7.5. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнений Эйнштейна для пустого пространства

Результаты предыдущего раздела мы используем теперь в задаче Коши в общей теории относительности. Сначала рассмотрим уравнения Эйнштейна для пустого пространства а влияние материи исследуем в разд. 7.7.

Приведенные уравнения Эйнштейна

представляют собой квазилинейные гиперболические уравнения второго порядка, т. е. имеют вид (7.20), причем коэффициенты А, В и С являются функциями К и (в нашем случае является на самом деле функцией и не зависит от ). Чтобы доказать существование решений этих уравнений, мы

поступим следующим образом. Возьмем некоторое подходящее пробное поле и используем его для определения значений коэффициентов А, В и С в операторе Е. Затем будем решать (7.42) при этих значениях уже как линейное уравнение с начальными данными, определяемыми полем и получим новое поле Тем самым мы получим отображение а, переводящее и покажем, что при определенных условиях это отображение имеет неподвижную точку (т. е. существует для которого ). Эта неподвижная точка и будет искомым решением нашего квазилинейного уравнения.

Возьмем в качестве фоновой метрики решение уравнения Эйнштейна в пустом пространстве и выберем поверхности так, чтобы они были пространственноподобными в метрике Тогда по лемме 7.4.1 найдется такая положительная постоянная что коэффициенты , определяемые функцией будут удовлетворять условиям (1), (2) и (4) леммы 7.4.6 с заданными значениями если только

В этом случае из (7.41) имеем

Следовательно, отображение преобразует замкнутый шар радиуса в себя при условии, что

и

Покажем, что а имеет неподвижную точку, если выполняется (7.44) и радиус достаточно мал.

Допустим, что принадлежат пространству Поля удовлетворяют равенствам , где — оператор Эйнштейна с коэффициентами А, В и которые определяются функцией Следовательно,

Поскольку коэффициенты дифференцируемым образом зависят от при из то существует

такая постоянная что на

Поэтому, в силу лемм 7.4.1 и 7.4.6,

Теперь применим лемму 7.4.4 к 7.4.5, чтобы получить неравенство

где — некоторая постоянная, не зависящая от Таким образом, для достаточно малых отображение а будет стягивающим по норме и последовательность будет сильно сходиться в к некоторому полю Но по теореме Рисса из (можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому полю Следовательно, поле должно совпадать с и принадлежать пространству Поэтому отображение будет определенным и для него

При правая часть стремится к нулю. Из этого следует, что и потому а Поскольку а — стягивающее отображение, эта неподвижная точка единственна в Следовательно, мы доказали

Предложение 7.5.1

Если — решение уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, то приведенные уравнения Эйнштейна в пустом пространстве имеют решение при достаточно малых Норма ограничена, и, следовательно, поле по крайней мере класса

Локально это решение единственно даже среди решений, которые не принадлежат пространству

Предложение 7.5.2

Пусть является -решением приведенных уравнений Эйнштейна в пустом пространстве с теми же начальными данными на открытом множестве Тогда в некоторой окрестности множества У в

Ввиду непрерывности найдется окрестность множества Т, в которой для А, В и С выполняются условия леммы 7.4.4. Как прежде, имеем

Аналогично, будет существовать постоянная обеспечивающая выполнение неравенства

Применяя к (7.48) лемму 7.4.4, получим неравенство вида

где

Отсюда на

Из предложения 7.5.1 видно, что при наложении достаточно малых возмущений на начальные данные для решения уравнений Эйнштейна в пустом пространстве мы снова получаем некоторое решение в области Однако в действительности требуется доказать, что решение существует для любых начальных данных которые удовлетворяют уравнениям связи на трехмерном многообразии . Для этого мы поступим следующим образом. Будем считать, что многообразием является что — евклидова метрика, плоская метрика, т. е. метрика Минковского (она является решением уравнений Эйнштейна в пустом пространстве). Область выберем так, чтобы в обычных координатах Минковского поверхность была пространственноподобна, а область состояла из точек, для которых Теперь мы будем руководствоваться идеей, что любая метрика выглядит почти плоской, если ее рассматривать в достаточно малых масштабах. Поэтому при отображении достаточно малой области поверхности на можно учесть предложение 7.5.1 и получить решение в Затем можно повторить эту процедуру для других частей и объединить полученные решения так, чтобы образовалось многообразие с метрикой которое и будет развитием комплекта начальных данных .

Пусть — координатная окрестность в с координатами в которой в начале координат координатные компоненты равны Пусть — открытый шар координатного радиуса с центром в Зададим отображение

соотношениями По обычному закону преобразования базиса компоненты и в координатах равны компонентам в координатах умноженным на Введем в новые поля

Тогда, поскольку на непрерывна (фактически принадлежит классу выбором достаточно малого можно величины и сделать сколь угодно малыми на где получаются из как в разд. 7.3. При этом производные и на поверхности тоже убывают по мере убывания

Следовательно, могут быть приведены к настолько малым значениям, что можно будет использовать предложение 7.5.1 и решение для полученное в Тогда будет решением приведенных уравнений Эйнштейна с начальными данными, определяемыми тензорами . Аналогично можно получить решение той части в которой

Теперь мы можем покрыть координатными окрестностями вида отобразив их вложениями на окрестности вида и получить решения в Тогда задача сведется к тому, чтобы отождествить соответствующие точки в пересечениях окрестностей и тем самым превратить набор окрестностей в многообразие с метрикой Это можно сделать, используя гармонические калибровочные условия

По определению оно эквивалентно условию Поэтому для любой функции

Если фоновой метрикой является метрика Минковского, а одна из координат Минковского то правая часть (7.50) обращается в нуль. Допустим теперь, что на некотором многообразии мы имеем произвольную лоренцеву -метрику . В некоторой окрестности мы можем иолучить такие четыре решения линейного уравнения

градиенты которых линейно независимы в каждой точке Тогда мы можем задать диффеоморфизм вида . Этот диффеоморфизм будет обладать тем свойством, что метрика на будет удовлетворять гармо

ническому калибровочному условию относительно метрики Минковского на . Таким образом, если метрика является решением уравнений Эйнштейна на метрика будет решением приведенных уравнений Эйнштейна с фоновой метрикой

Процедура отождествления точек в пересечении двух окрестностей и сводится таким образом к решению (7.51) в для координат с использованием начальных данных для определяемых пересечением координатных окрестностей и на . В действительности , где — единичный вектор в ортогональный к в метрике Таким образом, хотя вообще не будет совпадать с По предложению 7.4.7 координаты будут в -функциями. [В предложении 7.4.7 фоновая метрика, относительно которой берутся ковариантные производные, должна была принадлежать классу Поэтому предложение 7.4.7 нельзя было применить к (7.51), где ковариантные производные берутся относительно метрики принадлежащей только пространству Однако мы можем ввести фоновую метрику и представить (7.51) в виде

где означает ковариантное дифференцирование относительно После этого можно воспользоваться предложением

Поскольку градиенты на линейно независимы, они будут линейно независимы и в некоторой окрестности поверхности Метрика на в 3 будет по меньшей мере класса Ввиду того что она подчиняется приведенным уравнениям Эйнштейна и имеет те же начальные данные на она должна совпадать с в некоторой окрестности области Отсюда видно, что можно соединить и получить развитие области Выбрав покрытие поверхности локально конечным, мы можем поступить подобным же образом, соединить подмножества других окрестностей и получить развитие , т. е. построить такие многообразия с метрикой и вложение что метрика удовлетворяет уравнениям Эйнштейна в пустом пространстве и согласуется с имеющимися начальными данными на поверхности , которая является поверхностью Коши для Если — другое развитие комплекта , то аналогичная процедура устанавливает диффеоморфизм между некоторой окрестностью поверхности

в и некоторой окрестностью поверхности в для которого Следовательно, нами доказана

Теорема о локальном решении задачи Коши

Если удовлетворяют уравнениям связи для пустого пространства, то существуют решения уравнений Эйнштейна в пустом пространстве, такие, что на любой гладкой пространственноподобной поверхности Эти решения локально единственны в следующем смысле: если — другое развитие того же комплекта начальных данных , принадлежащее пространству оба развития являются расширениями некоторого общего развития комплекта .

Утверждение, что следует из леммы 7.4.6 и из того, что поверхности постоянного можно выбрать произвольно.