкнутым подмножеством компактного множества, компактно. Это было бы возможно, если бы поверхность Коши была компактной, потому что тогда граница могла бы замкнуться и образовать компактную поверхность Коши, гомеоморфную (рис. 49). Однако ясно, что мы встретим затруднения, если потребуем, чтобы поверхность была некомпактной. Чтобы доказать это строго, мы можем воспользоваться тем фактом (см. разд. 2.6), что допускает направленное в прошлое, вре-мениподобное векторное С-поле. Каждая интегральная кривая этого поля будет пересекать (поскольку это поверхность Коши) и пересекает самое большее один раз. Таким образом, эти интегральные кривые задают непрерывное взаимнооднозначное отображение Если множество компактно, его образ а тоже компактен и поэтому гомеоморфен Однако ввиду некомпактности множество может и не содержать всю поверхность таком случае должно иметь границу в Это, однако, невозможно, поскольку, согласно предложению а следовательно, и должны быть трехмерными многообразиями (без края). Отсюда видно, что допущение изотропной геодезической полноты (оно было сделано для доказательства компактности ) неверно.

Условие (1) этой теоремы (именно, что для любого изотропного вектора К) обсуждалось в разд. 4.3. Чтобы оно выполнялось, не имеет значения, какого порядка величины постоянная , лишь бы плотность энергии была положительной для любого наблюдателя. В гл. 9 будет показано, что условие (3) (существования замкнутой ловушечной поверхности) должно удовлетворяться по крайней мере в некоторой области пространства-времени. Остается рассмотреть условие (2) (существования некомпактной пространственноподобной поверхности являющейся поверхностью Коши). Согласно предложению 6.4.9, если допустить устойчивую причинность, то существование пространственноподобных поверхностей обеспечено. Условие компактности пространственноподобной поверхности — не слишком серьезное ограничение, поскольку единственный пункт, в котором

мы его использовали, это когда показывали, что не может совпадать со всей поверхностью . Однако можно доказать то же самое, если вместо пекомпактности потребовать, чтобы с поверхности можно было провести направленную в будущее непродолжимую кривую, которая не пересечет . Другими словами, теорема была бы справедлива даже тогда, когда поверхность компактна, если при этом существуют наблюдатели, которые могут избежать падения на коллапсирующую звезду. Это было бы невозможно, если бы коллапсировала сама Вселенная; но и при этих условиях, надо думать, сингулярности имеются, и это мы скоро покажем. Действительно тонкий пункт теоремы — это требование, чтобы была поверхностью Коши. Оно используется в двух местах: во-первых, при доказательстве того, что причинно простое многообразие, из чего следовало наличие у образующих поверхности конечных точек , во-вторых, когда мы проверяли, что при отображении а каждая точка отображается в точку поверхности Что это условие (чтобы была поверхностью Коши) необходимо, видно из примера, данного Бардином. Глобальная структура в нем такая же, как у решения Райсснера — Нордстрема, за тем исключением, что реальные сингулярности при устроены так, что они становятся в точности началом полярных координат. Это пространство-время удовлетворяет условию для любого изотропного, но не времениподобного вектора К, и в нем имеются замкнутые ловушечные поверхности. Единственно, чем это пространство-время не удовлетворяет условиям теоремы 1, тем, что в нем нет поверхностей Коши.

Следовательно, теорема 1, по всей видимости, утверждает, что в коллапсирующей звезде будет или сингулярность, или горизонт Коши. Это очень важный результат, ибо в любом случае мы теряем возможность предсказывать будущее. Однако он не дает ответа на вопрос, появляются ли сингулярности в физически реалистических решениях? Для того чтобы разрешить его, нам нужна теорема, в которой не предполагается существование поверхностей Коши. Одно из условий такого рода теоремы должно состоять в том, что не только для изотропных, но и для всех времениподобных векторов, поскольку невыполнение этого условия — единственная возможность для того, чтобы пример Бардина перестал быть аргументом. Теорема, которую мы приведем ниже, включает это условие и, кроме того, хронологические условия (условие отсутствия замкнутых времениподобных кривых). С другой стороны, она приложима к более широкому классу ситуаций, поскольку существование замкнутых ловушечных поверхностей является теперь только одним из трех возможных условий. Другое из этих альтернативных условий

состоит в том, чтобы существовала компактная частичная поверхность Коши, а третья — в том, чтобы существовала точка, световой конус прошлого (или будущего) которой начинает сходиться снова (рис. 50). Первое из этих двух последних условий выполняется в пространственно замкнутых решениях, тогда как второе тесно связано с существованием замкнутых ловушечных поверхностей, но его формулировка лучше подходит для наших целей: например, в том случае, когда сходящийся вдали световой конус — это наш собственный световой конус прошлого; тогда мы можем непосредственно установить, выполняется ли это условие.

Рис. 50. Точка изотропный конус прошлого которой начинает сходиться вторично.

В последней главе будет показано, что наблюдения микроволнового фона свидетельствуют о его выполнении.

Точная формулировка такова:

Теорема 2 (Хокинг и Пенроуз [75])

Пространство-время не является времениподобно или Изотропно геодезически полным, если для любого непространственноподобного вектора К (ср. с разд. 4.3);

2) выполняется типовое условие разд. 4.4, т. е. если каждая непространственноподобная геодезическая содержит точку, в которой , где К — касательный вектор к этой геодезической;

3) на выполняется хронологическое условие (т. е. нет замкнутых времениподобных кривых);

4) справедливо по меньшей мере одно из трех следующих утверждений:

а) существует компактное ахрональное множество без границы;

б) существует замкнутая ловушечная поверхность;

в) существует такая точка , что на любой направленной в прошлое (или на любой направленной в будущее) изотропной геодезической из точки расхождение 0 изотропных геодезических из становится отрицательным (т. е. изотропные геодезические, выходящие из , фокусируются материей или кривизной и начинают сходиться).

Замечание. Приведем альтернативную формулировку теоремы.

Следующие три условия не могут выполняться одновременно:

I) каждая непродолжимая непространственноподобная геодезическая содержит пару сопряженных точек;

II) на выполняется хронологическое условие;

III) имеется ахрональное множество для которого или компактны. (Будем говорить, что такое множество — соответственно ловушечное для будущего или ловушечное для прошлого.)

Мы докажем теорему 2 именно в этой формулировке. Доказательство первого варианта отсюда следует непосредственно, поскольку, если бы многообразие было времениподобно и изотропно полным, то из условий (1) и (2), в силу предложений 4.4.2 и 4.4.5, следовало бы условие (I); условие же самое, что и (II), а из (1) и (4) вытекало бы условие (III): в случае было бы компактным ахрональным множеством без границы и

а в случаях или множество будет соответственно замкнутой ловушечной поверхностью или точкой тогда, согласно предложениям 4.4.4, 4.4.6, 4.5.12 и 4.5.14, соответственно или будут компактны как пересечения замкнутых множеств с компактными множествами, состоящими из всех изотропных геодезических некоторой конечной длины от .

Доказательство. Поскольку доказательство довольно длинное, мы разделим его на части и докажем сначала лемму и следствие из нее. Отметим, что из рассуждений, аналогичных доказательству предложения 6.4.6, вытекает, что в силу условий (I) и (II на имеет место сильная причинность.

Лемма 8.2.1

Если — замкнутое множество и на выполняется условие сильной причинности, то множество или некомпактно, или пусто (рис. 51).

По лемме 6.3.2 через каждую точку проходит направлен в прошлое и лежащий в изотропный геодезический сегмент, который обладает конечной точкой в прошлом тогда и только тогда, когда .

Рис. 51. Ловушечное множество для будущего ; изотропные линии проходят под три линии отождествлены, а точки находятся на бесконечности. Приведены ахрональиые множества и непродолжимая в будущее времениподобная кривая

(Заметим, что мы более не предполагаем существования поверхности Коши, может и не быть причинно-простым многообразием и соответственно может быть непустым множеством.) Отсюда, если , то через проходит непродолжимая в прошлое изотропная геодезическая, которая лежит в , следовательно, не пересекает . Тогда из леммы 6.6.4 следует, что Поэтому

и

Теперь допустим, что множество не пусто и компактно. Тогда его можно покрыть конечным числом окрестностей локальной причинности Пусть -точка множества из нее можно провести

непродолжимую в прошлое непростраиетвенноподобную кривую, которая не пересечет ни ни Поскольку окрестности имеют компактные замыкания, выходит из Пусть Точка на вне Тогда, поскольку найдется не пространственноподобная кривая от до . Эта кривая пересечет а значит, и некоторые из окрестностей отличные от (скажем, ). Теперь пусть точка из поступим, как и прежде, и т. д.

Эта процедура ведет к противоречию, ибо окрестностей локальной причинности предполагалось лишь конечное число, и в то же время мы не можем вернуться в предыдущие поскольку ни одна непрострапствениоподобная кривая не может пересечь больше одного раза. Следовательно, множество должно быть или некомпактным, или пустым.

Следствие

Если — ловушечное множество для будущего, существует непродолжимая в будущее времениподобная кривая, которая целиком содержится в

Введем на времениподобное векторное поле. Если каждая интегральная кривая этого поля, пересекающая пересекает также и то эти кривые задают непрерывное взаимно-однозначное отображение на и потому область будет компактной. Пересечение с кривой, которая не пересекает дает искомую кривую у (рис. 51 изображает одну из возможных ситуаций).

Рассмотрим теперь компактное множество определяемое как Поскольку у содержится в будет состоять из и части Поскольку кривая непродолжима в будущее, изотропные геодезические образующие сегменты поверхности не могут иметь конечных точек в будущем. Но по условию (а) всякая непродолжимая непространственноподобная геодезическая содержит пару сопряженных точек. Следовательно, в силу предложения 4.5.12 непродолжимое в прошлое продолжение каждого образующего сегмента поверхности должно войти в область . При этом должна иметь конечную точку в прошлом в первой точке множества или до нее открытое множество, и некоторая окрестность точки должна содержать точки области лежащие на соседних геодезических. Следовательно, аффинное расстояние до точек от должно быть полунепрерывно сверху, а множество должно быть компактным как пересечение замкнутого множества с компактным

множеством, которое образовано проведенными из геодезическими сегментами некоторой ограниченной аффинной длины. Тогда из леммы следует, что найдется непродолжимая в прошлое времениподобная кривая к, содержащаяся в (рис. 52).

Рис. 52. Подобен рис. 51, но с отождествлением еще трех линий. — множество Точки являются конечными точками прошлого изотропных образующих сегментов поверхности Кривая А — непродолжимая в прошлое времениподобная кривая, содержащаяся в

Пусть — бесконечная последовательность точек на k, обладающая следующими свойствами:

II. Любой компактный сегмент к содержит лишь конечное число точек

Пусть — аналогичная последовательность на у, но с заменой в свойстве I на

Из того что должны содержаться в глобально гиперболическом множестве (предложение 6.6.3), следует существование непространственноподобной геодезической максимальной длины между каждой точкой и соответствующей точкой (предложение 6.7.1). Любая из этих геодезических будет пересекать компактное множество Следовательно, должна существовать которая будет предельной

точкой кривой на и непространственноподобное направление в которое будет пределом направлений геодезических . (Точка q и направление в q задают точку в расслоении направлений над . Такая предельная точка существует в силу компактности той части расслоения, которая является расслоением направлений над Пусть подпоследовательность такая, что сходится к и направления сходятся к предельному направлению. (Точнее, точки, определяемые кривой в расслоении направлений над сходятся к предельной точке.) Пусть будет непродолжимой геодезической через в предельном направлении. По условию I теоремы, на существуют сопряженные точки х и у, причем Пусть точки х и у расположены на соответственно в прошлом и будущем точек х и у. Согласно предложению 4.5.8, найдутся и некоторая времениподобная кривая а от х до у, длина которой равна плюс длина от х до у. Пусть и Т — нормальные выпуклые координатные окрестности точек х и у соответственно, причем в каждой из них нет ни одной кривой длины е. Пусть точки на сходящиеся соответственно к х и у. При достаточно больших длина от до будет меньше, чем плюс длина от х до у. Кроме того, при достаточно больших будут лежать соответственно в Тогда, двигаясь от вдоль а до у и затем от до мы получим непространственноподобную кривую, более длинную, чем Но в силу свойства II при достаточно больших будут лежат на соответственно в прошлом точки и в будущем точки Следовательно, должна быть непространственноподобной кривой наибольшей длины от до . Мы приходим к противоречию, доказывающему теорему.

Хотя эта теорема устанавливает существование сингулярностей при весьма общих предположениях, у нее есть один недостаток: она ничего не говорит о том, где эта сингулярность — в прошлом или в будущем. В случае условия (4), когда имеется компактная пространственноподобная поверхность, нет никаких оснований считать, что будущее в этом отношении предпочтительнее прошлого, но в случае когда имеется замкнутая ловушечная поверхность, можно думать, что сингулярность находится в будущем, а в случае когда изотропный конус прошлого начинает стягиваться, можно полагать, что сингулярность — в прошлом. Если условие несколько усилить, а именно потребовать, чтобы все направленные в прошлое времениподобные и изотропные геодезические начинали сходиться в пределах компактной области в то можно показать, что сингулярность находится в прошлом.

Теорема 3 (Хокинг [73])

Если

1) для любого непространственноподооного вектора К (ср. разд. 4.3);

2) на выполняется условие сильной причинности;

3) существуют направленный в прошлое единичный вектор в точке и положительная постоянная 6, такие, что если V — единичный касательный вектор к направленной в прошлое, проходящей через времениподобной геодезической, то на каждой такой геодезической расхождение этих геодезических становится меньше, чем на расстоянии от где с тогда через проходит неполная в прошлое, непространственноподобная геодезическая.

Пусть — параллельно перенесенный касательный вектор к направленной в прошлое, проходящей через непространственноподобной геодезической со следующей нормировкой: Тогда для упомянутой в условии времениподобной геодезической откуда Поскольку функция непрерывна на непространственноподобной геодезической, она становится меньше, чем —3/6 на изотропной геодезической, проходящей через в пределах аффинного расстояния 6. Если — псевдоортонормированная тетрада на этих изотропных геодезических, причем — единичные пространственпоподобные векторы, — изотропные векторы, для которых то расхождение изотропных геодезических в определяется формулой

Второй член равен нулю, так как переносится параллельно. Третий член можно представить в виде эта функция отрицательна, ибо на изотропных и — на времениподобных геодезических. Отсюда видно, что становится меньше в пределах аффинного расстояния вдоль каждой изотропной геодезической из точки Таким образом, если бы все направленные из в прошлое изотропные геодезические были бы полны, то контур был бы компактен. Любая точка при этом будет лежать в Следовательно, она не может находиться в поскольку -ахрональное множество. Отсюда

т. е. будет компактным множеством. Тогда по предложению будет глобально гиперболической областью. Согласно предложению 6.7.1, каждую точку можно

соединить с непространственноподобной геодезической, на которой между не будет ни одной точки, сопряженной Отсюда в силу предложения 4.4.1 область должна содержаться в , где — компактная область в которая состоит из всех направленных в прошлое непространственноподобных векторов удовлетворяющих условию Если бы все непространственноподобные геодезические из в прошлое были полны, множество было бы определено для любого и было бы компактно как образ компактного множества при непрерывных отображениях. Однако, согласно следствию леммы содержит непродолжимую в прошлое времениподобную кривую. По предложению 6.4.7 она не может быть полностью заключена в компактном множестве , следовательно, предположение, что все направленные в прошлое из непространственноподобные геодезические полны, не может быть верным.

Теоремы 2 и 3 являются наиболее полезными теоремами о сингулярностях, ибо можногюказать, что их условия удовлетворяются в ряде физических ситуаций (см. следующую главу). Однако не может ли оказаться, что эти теоремы свидетельствуют не о сингулярности, а о замкнутой времениподобной кривой, нарушающей условия причинности? Это было бы много хуже, чем просто потеря возможности делать предсказания, что является альтернативой теореме 1; по нашему мнению, такое нарушение причинности более неприемлемо, чем сингулярность. Тем не менее хотелось бы знать, может ли нарушение причинности воспрепятствовать появлению сингулярностей? Из нижеследующей теоремы следует, что в определенных ситуациях не может. Это означает, что сингулярности нужно принимать всерьез, и придает нам уверенность, что вообще нарушение причинности не является выходом из положения.

Теорема 4 (Хокинг [73])

Пространство-время не является времениподобно геодезически полным, если

1) для любого непространственноподобного вектора К (ср. с разд. 4.3);

2) существует компактная пространственноподобная гиперповерхность (без края);

3) единичные нормали к всюду на слодятся или расходятся.

Замечания. Условие (2) можно трактовать как утверждение о пространственной замкнутости Вселенной, а условие как утверждение о том, что она расширяется (сжимается). Как было объяснено в разд. 6.5, мы можем взять накрывающее

многообразие в котором каждая связная компонента образа поверхности диффеоморфна и является частичной поверхностью Коши в Мы будем работать с многообразием и обозначим через одну связную компоненту образа . Рассматривая задачу Коши в мы видим, что наличие сингулярностей (но не обязательно их характер) является устойчивым свойством данных Коши на , поскольку достаточно малые вариации данных на не нарушают условия (3). Это служит контрпримером к предположению Лифшица и Халатникова, что сингулярности появляются лишь для множества данных Коши меры нуль, хотя следует помнить, что определение сингулярности, которому мы следуем здесь, не совпадает с тем, которым пользуются Лифшиц и Халатников.

Доказательство. По условиям (2) и (3) свертка второй фундаментальной формы поверхности имеет на отрицательную верхнюю грань. Таким образом, если бы (и значит, ) было времениподобно геодезически полно, то на каждой направленной в будущее геодезической, ортогональной к в пределах конечной верхней грани расстояния от (предложение 4.4.7) существовала бы точка, сопряженная . Но, согласно дополнению к предложению 6.7.1, до каждой точки можно провести направленную в будущее геодезическую, ортогональную к , на которой между и нет ни одной точки, сопряженной поверхности . Пусть — дифференцируемое отображение, которое смещает точку и расстояние вдоль направленной в будущее геодезической, ортогональной к в точке Тогда множество компактно и содержит Отсюда компактны Если бы мы предполагали выполнение условия строгой причинности, то искомое противоречие следовало бы из леммы 8.2.1. Однако даже и без этого условия можно прийти к противоречию. Рассмотрим точку Поскольку каждая направленная в прошлое непространственноподобная кривая от до будет состоять из (возможно, нулевого) изотропного геодезического сегмента в и из непространственноподобной кривой в функция расстояния будет меньше или равна Отсюда, поскольку полунепрерывна снизу, можно было бы найти бесконечную последовательность точек сходящихся к для которых будет сходиться к Каждой будет соответствовать по крайней мере один элемент из Ввиду компактности найдется элемент

который будет предельной точкой последовательности . В силу непрерывности Таким образом, к каждой точке можно будет от провести геодезическую длиной Теперь пусть лежит в прошлом точки на той же изотропной геодезической образующей X поверхности Соединив геодезическую длиной от до с сегментом X между и мы получим непространственноподобную кривую от до которую можно варьировать так, чтобы получить более длинную кривую между теми же конечными точками (предложение 4.5.10), Следовательно, будет строго убывающей функцией вдоль каждой направленной в прошлое образующей Но это ведет к противоречию, так как в силу полунепрерывности снизу функции она должна иметь минимум на компактном множестве

Условие (2) компактности необходимо, так как в пространстве Минковского некомпактная поверхность является частичной поверхностью Коши с во всех точках. Если возьмем область пространства Минковского, задаваемую неравенствами

мы можем отождествить точки, полученные действием дискретной группы изометрий так, что будет компактно [102]. Согласно теореме 4, пространство будет времениподобно геодезически неполным, поскольку отождествление относительно действия группы не может быть распространено на все многообразие [ни условие (1), ни условие (2) разд. 5.8 не выполняются в начале координат]. В этом случае сингулярность в смысле неполноты возникает из плохих глобальных свойств и не сопровождается сингулярностью кривизны. Этот пример был предложен Пенроузом.

Условия (2) и (3) можно заменить на следующие:

2) есть поверхность Коши для

имеет на грань, отличную от нуля.

Хотя в этом случае не может быть горизонта Коши, однако длины всех направленных в будущее времениподобных кривых из должны иметь некоторую конечную верхнюю грань.

Герок [50] показал, что при сохранении условия (2) и замене условий (1) и (3) на условия

1) для любого непространственноподобного вектора, причем равенство имеет место лишь при

3) существует такая точка что любая непродолжимая непространственноподобная кривая, пересекающая , пересечет также и имеет место одно из двух: либо область зависимости поверхности плоская, либо многообразней времениподобно геодезически неполно.

Условие требует, чтобы наблюдатель в точке мог увидеть любую частицу, которая пересечет и чтобы он сам был видим с нее. Метод доказательства состоит в том, чтобы рассмотреть пространственноподобные поверхности без края, которые содержат точку Из этих поверхностей можно построить топологическое пространство подобно тому, как мы строили топологическое пространство из всех непространственноподобных кривых между двумя точками. Условия (2) и означают тогда, что компактно. Можно показать, что площади поверхностей являются полунепрерывными сверху функциями в и должна быть некоторая поверхность , проходящая через площадь которой больше или равна площади любой другой поверхности. Из вариационных соображений, аналогичных тем, что приводились в случае непространственноподобных кривых, следует, что обращается в нуль всюду на за исключением, быть может, точки где поверхность может и не быть дифференцируемой.

Рассмотрим однопараметрическое семейство пространственноподобных поверхностей где Вектор вариации можно представить как где — единичная нормаль к поверхностям, — некоторая функция. Используя уравнение Райчаудхури для конгруэнции интегральных кривых векторного поля можно показать, что

где

и

Если существует точка в которой или мы можем подобрать такую функцию при которой всюду на . Если всюду на , но при этом имеется некоторая точка в которой , то тогда до/ди и можно найти такую функцию что всюду на . В любом случае можно построить поверхность на которой всюду , следовательно, многообразие будет изотропно геодезически

неполным в силу теоремы 4. Если и равны нулю всюду на то из тождеств Риччи для видно, что на т. е. в области пространство-время является плоским. Примером, в котором условия выполнены, а область плоская, служит пространство Минковского с отождествлением Оно геодезически полно. Однако приведенный ранее пример тоже удовлетворяет этим условиям и свидетельствует о том, что область может быть одновременно геодезически неполной и плоской.