9.3. Конечное состояние черной дыры

В предыдущем разделе мы принимали, что в удалении от коллапсирующей звезды можно предсказать будущее. Как было показано, из этого предположения следует, что звезда уходит

за горизонт событий, который скрывает сингулярность от внешнего наблюдателя. Материя и энергия, пересекающие горизонт событий, будут навсегда потеряны для внешнего мира. Поэтому следует ожидать, что на бесконечность в виде гравитационных волн будет излучено ограниченное количество энергии. Когда подавляющая часть энергии будет излучена, вне горизонта решение, по-видимому, будет приближаться к стационарному состоянию. Ввиду этого в данном разделе мы исследуем строго стационарные решения для черных дыр в предположении, что их внешние области будут довольно точно соответствовать конечным состояниям решений вне сколлапсировавших объектов.

Точнее, мы будем рассматривать пространство которое удовлетворяет следующим условиям:

1) — регулярно предсказуемое пространство, развивающееся из частичной поверхности Коши

2) существует группа изометрии которой вектор Киллинга К времениподобен вблизи и

3) — пустое пространство или содержит поля типа электромагнитного или скалярного, которые удовлетворяют хорошо определенным гиперболическим уравнениям и условию энергодоминантности: для направленных в будущее времениподобных векторов

Будем называть пространство, удовлетворяющее этим условиям, стационарным регулярно предсказуемым пространством. Мы считаем, что при больших значениях область регулярно предсказуемого пространства, содержащая коллапсирующие звезды, будет почти изометрична аналогичной области некоторого стационарного регулярно предсказуемого пространства.

Условие (3) основано на том предположении, что любая материя с ненулевой массой покоя в конечном счете «провалится» за горизонт. Могут остаться лишь поля дальнодействующих сил типа электромагнитных. Из условий (2) и (3) следует, что пространство аналитично вблизи бесконечности, где поле векторов Киллинга времениподобно [110]. Мы примем, что решение в других местах является аналитическим продолжением из этой наружной области. Рассматриваемые здесь стационарные решения не обладают асимптотически простыми прошлыми, так как они соответствуют лишь конечному состоянию системы, и не описывают более раннюю динамическую стадию. Но нас интересуют свойства этих решений только в будущем, а не в прошлом. Свойства в будущем и прошлом могут различаться, поскольку нет никакой априорной причины для того, чтобы они были обратимы во времени; фактически такая обратимость возникает как следствие результатов, которые будут получены ниже.

В стационарном регулярно предсказуемом пространстве площадь двумерных сечений горизонта событий не будет зависеть от времени. Это приводит к следующему фундаментальному результату:

Предложение 9.3.1

Пусть -стационарное регулярно предсказуемое пространство-время. Тогда образующие горизонта событий будущего ) не имеют конечных точек в прошлом в ). Пусть — направленные в будущее касательные к этим образующим векторы; тогда в вектор обладает нулевыми сдвигом а и расхождением и удовлетворяет равенству

Чтобы не прерывать изложения, мы отложим доказательство этого и других результатов до конца раздела. Из этого предложения видно, что в стационарном пространстве-времени кажущийся горизонт совпадает с горизонтом событий.

Теперь мы приведем некоторые результаты, которые указывают на то, что семейством решений Керра (разд. 5.6), вероятно, исчерпываются пустые стационарные регулярно предсказуемые пространства. Мы не будем приводить здесь доказательств теорем Израэля и Картера, а только сошлемся на соответствующие статьи. Остальные результаты будут доказаны в конце данного раздела. На основании этих результатов мы полагаем, что для незаряженного коллапсирующего объекта в конце концов устанавливается решение Керра. Если сколлапсировавшее тело обладает ненулевым полным зарядом, решение, как мы полагаем, будет стремиться к одному из решений Керра для заряженного тела.

Предложение 9.3.2

В стационарном регулярно предсказуемом пространстве каждая связная компонента горизонта меоморфна -сфере.

Не исключено, что могут существовать несколько связных компонент соответствующих нескольким черным дырам, расположенным на неизменных расстояниях друг от друга. Такая ситуация может возникнуть в предельном случае, когда каждая из этих черных дыр имеет заряд равный ее массе и не вращается [69]. По всей вероятности, это единственный случай, в котором могут возникнуть настолько значительные сильные отталкивания, что они уравновесят гравитационное притяжение между черными дырами. Поэтому мы будем

рассматривать решения, в которых обладает только одной связной компонентой.

Предложение 9.3.3

Пусть — стационарное регулярно предсказуемое пространство. Тогда вектор Киллинга отличен от нуля в односвязной области . Пусть дано при котором содержится в . Если имеет только односвязную компоненту, то область гомеоморфна

При дальнейшем изложении мы будем следовать одному из двух возможных путей в зависимости от того, равен или не равен нулю всюду ротор вектора Киллинга Если он равен нулю, то мы будем называть решение статическим регулярно предсказуемым пространством-временем. Грубо говоря, если черная дыра в некотором смысле не вращается, то можно ожидать, что решение будет статическим.

Предложение 9.3.4.

В статическом регулярно предсказуемом пространстве-времени вектор Киллинга К времениподобен во внешней области , а на

отличен от нуля и направлен вдоль изотропных образующих поверхности .

Поскольку ротор вектора К равен нулю, он ортогонален к некоторой гиперповерхности, т. е. существует некоторая функция такая, что вектор пропорционален Тогда мы можем представить метрику во внешней области в виде где — индуцированная метрика на поверхностях причем она характеризует разделение интегральных кривых поля Внешняя область, таким образом, допускает изометрию, которая переводит точку на поверхности в точку на поверхности , лежащую на той же интегральной кривой векторного поля К. Эта изометрия обращает направление течения времени; пространство, допускающее такого рода изометрию, будем называть симметричным во времени. Таким образом, если аналитическое расширение внешней области содержит горизонт событий будущего , то оно будет содержать и горизонт событий прошлого . Эти горизонты событий могут как пересекаться, так и не пересекаться; решения Шварцшильда и Райсснера — Нордстрема при служат примерами, когда эти горизонты

пересекаются, а решение Райсснера — Нордстрема при примером, когда они не пересекаются. В последнем случае на горизонте. Важность этого положения вытекает из того факта, что на горизонте будущего выполняется условие где — постоянная вдоль каждой изотропной геодезической образующей поверхности . Пусть и есть направленный в будущее аффинный параметр вдоль каждой такой образующей. Тогда где функция вдоль образующей, подчиняющаяся уравнению Если и образующая геодезически полна в направлении прошлого, то функция а и вектор Киллинга К будут равны нулю в какой-то точке. Эта точка не может лежать в и потому будет точкой пересечения горизонта событий будущего и горизонта событий прошлого [14]. Если , то вектор К всюду отличен от нуля, и ни в одной точке горизонт не разветвляется.

Израэль [84] показал, что статическое регулярно предсказуемое пространство-время должно быть шварцшильдовым, если:

б) величина для вектора Киллинга всюду в обладает ненулевым градиентом;

в) горизонт событий прошлого пересекает горизонт событий будущего по компактной -поверхности

[Из условия и предложения 9.3.2 следует, что связна и обладает топологией -сферы. Израэль не приводит условия (а) — (в) в точно такой форме, но его и наша формулировки эквивалентны.] Далее, он показал [85], что при замене условия отсутствия материи (а) требованием, чтобы тензор был тензором энергии-импульса электромагнитного поля, пространство-время оказывается пространством Райсснера — Нордстрема. В работе [111] условие было снято для случая вакуума.

На основании этих результатов мы полагаем, что в случае статичности конечного состояния решения вне горизонта событий метрика во внешней области должна быть метрикой Шварцшильда.

Теперь мы рассмотрим случай, когда конечное состояние внешнего решения стационарное, но не статическое. Мы считаем, что это имеет место, когда сколлапсировавший объект в исходном состоянии вращался.

Предложение 9.3.5

В пустом стационарном регулярно предсказуемом пространстве, если оно нестатическое, вектор Киллинга

пространственноподобен в некоторой части внешней области

Область в , в которой вектор пространственноподобен, называется эргосферой. Из предложения 9.3.4 следует, что эргосферы не существует, если метрика статическая. Значение эргосферы состоит в том, что в ней невозможно движение частицы по интегральной кривой вектора Киллинга т. е. частица не может оставаться в покое при наблюдении ее с бесконечности. Поскольку эргосфера расположена снаружи от горизонта, частица из нее все же может уйти на бесконечность. Примером стационарного нестатического регулярно предсказуемого пространства с эргосферой служит решение Керра при (разд. 5.6). В работах [129, 133] показано, что из черной дыры с эргосферой можно извлечь определенное количество энергии, бросив частицу из бесконечности в эргосферу. Поскольку частица будет двигаться по геодезической, величина будет постоянна вдоль ее траектории

гак как — геодезический вектор и — вектор Киллинга; здесь — вектор импульса частицы, — ее масса покоя и — единичный вектор, касательный к мировой линии частицы. Предположим затем, что частица распадается на две частицы с импульсами где Поскольку вектор пространственноподобен, можно выбрать так, чтобы он был направленным в будущее времениподобным вектором, для которого Тогда будем иметь Это означает, что вторая частица может уйти на бесконечность, где она будет иметь большую энергию, чем первоначально брошенная частица. Таким образом, мы извлечем из черной дыры некоторое количество энергии.

Частица с отрицательной энергией не может уйти на бесконечность, а должна оставаться в области, где вектор пространственноподобен. Допустим, что эргосфера не пересекает горизонт событий . Тогда эта частица должна будет оставаться во внешней области. Повторяя описанный процесс, можно продолжать извлечение энергии из черной дыры. При этом решение, по-видимому, будет постепенно меняться. Однако эргосфера не может исчезнуть, поскольку должно остаться какое-то место для частиц с отрицательной энергией. Как мы видим, возможно одно из двух: или мы можем извлечь бесконечное количество энергии (что представляется невероятным), или эргосфера должна в конце концов пересечь горизонт. Мы покажем, что в последнем случае решение должно спонтанно

превратиться в аксиально симметричное или статическое и при этом теряется возможность извлечения энергии с помощью процесса Пенроуза. Как возможность извлечения бесконечного количества энергии, так и спонтанное изменение решения, по-видимому, говорят о неустойчивости исходного состояния черной дыры. Поэтому представляется разумным предположить, что в любом реалистичном состоянии черной дыры эргосфера пересекает горизонт.

В работе [67] показано, что предельная стационарная поверхность, которая является внешней границей эргосферы, будет содержать по крайней мере две интегральные изотропные геодезические кривые вектора Если на этих кривых и если они геодезически полны в прошлом, будут точки, в которых Но во внешней области таких точек быть не может (см. предложение 9.3.3); следовательно, в этом случае эргосфера пересекает горизонт. Однако предположение о полноте в прошлом интегральных кривых векторного поля по-видимому, неприемлемо, так как оно представляло бы собой определенное предположение относительно прошлой области решения, которая, как мы отмечали прежде, не является физически значимым; вместе с тем возможно и имеет смысл предполагать, что эти кривые полны в будущем. В статическом случае можно было бы показать, что решение симметрично во времени, но нет никакой априорной причины для того, чтобы такой симметрией обладало стационарное нестатическое решение. Поэтому мы будем оправдывать предположение о пересечении эргосферой горизонта не результатами [67], а рассуждениями, связанными с извлечением энергии.

Смысл соприкосновения эргосферы с горизонтом можно объяснить следующим образом. Пусть — односвязная компонента области , и пусть — фактормножество 3? относительно ее образующих. Согласно предложениям 9.3.1 и 9.3.2, оно гомеоморфно -сфере. По предложению 9.3.1 пространственное разделение двух соседних образующих постоянно вдоль них и потому может быть описано индуцированной на метрикой Изометрия 0г переводит образующие в образующие и, таким образом, действует как группа изометрии пространства Если эргосфера пересекает горизонт, то вектор где-то на горизонте пространсгвенноподобен и действие в будет нетривиальным. Тогда оно должно соответствовать вращению сферы вокруг некоторой оси, и орбитами этой группы в , будут две точки, соответствующие полюсам, и семейство окружностей. Частица, движущаяся вдоль одной из образующих горизонта, казалась бы тогда движущейся относительно определяемой вектором системы отсчета, которая стационарна на бесконечности. Поэтому мы

могли бы сказать, что горизонт вращается относительно бесконечности.

Следующий результат показывает, что вращающаяся черная дыра должна быть аксиально симметричной.

Предложение 9.3.6

Пусть - стационарное нестатическое регулярно предсказуемое пространство, в котором эргосфера имеет пересечение с . Тогда существует однопараметрическая циклическая группа изометрии этого пространства, которая коммутирует с и орбиты которой пространственноподобны вблизи и

Метод доказательства этого предложения состоит в использовании аналитичности метрики для того, чтобы показать существование изометрии в некоторой окрестности горизонта. Затем эта изометрия распространяется на все пространство путем аналитического продолжения. Этот метод был бы применим, даже если бы метрика была неаналитична в изолированных областях вне горизонта, например, если бы вокруг черной дыры существовало кольцо из вещества или какая-то рамка из стержней. В этом случае возникает следующий кажущийся парадокс. Рассмотрим вращающуюся звезду, окруженную стационарной квадратной рамкой, сделанной из стержней. Если черная дыра приближается к стационарному состоянию, то из предложения 9.3.6 следует, что метрика должна быть аксиально симметричной везде, за исключением области, где она неаналитична (на стержнях). Однако гравитационное воздействие стержней помешает метрике стать аксиально симметричной. Разрешение парадокса состоит, по-видимому, в том, что в этом случае черная дыра не может быть стационарной, пока она вращается. Должно произойти следующее. Гравитационное воздействие стержней слегка деформирует черную дыру. Обратное влияние черной дыры на рамку вызовет ее вращение и, таким образом, приведет к потере момента количества движения через излучение. В итоге вращение как черной дыры, так и рамки затормозится, и решение будет приближаться к статическому состоянию. Статическая черная дыра может и не быть аксиально симметричной, если пространство вне ее не пустое, т. е. если условие (а) теоремы Израэля не удовлетворяется.

Это рассуждение свидетельствует о том, что реальная черная дыра никогда не будет строго стационарной, пока она вращается, так как Вселенная вокруг нее не будет строго аксиально симметричной. Однако в большинстве случаев скорость замедления вращения такой черной дыры будет крайне мала [70, 136]. Поэтому в хорошем приближении можно пренебречь

малой асимметрией, которую вызывает материя в удалении от вращающейся черной дыры, и рассматривать такую черную дыру как если бы она находилась в стационарном состоянии. Поэтому мы будем изучать свойства вращающейся аксиально симметричной черной дыры.

Из следующего результата Папапетру [119], обобщенного Картером [25], видно, что векторы Киллинга: соответствующий временной трансляции, и соответствующий угловому вращению — оба ортогональны к некоторым семействам -по-верхностей.

Предложение 9.3.7

Пусть - пространство-время, допускающее -параме-трическую абелеву группу изометрии с векторами Киллинга Пусть У с: — связное открытое множество, и пусть Тогда, если

б) в некоторой точке из , то .

В стационарном аксиально симметричном пространстве условие удовлетворяется на оси симметрии, т. е. на множестве точек, где Условие (а) удовлетворяется в пустом пространстве, а также в присутствии свободного (без источников) электромагнитного поля [25]. По теореме Фробениуса [151] при равенство нулю представляет собой условие локального существования семейства -поверхностей, ортогональных хюаь, т. е. любой линейной комбинации . В случае аксиально симметричного стационарного пространства-времени это означает, что локально мы можем ввести координаты в которых и Кахта при Тогда метрика локально допускает изометрию обращающую направление течения времени, т. е. метрика симметрична во времени. Таким образом, если аналитическое расширение по метрике вблизи бесконечности пустого стационарного регулярно предсказуемого пространства-времени содержит горизонт будущего, то оно содержит и горизонт событий прошлого.

По аналогии с предложением 9.3.4 имеем предложение 9.3.8.

Предложение 9.3.8 (ср. с [28])

Пусть — стационарное аксиально симметричное регулярно предсказуемое пространство-время, в котором где Тогда в любой точке, лежащей вне оси во внешней области .

На горизонтах но нигде не обращается в нуль, кроме оси,

Отсюда видно, что во внешней области в каждой точке вне оси существует некоторая линейная комбинация векторов Киллинга которая времениподобна. Снаружи эргосферы времениподобен сам вектор но чтобы получить времениподобный вектор между предельной стационарной поверхностью и горизонтом, нужно к добавить вектор, пропорциональный На горизонте нет никакой времениподобной линейной комбинации, но существует изотропная линейная комбинация, направленная вдоль изотропных образующих горизонта. Вне оси горизонт можно локально охарактеризовать как множество точек, на котором

Тогда мы приходим к теореме Картера [28], которая указывает на то, что объекты, описываемые решениями Керра, вероятно, являются единственными стационарными черными дырами в пустом пространстве. Картер рассмотрел стационарное регулярно предсказуемое пространство, удовлетворяющее условиям

б) аксиально симметричное;

в) горизонт событий прошлого пересекает горизонт событий будущего по компактной связной -по-верхности (Согласно предложению 9.3.2, она будет -сферой.) Картер показал, что такие решения распадаются на два несвязных семейства, каждое из которых зависит от двух параметров. В качестве этих двух параметров можно принять массу и момент количества движения измеренные с бесконечности. Одно из семейств известно — это решения Керра с где (Решения Керра с содержат голую сингулярность и потому не являются регулярно предсказуемыми пространствами.) Представляется маловероятным, чтобы существовали какие-либо другие несвязные семейства. Поэтому было высказано предположение, что вне незаряженного сколлапсировавшего объекта установится решение Керра с Это предположение подтверждается анализом линейных возмущений при сферическом коллапсе [43, 137, 139, 168].

В предположении, что эта гипотеза Картера — Израэля справедлива, можно полагать, что площадь -поверхности на горизонте событий будет стремиться к площади некоторой -поверхности на горизонте событий в решении Керра при такой же массе и таком же моменте количества движения, измеренных с поверхности на Эта площадь равна где — масса решении Керра и — момент количества движения. (Если коллапсирующее тело имеет электрический заряд то следует ожидать, что

окончательно установится решение Керра с учетом заряда. Площадь -поверхности на горизонте событий такого решения равна

Используя это выражение, можно обобщить наши результаты на заряженные черные дыры.) Рассмотрим коллапс, в котором к поверхности устанавливается решение Керра с массой и моментом количества движения Предположим, что затем в течение конечного времени черная дыра взаимодействует с частицами или излучением. В итоге к поверхности установится иное решение Керра с параметрами Из рассуждений в разд. 9.2 следует, что площадь должна быть больше или равна площади . В действительности она должна быть строго больше, так как может быть равно нулю лишь при условии, что никакое вещество или излучение не пересекает горизонт. Это означает тогда, что

Если , то неравенство (9.4) позволяет, чтобы была меньше Поскольку в асимптотически плоском пространстве-времени [122] выполняется закон сохранения полной энергии и импульса, неравенство должно означать, что мы каким-то образом извлекли из черной дыры определенное количество энергии. Один из способов извлечения энергии мог бы состоять в том, чтобы построить вокруг черной дыры квадратную рамку из стержней и заставить момент силы, наводимый вращающейся черной дырой на рамку, совершать работу. С другой стороны, можно было бы использовать процесс Пенроуза: бросить в эргосферу частицу, разделить ее там на две частицы, одна из которых уйдет на бесконечность с энергией, большей чем у первоначальной частицы. Другая частица провалится через горизонт событий и уменьшит момент количества движения черной дыры. Таким образом, этот процесс можно рассматривать как процесс извлечения вращательной энергии черной дыры. Кристодулу [32] показал, что при этом можно достичь результата, сколь-угодно близкого к пределу, устанавливаемому неравенством (9.4). Наибольшая энергия извлекается при в этом случае полученная энергия меньше, чем

Рассмотрим теперь случай, когда коллапспруют две звезды, расположенные на значительном расстоянии друг от друга.

и возникают две черные дыры. Следовательно, найдется некоторое значение при котором состоит из двух отдельных Поскольку они удалены друг от друга, можно пренебречь их взаимодействием и предположить, что решение вблизи каждой из черных дыр почти совпадает с решениями Керра с параметрами соответственно. Отсюда площади будут приблизительно равны

соответственно. Теперь допустим, что эти черные дыры сталкиваются и сливаются. При таком столкновении выделится определенное количество гравитационного излучения. В итоге у поверхности эта система придет к решению, похожему на одно решение Керра с параметрами . В силу тех же аргументов, что и выше, площадь должна быть больше полной площади равной сумме площадей и Итак,

Согласно закону сохранения для асимптотически плоских пространств, энергия, уносимая на бесконечность гравитационным излучением, равна

и ограничена приведенным выше неравенством. Эффективность превращения массы в гравитационное излучение

всегда меньше . Если то следует подчеркнуть, что это верхние пределы, истинная эффективность может быть много меньше, хотя само существование предельного значения может означать, что достижима заметная его доля.

Мы показали, что доля массы, способная превратиться в гравитационное излучение при слиянии двух черных дыр, ограничена. Если бы, однако, первоначально было большое число черных дыр, то они могли бы слиться попарно, возникшие при этом новые черные дыры снова могли бы слиться и т. д. Из соображений размерности можно ожидать, что на всех этапах эффективность будет одинаковой. Таким образом, в гравитационное излучение могла бы превратиться очень большая часть первоначальной массы. (Этот аргумент выдвинули Мизнер и Рис.) На каждом последующем этапе энергия,

излученная в виде гравитационных волн, будет больше, чем на предыдущем. Этот механизм мог бы объяснить наблюдавшиеся Вебером всплески гравитационного излучения.

Теперь мы приведем доказательства предложений, выдвинутых в этом разделе. Для удобства мы повторим их формулировки.

Предложение 9.3.1

Пусть -стационарное регулярно предсказуемое пространство-время. Тогда образующие горизонта событий будущего не имеют конечных точек в прошлом в . Пусть — направленные в будущее касательные к этим образующим векторы; тогда в вектор обладает нулевыми сдвигом а и расхождением и удовлетворяет равенству

Пусть — пространственноподобная -сфера на Тогда можно покрыть семейством -сфер полученных движением в обе стороны вдоль образующих поверхности и под действием Введем теперь функцию х в точке как наибольшее значение при котором . Пусть есть окрестность и которая изометрична соответствующей окрестности асимптотически простого пространства-времени. Тогда функция х будет непрерывна и будет иметь некоторую нижнюю грань х на Из этого следует, что х непрерывна в той области множества , где она больше Пусть . Тогда под действием изометрии точка будет переведена в область множества , где Однако

Следовательно, х непрерывна в

Пусть таково, что содержится в . Пусть X — образующая поверхности , пересекающей Допустим, что на X существует некоторая конечная верхняя грань функции Поскольку рассматриваемое пространство асимптотически простое в слабом смысле, по мере приближения к на . Следовательно, на

функция х должна иметь некоторую нижнюю грань. Под действием группы 0; образующая к преобразуется в другую образующую Поскольку образующие поверхности не имеют никаких конечных точек в будущем, продолжение в прошлое кривой все же будет пересекать . Это ведет к противоречию, поскольку тогда верхняя грань х на была бы меньше если

Пусть есть верхняя грань х на . Тогда каждая образующая к поверхности , пересекающая , пересечет при Каждая образующая которая пересекает будет пересекать при Но поверхность компактна. Следовательно, компактна и

Рассмотрим теперь, как меняется площадь по мере роста Поскольку , эта площадь не может сокращаться. Если бы было на некотором открытом множестве, площадь увеличивалась бы. Она увеличивалась бы также, если бы образующие горизонта обладали конечными точками в прошлом на Однако, так как движется под действием изометрии площадь должна оставаться неизменной. Поэтому и в той области поверхности , для которой нет конечных точек в прошлом, а поскольку каждая точка из может быть переведена изометрией в область, где этот результат относится ко всей поверхности . Тогда из уравнений распространения (4.35) и (4.36) получаем: , где — направленный в будущее касательный вектор к изотропной геодезической образующей горизонта.

Предложение 9.3.2

В стационарном регулярно предсказуемом пространстве каждая связная компонента горизонта гомеоморфна -сфере.

Рассмотрим, как ведет себя расхождение уходящих ортогональных к изотропных геодезических при малой деформации наружу в . Пусть — другой направленный в будущее изотропный вектор, ортогональный к и нормированный так, что . При этом остается свобода преобразований Индуцированная метрика на пространственноподобной -поверхности равна Введем

семейство поверхностей сдвигая каждую точку на расстояние по параметру вдоль изотропной геодезической с касательным вектором Векторы будут ортогональны к если они подчиняются уравнениям

Тогда

где Свертывая с получаем

На горизонте поскольку сдвиг и расхождения горизонта равны нулю. При масштабном преобразовании вектор заменяется на и поэтому изменение равно

Член есть лапласиан у на -поверхности Согласно теореме Ходжа [78], можно выбрать у так, что сумма первых четырех членов в правой части (9.6) будет постоянной на Знак этой постоянной будет определяться знаком интеграла от

по (интеграл от равен нулю как интеграл от дивергенции). Этот интеграл можно вычислить, используя уравнение Гаусса — Кодацци для скалярной кривизны -поверхности с метрикой

так как на По теореме Гаусса — Бонне [92]

где элемент площади и эйлерова характеристика поверхности Итак,

В силу уравнений Эйнштейна

последнее неравенство следует из условия энергодоминантности. Эйлерова характеристика равна для сферы, 0 для тора и отрицательна для любой другой компактной ориентируемой -поверхности (поверхность должна быть ориентируемой, поскольку она является краем). Отсюда правая часть (9.7) может быть отрицательной лишь при условии, что сфера.

Допустим, что правая часть (9.7) положительна. Тогда можно выбрать у так, что всюду на При малых отрицательных значениях можно получить в такую -поверхность, что ортогональные к ней уходящие изотропные геодезические будут сходиться. Это противоречит предложению 9.2.8. Допустим теперь, что и что на Тогда можно выбрать у так, чтобы сумма первых четырех членов в правой части (9.6) была равна нулю на При этом на

Если где-либо на то и член в (9.6) должен быть где-то отличен от нуля; можно слегка изменить у так, чтобы было всюду. Так мы снова приходим к противоречию.

Теперь допустим, что всюду на -поверхность можно сдвинуть назад вдоль выбирая у на каждом этапе так, что

Если бы или не были равны пулю при то можно было бы подобрать у так, чтобы получить в -поверхность с Это противоречило бы предложению

9.2.8. С другой стороны, если бы при всюду было то мы получили бы -поверхность с , что также противоречит предложению 9.2.8.

Противоречия не возникает только при т. е. если есть -сфера. о

Предложение 9.3.3

Пусть — стационарное регулярно предсказуемое пространство-время. Тогда вектор Киллинга отличен от нуля в области , которая односвязна. Пусть дано , при котором содержится в Если имеет только односвязную компоненту, то область гомеоморфна введенная в предложении непрерывна на и обладает тем свойством, что

Отсюда видно, что К не может равняться нулю в . Интегральные кривые К устанавливают гомеоморфизм между двумя из поверхностей

Область покрывается этими поверхностями и, следовательно, гомеоморфна при любом Выберем достаточно большим, чтобы поверхность имела пересечение с в такой окрестности поверхности которая изометрична соответствующей поверхности в асимптотически простом пространстве. Интегральные кривые К устанавливают гомеоморфизм между

Последняя область односвязна в силу свойства (а) и предложения 9.3.2. Если далее имеет только одну связную компоненту, то

обладает топологией Отсюда топологически есть Предложение 9.3.4

В статическом регулярно предсказуемом пространстве-времени вектор Киллинга К времениподобен во внешней области а на отличен от

нуля и направлен вдоль изотропных образующих поверхности .

Горизонт событий изометрией отображается в себя. Следовательно, на вектор К должен быть либо изотропным, либо пространственноподобным. Пусть при содержится в .

Тогда функция должна равняться нулю на некотором замкнутом множестве .

Из того, что есть вектор Киллинга и следует

Согласно предложению 9.3.3, на односвязном множестве . По теореме Фробениуса из условия следует, что в этой области найдется функция , такая, что , где а — некоторая положительная функция.

Пусть — точка множества и -кривая, проходящая через и лежащая на поверхности постоянного Тогда в силу

Если выходит за пределы то левая часть этого уравнения будет не ограничена. Но правая часть непрерывна, поэтому кривая должна лежать в и множество должно содержать поверхность Однако на некоторой открытой окрестности точки функция должна быть отлична от нуля, потому что иначе она была бы равна нулю всюду. Следовательно, связная компонента содержащая есть -поверх-ность . Допустим, что . Тогда найдется направленная в будущее времениподобная кривая от до проходящая через На вектор должен быть направлен в будущее. Отсюда при Это ведет к противоречию: не может иметь пересечения с или потому что вблизи бесконечности времениподобен. Таким образом, вблизи и либо либо

Предложение 9.3.5

В пустом стационарном регулярно предсказуемом пространстве-времени, если оно нестатическое, вектор Киллинга пространственноподобен в некоторой части внешней области

Функция введенная в предложении 9.3.1, непрерывна на и притом вдоль каждой интегральной кривой. Поверхность можно аппроксимировать гладкой поверхностью которая нигде не касается Затем можно ввести гладкую функцию обладающую тем свойством, что на Градиент вектора Киллинга можно представить в виде

где

Вторая производная К удовлетворяет равенству

Однако Кафе — Следовательно,

и отсюда

Вектор ортогонален . Умножим (9.9) на и проинтегрируем в по области ограниченной поверхностями которые заданы уравнениями где имеет тот же смысл, что и в приложении 9.3.1; в результате получим

Граница области 9? состоит из поверхностей

куска поверхности между и куска поверхности между . Поверхностный интеграл по равен поверхностному интегралу по взятому с обратным знаком, так как эти поверхности переводятся одна в другую изометрией

Вблизи функция и где — некоторая подходящая радиальная координата. Поэтому поверхностный интеграл по на равен

нулю. Допустим теперь, что вектор времениподобен всюду на и изотропен на горизонте. Тогда будучи ортогональным к , пространственноподобен всюду в . Отсюда, если , т. е. решение нестатично, последний член в правой части (9.10) будет отрицательным. Если рассматриваемое пространство пустое и интеграл по равен нулю, то это ведет к противоречию.

Чтобы вычислить этот интеграл, нужно прибегнуть к предельному переходу. Пусть функция на поверхности такая, что на горизонте она равна нулю, но ее градиент в на горизонте отличен от нуля. Функцию можно задать на условием . Градиент можно представить в виде

где — вектор, касательный к поверхностям и нормированный так, что Возьмем теперь по поверхности между Тогда где — некоторая непрерывная мера. Итак,

Поскольку горизонт представляет собой поверхность и поскольку направлен вдоль изотропных образующих горизонта, вектор на горизонте пропорционален Отсюда

Это приводит к противоречию, которое доказывает, что должен быть где-то в пространственноподобным, если пространство пустое.

Предложение 9.3.6

Пусть -стационарное нестатическое регулярно предсказуемое пространство-время, в котором эргосфера имеет пересечение с . Тогда существует однопараметрическая циклическая группа изометрии этого пространства, которая коммутирует с и орбиты которой пространственноподобны вблизи и

Пусть есть односвязная компонента множества и пусть — фактор-множество по ее образующим. Тогда орбитами изометрии в горизонте будут винтовые линии, многократно пересекающие одни и те же образующие. Пусть при некотором есть один оборот

в Тогда, если то будет лежать на той же образующей и притом в будущем точки так как

Мы можем выбрать направленный в будущее изотропный вектор так, чтобы он был касателен к образующим, и так, чтобы он обладал следующими масштабными свойствами:

2) если — параметр вдоль этих образующих, такой, что то

Векторное поле определенное таким образом, инвариантно относительно изометрии , т. е. Затем мы можем задать в пространственноподобное векторное поле (отметим, что — не единичный вектор, и в действительности он будет равен нулю на образующих соответствующих полюсам Интегральные кривые векторного поля будут представлять собой окружности, вырождающиеся на в точки.

Пусть — некоторая кривая в от До ортогональная к причем такая, что орбиты пересекающие образуют в гладкую пространственноподобную -поверх-ность Пусть — семейство пространственноподобных -поверхностей в полученных сдвигом каждой точки поверхности вдоль образующих на параметрическое расстояние V. совпадает также с Введем другой изотропный, ортогональный к вектор, нормированный так, что (рис. 61); тогда

Пусть - пространственноподобиый вектор на касательный к . Тогда мы можем определить на увлекая его вдоль векторных полей (Эти равенства совместны, поскольку будет ортогонален к на ввиду того, что кроме того,

Первый член равен пулю ввиду изотропности а второй член равен Таким образом, если первоначально то эта величина остается равной нулю. ортогонален к на , поскольку он лежит на поверхности нормален к этой поверхности. На он будет также ортогонален к потому что и

силу равенства

В некоторой окрестности будет существовать единственная изотропная геодезическая X, ортогональная к поверхности проходящей через данную точку При этом для точки можно ввести координаты где аффинное расстояние вдоль определяемое по а значения взяты в

Рис. 61. Изометрия сдвигает точку и поверхность в точку и поверхность на горизонте Вектор касателен к изотропной геодезической образующей — изотропный вектор, ортогональный лежит в К — поле векторов Киллинга на порождающее группу изометрии

Здесь — такие сферические полярные координаты для образующих поверхности при которых (Другими словами, мы выберем на Возьмем базис параллельно перенесенный вдоль изотропных геодезических с касательным вектором Тогда Определим вектор К;

Это значит, что Введем вектор

Тогда

где чертой сверху обозначено комплексное сопряжение.

На можно ввести следующее семейство тензорных полей

Во введенных выше координатах Поскольку рассматриваемое решение аналитично, оно полностью определяется семейством на Мы покажем, что на производные Ли всех по К равны нулю. Из этого следует, что производные Ли полей относительно также равны нулю. Отсюда видно, что пространство-время допускает однопараметрическую группу порожденную векторным полем К. Для простоты мы ограничимся лишь случаем пустого пространства, но аналогичные аргументы имеют силу и в присутствии материальных полей, подобных электромагнитному и скалярному, которые подчиняются хорошо определенным гиперболическим уравнениям.

При нашем выборе координат компоненты являются частными производными по координатных компонент -Последние постоянны на и так что Мы покажем ниже, что и затем применим метод индукции. Предположим, что

Из самого построения базиса следует, что всех ковариантных производных всех базисных векторов равны нулю. Имеем

Производные Ли по К второго и третьего членов равны нулю. Первый член включает в себя ковариантные производные порядка и более низких порядков. Производная Ли по

К всех членов низших порядков равна нулю. Члены, включающие ковариантные производные, равны

Производные Ли по К от этого выражения будут равны нулю, если равны нулю производные Ли по К тензора Римана и его ковариантных производных до порядка Тогда получим, что

Чтобы показать, что производные Ли по К тензора и ковариантных производных тензора Римана равны нулю, удобно воспользоваться некоторыми обозначениями, введенными Ньюменом и Пенроузом [113]. Они состоят в использовании псевдоортонормированного базиса с двумя пространственноподобными векторами скомбинированными в один комплексный изотропный вектор во введении для каждой компоненты связности и тензора кривизны особого символа и в явной (без суммирования) записи всех тождеств Бианки и уравнений, определяющих тензор кривизны. Эти соотношения комбинируются в пары, так что они образуют вдвое меньшее число комплексных уравнений. Символы для связности определяются так:

Символы для тензора Вейля:

Мы рассматриваем пустое пространство, и тензор Риччи равен нулю (т. е. в формализме Ньюмена — Пенроуза ). Поскольку базис параллельно переносится вдоль имеем Поскольку есть градиент координаты Более того, на

Нужные нам уравнения имеют вид

[эти уравнения получаются из уравнений Ньюмена — Пенроуза (4.2)] и

[эти уравнения получаются из уравнений Ньюмена — Пенроуза (4.5)].

Из (9.11д) на Тогда из (9.126) на Складывая (9.11а) с уравнением, комплексно-сопряженным (9.116), получим

отсюда на

Следовательно, на . Поэтому на Отсюда видно, что на где А и В — постоянные вдоль образующей горизонта Но следовательно, вдоль образующих Вычитая из (9.11а) комплексносопряженное выражение (9.116), находим, что вдоль указанных образующих.

Затем с помощью подобных же рассуждений относительно (9.11 в) и (9.11 г) можно показать, что вдоль образующих поверхности и X постоянны. Поскольку и X задают ковариантную производную отсюда следует, что на т. е. что

Таким же способом на основе (9.12в) и (9.12г) доказывается, что на Отсюда следует, что на и соответственно равны нулю производные

Ли по К вторых производных базисных векторов. В частности, действие на любую из компонент связности дает нуль.

Из (9.12д) на Подействуем оператором на (9.12а). Коммутатор содержит только первые ковариантные производные базисных векторов. Таким образом,

Отсюда по аналогии с предыдущим доказательством получим, что

Повторим наши рассуждения в применении к , чтобы показать, что на Отсюда видно, что производные Ли относительно К первых ковариантных производных тензора Римана равны нулю. Затем, следуя той же схеме, можно показать, что

Предлоокение 9.3.7

Пусть — пространство-время, допускающее -параме-трическую абелеву группу изометрии с векторами Киллинга и Пусть — связное открытое множество, и пусть

б) в некоторой точке из Т, то

Пусть . Тогда

Отсюда

Первый и четвертый члены исчезают, поскольку и - векторы Киллинга; второй и пятый члены взаимно уничтожаются, поскольку коммутируют в силу того, что — вектор Киллинга, и потому равен нулю третий член. Аналогично вследствие того, что вектор Киллинга, коммутирующий с . Из этого вытекает, что сумма шестого и восьмого членов равна нулю. Седьмой член исчезает в силу симметрии и соотношение которому удовлетворяет всякий вектор Киллинга. Таким образом, равенство (9.13) приводит к виду

По условию (а) правая часть обращается в нуль на Т. Следовательно, на на самом деле на Т, поскольку эта величина обращается в нуль при Аналогично и на Т. Равенство нулю необходимо и достаточно для того, чтобы

Предложение 9.3.8.

Пусть — стационарное аксиально симметричное регулярно предсказуемое пространство-время, в котором где Тогда в любой точке, лежащей вне оси внешней области На горизонтах но нигде не обращается в нуль, кроме оси симметрии.

По предложению 9.3.3 вектор отличен от нуля в . Пусть будет окружностью , которая является ненулевой интегральной кривой векторного поля к в . Действием изометрии можно переместить Поскольку в нет непространственноподобных замкнутых кривых, должна быть пространственноподобной кривой, а потому и вектор должен быть пространственноподобным всюду в

за исключением оси, где он равен нулю. Допустим, что существует некоторая точка в которой оба отличны от нуля и одинаково направлены. Поскольку они коммутируют, интегральные кривые проходящие через должны совпасть. Однако интегральные кривые замкнуты, а интегральные кривые нет. Следовательно, там, где они отличны от нуля, линейно независимы. Поэтому всюду в , за исключением оси.

Ось представляет собой двумерную поверхность. Пусть есть множество , из которого исключена ось, и пусть есть фактор-множество по Поскольку интегральные кривые замкнуты и пространственноподобны в фактор-множество будет хаусдорфовым многообразием. На можно ввести лоренцеву метрику спроектировать с ее помощью вектор Киллинга и получить в ненулевое векторное поле которое будет векторным полем Киллинга для метрики Условие в означает, что в где вертикальной чертой обозначена ковариантная производная относительно Оно как раз и означает, что на должна существовать функция I такая, что . Далее будем рассуждать, как при доказательстве предложения 9.3.4.

Покажем, что при выполнении условия в точке поверхность будет поверхностью в изотропной относительно метрики К. Функция индуцирует функцию на обладающую свойством: Следовательно, будет поверхностью в изотропной относительно метрики

Допустим, что соответствует интегральной кривой X векторного поля не лежащей в . Пусть — точка на X. Тогда должна найтись направленная в будущее времениподобная кривая от через до Если эта кривая пересечет ось, ее можно будет слегка деформировать, чтобы избежать такого пересечения. Отсюда можно прийти к противоречию, аналогичному противоречию при доказательстве предложения 9.3.4.