9.2. Черные дыры

Как будет выглядеть колл а пстгрующее тело для удаленного наблюдателя О? На этот вопрос можно дать ответ, если коллапс строго сферически симметричен, так как тогда решение вне тела будет шварцшильдово. В этом случае наблюдатель О на поверхности звезды уйдет в определенный момент времени (скажем, в по своим часам) внутрь сферы причем он не заметит в этот момент ничего особенного. Однако после пересечения сферы станет невидим наблюдателю О (рис. 57), остающемуся вне этой сферы. Как бы долго наблюдатель О ни ждал, он никогда не увидит О, после того как часы последнего покажут Вместо этого О будет наблюдать, как часы О явно отстают и асимптотически приближаются к моменту Это значит, что частота света, принимаемого наблюдателем О от О, становится все меньше и меньше и соответственно интенсивность света убывает все сильнее. Таким образом, хотя поверхность звезды никогда не исчезает из поля зрения наблюдателя О, она скоро становится столь слабой, что практически перестает быть видимой. Точнее, наблюдатель О увидит сначала, как уменьшится яркость центра диска звезды,

(кликните для просмотра скана)

а затем этот процесс падения яркости будет распространяться к его краю [1]. Характерное время этого спада интенсивности равно по порядку величины времени, за которое свет проходит расстояние 2 т.

Итак, остается объект, который во всех отношениях практически невидим. Однако он будет иметь ту же шварцшильдовскую массу и создавать такое же гравитационное поле, как и до коллапса. Можно было бы обнаружить присутствие этого объекта по его гравитационному действию, например по влиянию на орбиты близлежащих объектов или по отклонению луча света, проходящего вблизи него. Кроме того, возможно, что газ, падающий на такой объект, будет порождать ударные волны, которые будут служить источником рентгеновских лучей или радиоволн.

Наиболее удивительное свойство сферически симметричного коллапса состоит в том, что сингулярность оказывается в области откуда свет вообще не может уйти на бесконечность. Поэтому, если наблюдатель останется вне то он никогда не увидит сингулярность, предсказываемую теоремой 2. Кроме того, нарушение физических законов, происходящее в сингулярности, не может сказаться на нашей способности предсказывать будущее в асимптотически плоской области пространства-времени.

Спрашивается, справедлива ли эта картина, если коллапс не строго сферически симметричен? В предыдущем разделе мы воспользовались теоремой об устойчивости решения задачи Коши, чтобы показать, что малые отклонения от сферической симметрии не помешают появлению замкнутых ловушечных поверхностей. Однако эта теорема в приведенной форме утверждает лишь, что достаточно малое возмущение в начальных данных приведет к возмущению в решении, которое мало в компактной области. Из этого не следует, что возмущение решения останется малым сколь угодно долго.

Можно ожидать, что в общем случае наличие сингулярностей приведет к горизонтам Коши (как в решениях Райсснера — Нордстрема и Керра), а следовательно, к нарушению возможности предсказывать будущее. Однако если сингулярности не видны извне, возможность предсказания сохраняется во внешней асимптотически плоской области.

Чтобы показать это строго, мы предположим, что в содержится область, асимптотически плоская в смысле слабой асимптотической простоты и пустоты (разд. 6.9). Тогда существует пространство в которое может быть конформно вложено как многообразие с краем где край многообразия состоит из двух изотропных

поверхностей которые соответствуют бесконечности в будущем и прошлом. Пусть - частичная поверхность Коши в Мы будем говорить, что в пространстве будущее асимптотически предсказуемо с поверхности , если содержится в замыкании множества в конформном многообразии Примерами пространств, в которых будущее асимптотически предсказуемо с некоторой поверхности , являются пространство Минковского, решение Шварцшильда при , решение Керра при и решение Райсснера — Нордстрема при . Решение Керра с и решение Райсснера — Нордстрема с не являются пространствами с асимптотически предсказуемым будущим, поскольку в них для любой частичной поверхности Коши 9 существуют непродолжимые в прошлое непространственноподобные кривые от поверхности которые не пересекают 9, а стремятся к сингулярности. Асимптотическую предсказуемость будущего можно рассматривать как условие отсутствия в будущем от 9 «голых» сингулярностей, т. е. сингулярностей, которые видимы с 9.

При сферическом коллапсе мы получаем пространство с асимптотически предсказуемым будущим. Вопрос в том, справедливо ли это и для иесферического коллапса? Мы не можем дать строгий ответ на этот вопрос. Расчеты по теории возмущений Дорошкевича, Зельдовича, Новикова [43] и Прайса [137] свидетельствуют, по-видимому, о том, что малые отклонения от сферической симметрии не приводят к появлению голой сингулярности. Кроме того, Гиббонс и Пенроуз пытались, хотя и безуспешно, обнаружить противоречия, которые показали бы, что в некоторых ситуациях развитие пространства с асимптотически предсказуемым будущим не имеет смысла. Их неудача, конечно, не доказывает, что асимптотическая предсказуемость имеет место, но говорит в пользу этого. Если она невозможна, то мы не можем сказать ничего определенного об эволюции какой-либо области пространства, содержащего сингулярность, поскольку из сингулярности может поступать новая информация. Поэтому мы будем придерживаться предположения о том, что условие асимптотической предсказуемости будущего выполняется по крайней мере при достаточно малых отклонениях от сферической симметрии.

Можно ожидать, что частица на замкнутой ловушечной поверхности не в состоянии вырваться к поверхности Однако если допускаются произвольные сингулярности, то можно всегда произвести нужные разрезы и отождествления, чтобы проложить путь для «побега» частицы. Из следующего утверждения видно, что это невозможно в пространстве с асимптотически предсказуемым будущим.

Предложение 9.2.1

Если

а) в пространстве асимптотически предсказуемо будущее с частичной поверхности Коши для всех изотропных векторов то замкнутая ловушечная поверхность в не может пересечь , т. е. ее нельзя увидеть с

В самом деле, допустим, что не пусто. Тогда должна существовать точка Пусть — окрестность , изометричная окрестности границы асимптотически простого и пустого пространства в конформном многообразии . Пусть — поверхность Коши в которая совпадает на . Тогда множество — компактно и, следовательно, по лемме 6.9.3 каждая образующая поверхности покидает область Отсюда видно, что для любого компактного множества каждая образующая выходит из Из этого следует, что любая образующая выходит из области ), так как она содержится в . Поэтому изотропная геодезическая образующая поверхности должна пересечь Образующая должна иметь конечную точку в прошлом на так как иначе она пересекла бы Поскольку доходит до ее аффинная длина бесконечна. Но по условию любая изотропная геодезическая, ортогональная к должна содержать на конечном аффинном расстоянии точку, сопряженную Следовательно, она не может оставаться в на всем пути к Этим доказывается, что не может пересечь

Из всего этого следует, что замкнутая ловушечная поверхность в в пространстве с асимптотически предсказуемым будущим должна лежать в . Следовательно, должен существовать нетривиальный горизонт событий (будущего) , являющийся границей области, из которой частицы или фотоны могут уйти на бесконечность в направлении будущего. Согласно определению (разд. 6.3), горизонт событий есть ахрональяая граница, образованная изотропными геодезическими сегментами, у которых могут быть конечные точки в прошлом, но нет конечных точек в будущем.

Лемма 9.2.2

Если условия предложения 9.2.1 удовлетворены и если имеется непустой горизонт событий , то расхождение 0 изотропных геодезических образующих этого

горизонта неотрицательно в области

Допустим, что есть открытое множество такое, что на . Пусть — пространственноподобная -поверхность в Тогда Пусть Т — открытое подмножество множества , которое пересекает и обладает компактным замыканием, содержащимся в . В Т мы можем немного изменить так, чтобы по-прежнему было , но чтобы при этом в поверхность пересекала . Как и прежде, это ведет к противоречию, поскольку любая образующая поверхности должна обладать конечной точкой в прошлом на , где она должна быть ортогональна к Однако ввиду того, что в Т, любая выходящая из Т изотропная ортогональная геодезическая будет содержать на конечном аффинном расстоянии точку, сопряженную и потому не может оставаться в на всем пути к

В пространстве с асимптотически предсказуемым будущим содержится в Если на горизонте событий найдется точка которая не принадлежит малейшее возмущение может привести к тому, что попадет в т. е. будет видна из бесконечности; это означает, что данное пространство не является более асимптотически предсказуемым. Ввиду этого, по-видимому, имеет смысл несколько уточнить определение асимптотически предсказуемого будущего: будем говорить, что в пространстве-времени будущее асимптотически сильно предсказуемо с частичной поверхности Коши 9, если содержится в замыкании области содержится в Другими словами, с поверхности можно делать предсказания еще и относительно некоторой окрестности горизонта событий.

Предложение 9.2.3

Если -пространство с сильно асимптотически предсказуемым будущим с частичной поверхности Коши , то существует гомеоморфизм

для которого при каждом те поверхность представляет собой частичную поверхность Коши со следующими свойствами:

б) при каждом граница поверхности в конформном многообразии является простраиственноподобной такой, что при находится строго в будущем сферы

Рис. 58. Пространство с асимптотически сильно предсказуемым с частичной поверхности Коши 91 будущим. Изображено семейство пространственноподобных поверхностей, которые покрывают и пересекают по семейству -сфер

в) при каждом множество есть поверхность Коши в для

Другими словами, есть семейство пространственноподобных поверхностей, гомеоморфных , которое покрывает и пересекает (рис. 58). Эти поверхности можно рассматривать как поверхности постоянного времени в асимптотически предсказуемой области. Выберем их так, чтобы они пересекали тогда при наличии гравитационного или иного излучения какая-либо масса, расположенная на этих поверхностях и измеренная из бесконечности, будет убывать.

Построение подобно доказательству предложения 6.4.9. Выберем непрерывное семейство пространственноподобных -сфер, которые покрывают так, что при находится строго в будущем сферы Введем на меру объема так, чтобы полный объем по этой мере был конечен. В первую очередь докажем следующую лемму:

Лемма 9.2.4

Величина объем множества есть непрерывная функция .

Пусть Т — какое-либо открытое множество с компактным замыканием в

Тогда из каждой точки множества Т можно провести времениподобную кривую до которую можно деформировать так, чтобы получить времениподобные кривые до при некотором При данном можно найти такое Т, объем которого больше . Следовательно, найдется при котором . С другой стороны, допустим, что существует открытое множество которое не имеет пересечения с но содержится в при любом Тогда, если должны существовать направленные в прошлое времениподобные кривые от каждой до Поскольку область между компактна для любых из можно будет провести направленную в прошлое непространственноподобную кривую которая будет предельной кривой для Поскольку не пересекают область тоже не будет ее пересекать и, следовательно, будет изотропной геодезической, лежащей в Она войдет в и потому должна или иметь конечную точку в прошлом в или пересечь Первое невозможно, так как в этом случае имеет пересечение с , а второе невозможно, поскольку Следовательно, не существует такого открытого множества, которое лежало бы в при каждом но не принадлежало бы Таким образом, для данной постоянной найдется такая постоянная что

т. е. - непрерывная функция.

Доказательство предложения 9.2.3. Введем функции представляющие собой объем и

. Так же как в предложении 6.4.9, функция непрерывна на глобально гиперболической области и стремится к нулю на каждой непродолжимой в будущее непространственноподобной кривой. Поскольку есть множество в прошлом, область

глобально гиперболична. Следовательно, при каждом значении функция непрерывна на Это означает, что при данном можно найти такую окрестность точки что для любого По лемме 9.2.4 можно найти такое, что когда Отсюда т. е. функция непрерывна на Поверхности можно определить, тогда как множества точек для которых Ясно поэтому, что они представляют собой пространственноподобные поверхности, которые покрывают и удовлетворяют условиям

Чтобы задать гомеоморфизм а, нам понадобится времениподобное векторное поле на пересекающее каждую поверхность Построим такое поле следующим образом. Пусть У — некоторая окрестность поверхности в конформном многообразии и X, — некоторое непространственноподобное векторное поле на Т, которое на касательно к образующим Далее, пусть есть -функция, равная нулю вне Т и отличная от нуля на — времениподобное векторное поле на , наконец, — -функция на , отличная от нуля на но равная нулю на Тогда векторное поле обладает требуемым свойством. Гомеоморфизм отображает точку в пару где определяется тем, что а интегральная кривая поля X, проходящая через пересекает в точке

Вели в области пространства с асимптотически предсказуемым будущим существует горизонт событий , то из свойства предложения 9.2.3 следует, что при достаточно больших поверхности пересекут этот горизонт. Определим черную дыру на поверхности как связную компоненту множества . Другими словами, черная дыра — это область поверхности из которой ни частицы, ни фотоны не могут уйти на поверхность

По мере роста черные дыры могут сливаться, и в результате такого вторичного коллапса могут образоваться новые черные дыры. Вместе с тем из следующего утверждения видно, что черные дыры никогда не могут распасться.

Предложение 9.2.5

Пусть — черная дыра на . Пусть и - черные дыры на более поздней поверхности Если пересекают то

По свойству предложения 9.2.3 каждая направленная в будущее непродолжимая времениподобная кривая из пересечет Следовательно, область

связная и будет содержаться в связной компоненте

Для физических приложений в первую очередь интересны черные дыры, образовавшиеся в результате гравитационного коллапса из первоначально несингулярного состояния. Уточним это понятие. Будем говорить, что частичная поверхность Коши 9 обладает асимптотически простым прошлым, если область изометрична области некоторого асимптотически простого и пустого пространства-времени где — поверхность Коши для Согласно предложению

6.9.4, поверхность обладает топологией следовательно, имеет такую же топологию. Тогда из предложения 9.2.3 следует, что каждая поверхность обладает топологией и объединение с граничной -сферой на гомеоморфно единичному кубу если -пространство со строго асимптотически предсказуемым с поверхности будущим и с асимптотически простым прошлым.

Хотя мы интересуемся главным образом пространствами, имеющими асимптотически простые прошлые, будет уместно рассмотреть в следующем разделе пространства с асимптотически предсказуемым будущим, которые не имеют асимптотически простого прошлого, но при больших временах служат хорошим приближением к пространствам, имеющим его. Примером этого является сферически симметричный коллапс, рассмотренный нами в начале раздела. Если поверхность звезды ушла за горизонт событий, метрикой внешней области является метрика решения Шварцшильда, и на ней не сказывается дальнейшая судьба звезды. Поэтому при исследовании асимптотического поведения уместно попросту забыть о звезде и рассматривать решение Шварцшильда в пустом пространстве как пространство, в котором будущее сильно асимптотически предсказуемо с поверхности 9 типа изображенной на рис. 24. Эта поверхность не обладает асимптотически простым прошлым и топологически она представляет собой а не Однако часть вне горизонта событий в области I имеет такую же топологию, как область поверхности вне горизонта событий на рис. 57. Мы хотим рассматривать пространства, в

которых будущее сильно асимптотически предсказуемо с поверхности и которые при этом таковы, что часть , находящаяся вне горизонта событий, обладает такой же топологией, как некоторая поверхность в пространстве с асимптотически простым прошлым. Конечно, в более сложных случаях может оказаться несколько компонент соответствующих коллапсу нескольких тел. Поэтому мы будем рассматривать пространства, которые сильно асимптотически предсказуемы с поверхности и обладают тем свойством, что

(а) множество гомеоморфно пространству с вырезанным из него открытым множеством с компактным замыканием.

(Отметим, что это открытое множество может и не быть связным.) Кроме того, было бы удобно наложить такое требование:

(Р) поверхность односвязна.

Предложение 9.2.6

Пусть -пространство, которое сильно асимптотически предсказуемо с частичной поверхности Коши , удовлетворяющей требованиям Тогда

1) поверхность также удовлетворяет требованиям

2) при любом -граница черной дыры — компактна и односвязна.

Поскольку поверхности гомеоморфны они удовлетворяют требованию Можно определить инъективное отображение

как перенесение каждой точки по интегральной кривой векторного поля X, введенного в предложении 9.2.3, до ее пересечения с . Пространство — асимптотически простое в слабом смысле, поэтому в вблизи можно построить Часть которая находится вне , будет отображаться в область , расположенную вне -сферы Отсюда видно, что область множества , которая не содержится в должна иметь компактное замыкание. Следовательно, множество должно быть гомеоморфным пространству из которого вырезано открытое множество с компактным замыканием. Поскольку поверхность гомеоморфна , где У — открытое подмножество пространства с компактным замыканием, граница будет гомеоморфна и в силу этого

компактна. Граница будучи замкнутым подмножеством также компактна.

Допустим, что состоит из двух несвязных компонент Тогда в можно было бы провести кривые и от до соответственно. Можно было бы также в провести кривую от до Соединив все эти кривые, мы получили бы замкнутую кривую в которая имела бы с только одно пересечение. Эту кривую нельзя деформировать в к нулю, что противоречит тому факту, что односвязна.

Нас интересуют лишь такие черные дыры, в которые реально можно «провалиться», т. е. такие, граница которых содержится в . Поэтому к требованиям (а) и мы добавим такое:

(у) для достаточно больших содержится в

Будем называть регулярно предсказуемым пространством, если его будущее сильно предсказуемо с частичной поверхности Коши и если оно удовлетворяет требованиям Все пространства, упомянутые в начале раздела, имея асимптотически предсказуемое будущее, являются в то же время и регулярно предсказуемыми. Из предложения 9.2.6 видно, что когда мы имеем дело с регулярно предсказуемыми пространствами, развивающимися из некоторой частичной поверхности Коши, существует взаимно-однозначное соответствие между черными дырами и их границами Поэтому в такой ситуации можно было бы дать эквивалентное определение черной дыры как связной компоненты множества

Приведем утверждение, в котором устанавливается важное для следующего раздела свойство границы черной дыры.

Предложение 9.2.7

Пусть — регулярно предсказуемое пространство, развивающееся из некоторой частичной поверхности Коши , причем для любого изотропного вектора Пусть -черная дыра на поверхности -черные дыры на более ранней поверхности для которых . Тогда площадь границы больше или равна сумме площадей границ и равенство имеет место лишь при

Другими словами, Площадь границы черной дыры не может убывать со временем, и если две или более черные дыры

сливаются в одну, площадь границы последней будет больше суммы площадей границ исходных черных дыр.

Поскольку горизонт событий есть граница прошлого поверхности его изотропные геодезические образующие будут обладать конечными точками в будущем, только если они пересекают . Это, однако, невозможно, так как изотропные геодезические образующие не имеют конечных точек в будущем. Таким образом, изотропные образующие горизонта событий не имеют конечных точек в будущем. По лемме 9.2.2 их расхождение 0 неотрицательно; следовательно, площадь двумерных сечений этих образующих не может убывать по мере роста т. В силу свойства предложения 9.2.3 и согласно предложению 9.2.5, все изотропные геодезические образующие поверхности , пересекающие в одном из должны пересечь Таким образом, площадь больше или равна сумме площадей Когда будет содержать раздельных замкнутых подмножеств, которые соответствуют образующим поверхности , пересекающим каждую Поскольку связна, она должна содержать открытое множество образующих, которые не пересекают какую-либо из , а имеют прошлые конечные точки между Определение черной дыры через горизонт событий удобно тем, что он является изотропной гиперповерхностью и обладает потому рядом привлекательных свойств. Однако это определение зависит от поведения решения во все времена в будущем; при заданной частичной поверхности Коши мы не можем сказать, где расположен горизонт, не решив сначала задачи Коши во всей области Коши будущего этой поверхности. Поэтому будет полезно дать определение горизонта иного рода, который зависит лишь от свойств пространства-времени на поверхности

Из предложения 9.2.1 мы знаем, что в развивающемся из частичной поверхности Коши регулярно предсказуемом пространстве любая замкнутая ловушечная поверхность на должна находиться в Этот результат связан только с тем фактом, что входящие ортогонально к этой -поверхности изотропные геодезические сходятся. При этом важно, сходятся или нет входящие изотропные геодезические. Поэтому мы будем говорить, что ориентируемая компактная пространственная -поверхность в есть внешняя ловушечная поверхность, если расхождение выходящих ортогонально к ней изотропных геодезических неотрицательно. (Случай включается сюда для удобства,) Чтобы определить понятие семейства выходящих

изотропных геодезических, воспользуемся свойством частичных поверхностей Коши Пусть X — времениподобиое векторное поле из предложения 9.2.3. Тогда любую компактную ориентируемую 2-поверхность в можно отобразить посредством интегральных кривых поля X на компактную ориентируемую -поверхность в при любом данном значении . Пусть — кривая в от до , пересекающая только в своей конечной точке. Тогда можно определить внешнее направление на в как направление, в котором приближается к Поскольку поверхность односвязна, это определение однозначно. Семейством выходящих изотропных геодезических, ортогональных является тогда семейство, отображаемое полем X на кривые в которые для являются выходящими.

Зная решение на поверхности можно найти все внешние ловушечные поверхности , которые лежат в Мы определим ловушечную область на поверхности как множество всех точек через которые проходит внешняя ловушечная поверхность лежащая в Как показывает следующий результат, существование ловушечной области приводит к существованию черной дыры и при каждом значении лежит в

Предложение 9.2.8

Пусть -регулярно предсказуемое пространство, развивающееся из частичной поверхности Коши , и пусть в этом пространстве для всякого изотропного вектора Тогда внешняя ловушечная поверхность в не пересекает .

Это предложение доказывается подобно предложению 9.2.1. Допустим, что пересекает . Тогда должна пересекать . К каждой точке из можно провести направленную в прошлое изотропную геодезическую образующую поверхности , имеющую конечную точку в прошлом на , но не имеющую точек, сопряженных . В силу (4.35), расхождение этих образующих будет неположительно, поскольку оно неположительно на и поскольку . Таким образом, площадь двумерного сечения упомянутых образующих будет всегда меньше или равна площади . Это приводит к противоречию, так как , находясь на бесконечности, имеет бесконечную площадь.

Внешнюю границу связной компоненты ловушечной области мы будем называть кажущимся горизонтом. Согласно предыдущему результату, из существования

кажущегося горизонта следует, что существует вне его или совпадает с ним компонента горизонта событий. Обратное, однако, не обязательно верно: внутри горизонта событий может и не быть внешних ловушечных поверхностей.

Рис. 59. (см. скан) Сферический коллапс звезды массы сопровождаемый сферическим коллапсом оболочки массы внешнее решение будет решением Шварцшильда для массы после коллапса звезды и решением Шварцшильда для массы после коллапса оболочки. В момент имеется горизонт событий, но нет кажущихся горизонтов событий; в момент внутри горизонта событий есть два кажущихся горизонта событий.

С другой стороны, внутри одной компоненты горизонта событий может быть более одной связной компоненты ловушечной области Такая возможность иллюстрируется рис. 59. Похожая ситуация возникает при рассмотрении столкновения и слияния двух черных дыр. На начальной поверхности

имеются две ловушечные области находящиеся соответственно в черных дырах и

Рис. 60. (см. скан) Столкновение и слияние двух черных дыр. В момент времени внутри горизонтов событий существуют кажущиеся горизонты . К моменту эти горизонты событий сливаются и образуют один горизонт событий; к этому моменту образуется третий кажущийся горизонт, окружающий предшествующие кажущиеся горизонты.

По мере их взаимного сближения они сливаются и образуют единую черную дыру на более поздней поверхности Однако кажущиеся горизонты не сольются немедленно, а появится третья ловушечная область окружающая первые две (рис. 60). В некоторый более поздний момент и сольются воедино.

Мы лишь набросаем схему доказательства основных свойств кажущегося горизонта. Прежде всего имеем

Предложение 9.2.9 Каждая компонента является такой -поверхностью, что выходящие ортогональные изотропные геодезические имеют на нулевое схождение . (Такую поверхность мы будем называть маргинальной внешней ловушечной поверхностью.)

Если бы было положительным в некоторой окрестности в точки то была бы окрестность точки такая, что любая внешняя ловушечная поверхность в которая пересекает пересекла бы также и Следовательно, на

Если бы было отрицательно в некоторой окрестности в точки то можно было бы растянуть так, чтобы получить внешнюю ловушечную поверхность снаружи .

Итак, изотропные геодезические, ортогональные к кажущемуся горизонту на поверхности выходят из с нулевым схождением. Однако если на их пути встретится материя или область, где тензор Вейля удовлетворяет типовому условию (разд. 4.4), они начнут сходиться, поэтому их пересечение с более поздней поверхностью будет лежать внутри кажущегося горизонта Иначе говоря, кажущийся горизонт движется наружу по меньшей мере со скоростью света и быстрее света, если на его пути попадется вещество или излучение. Как видно из вышеприведенного примера, это движение может быть еще и разрывным. Вследствие этого с кажущимся горизонтом иметь дело труднее, чем с горизонтом событий, который всегда движется непрерывным образом. Мы покажем в следующем разделе, что горизонт событий и кажущийся горизонт совпадают, когда решение стационарно. Поэтому надо ожидать, что оба горизонта очень близки друг к другу, если решение почти стационарно в течение длительного времени. В частности, их площади в таких случаях, по всей вероятности, одинаковы. Если имеется решение, которое из начального почти стационарного состояния через некоторый период нестационарности переходит к конечному почти стационарному состоянию, то можно использовать предложение 9.2.7, чтобы связать площади начального и конечного горизонтов.