8.1. Определение сингулярностей

Аналогия с электродинамикой могла бы привести к мысли, что пространственно-временную сингулярность разумно определить как точку, в которой метрический тензор не определен или недифференцируем нужное число раз. Однако при этом мы натолкнемся на ту неприятность, что эти точки можно просто вырезать и сказать, что оставшееся многообразие представляет все

пространство-время, которое, согласно предлагаемому определению, будет уже несингулярным. Конечно, рассматривать такие сингулярные точки, как часть пространства-времени, было бы неразумно, ибо в них не удовлетворялись бы обычные уравнения физики и нельзя было бы производить какие-либо измерения. Поэтому в разд. 3.1 мы определили пространство-время как пару в которой метрика лоренцева и нужное число раз дифференцируема, и, потребовав, что нельзя расширить с сохранением нужной степени дифференцируемости, гарантировали, что из пространства-времени вместе с сингулярными точками не была выброшена ни одна несингулярная точка.

Вопрос о наличии сингулярностей в пространстве-времени превращается в вопрос о том, были ли вырезаны из пространства-времени какие-либо сингулярные точки. Есть надежда, что это можно установить по факту неполноты (в том или ином смысле) пространства-времени.

В случае многообразия с положительно определенной метрикой мы можем ввести функцию расстояния которая равна точной нижней грани длин кривых, соединяющих х и у. Функция является метрикой в топологическом смысле, т. е. базисом для открытых множеств многообразия служат множества , состоящие из всех точек , для которых Пара называется метрически полной (т-полной), если любая фундаментальная по функции расстояния последовательность сходится к точке, лежащей в (Фундаментальной последовательностью называется бесконечная последовательность, для которой при любом существует число такое, что для любых больших Имеется альтернативная формулировка: является -полной, если каждая -кривая конечной длины имеет конечную точку в смысле разд. 6.2 (заметим, что эта кривая не обязательно должна быть класса на конце). Отсюда следует, что -полнота обеспечивает геодезическую полноту (-полноту), т. е. возможность продолжить каждую геодезическую до произвольных значений ее аффинного параметра. Действительно, было доказано [92], что для положительно-определенной метрики -полнота и -полнота эквивалентны.

Лоренцева метрика не определяет какую-либо топологическую метрику, поэтому у нас остается только -полнота. Можно различать три типа -неполноты: времениподобную, изотропную и пространственноподобную. Если вырезать из пространства-времени регулярную точку, то получившееся многообразие будет неполно во всех трех смыслах и можно было бы надеяться, что полнота одного из упомянутых типов свидетельствует о полноте других двух типов. К сожалению, это не обязательно так [97], что видно из следующего примера, найденного Героком [54],

Рассмотрим двумерное пространство-время с координатами и метрикой Введем новую метрику где положительная функция Я обладает следующими свойствами:

1) вне области между вертикальными линиями

2) симметрична относительно оси

В силу свойства ось — времениподобная геодезическая, которая, согласно (3), неполна при Однако каждая изотропная или пространственноподобная геодезическая покидает область между и не возвращается в нее. Следовательно, в силу свойства (1) данное пространство изотропно и пространственноподобно полно. Можно построить примеры, которые неполны в любом из трех указанных выше смыслов и полны в оставшихся двух.

Времениподобная неполнота имеет непосредственное физическое истолкование: из нее следует возможность существования свободно движущихся наблюдателей, мировые линии которых имеют начало или конец на конечном интервале собственного времени. Такое поведение мировой линии может вызвать даже более сильное возражение, чем бесконечная кривизна, и, по-видимому, пространство, в котором имеются такие линии, следует рассматривать как сингулярное. Хотя аффинный параметр на изотропной геодезической не совпадает по своему физическому смыслу с собственным временем на времениподобной геодезической, тем не менее изотропно геодезически неполные пространства, вроятно, тоже нужно считать сингулярными, как из-за того, что изотропные геодезические представляют собой истории частиц с нулевой массой покоя, так и по причине существования примеров (например, решение Райсснера — Нордстрема, разд. 5.5), которые, надо думать, сингулярны и при этом времениподобно полны, но изотропно геодезически неполны. Поскольку по пространственноподобным кривым ничто не движется, смысл пространственноподобной геодезической неполноты не столь ясен. Поэтому мы будем придерживаться той точки зрения, что времениподобная и изотропная геодезическая полнота является минимальным условием, при котором пространство-время можно считать свободным от сингулярностей. Отсюда, если пространство-время времениподобно или изотропно геодезически неполно, мы скажем, что в нем есть сингулярность.

Преимущество принятия времениподобной и (или) изотропной неполноты в качестве индикатора сингулярности состоит в том, что, исходя из этого, мы можем доказать ряд теорем об условиях, при которых сингулярность появляется. Однако класс времениподобно и (или) изотропно неполных пространств не включает в себя все пространства, которые было бы желательно

считать в том или ином смысле сингулярными. Например, Герок [54] построил пространство-время, которое геодезически полно, но содержит непродолжимую времениподобную кривую (не геодезическую) конечной длины с ограниченным ускорением. Такую кривую мог бы пролететь наблюдатель на каком-нибудь космическом корабле, обладая конечным запасом топлива. истечении конечного промежутка времени его нельзя было бы изображать точкой этого пространственно-временного многообразия. Если мы собираемся утверждать, что пространство-время, в котором жизнь свободно падающего наблюдателя преждевременно обрывается, содержит сингулярность, то, очевидно, мы должны быть готовы к тому же выводу и в случае наблюдателя на космическом корабле. Для этого нам требуется какое-то обобщение понятия аффинного параметра на случай любых (-кривых — геодезических и негеодезических. Тогда можно было бы ввести понятие полноты, требуя, чтобы в полном пространстве любая Скривая конечной длины, в смысле измерения по такому параметру, имела бы конечную точку.

Идея, которой мы собираемся воспользоваться, была, по-видимому, впервые высказана Эресмаиом [46] и сформулирована в более изящной форме Шмидтом [148].

Пусть -кривая, проходящая через -базис в Мы можем параллельно перенести вдоль и получить базис в при каждом значении Тогда касательный вектор можно будет выразить через этот базис: — и мы сможем посредством формулы

ввести обобщенный аффинный параметр и на А. Параметр и зависит от точки и от базиса Если — другой базис в то существует некоторая несингулярная матрица такая, что

Поскольку и переносятся вдоль параллельно, это соотношение выполняется при постоянных Таким образом,

Ввиду несингулярности матрицы найдется постоянная для которой

Следовательно, длина кривой по параметру и конечна тогда и только тогда, когда она конечна по параметру и. Если К — геодезическая кривая, то — аффинный параметр на ; красота же этого определения состоит в том, что и можно задать на любой С-кривой. Мы будем говорить, что пространство-время - полное (сокращение от bundle-complete, см. разд. 8.3), если у каждой Скривой конечной длины, измеренной по обобщенному аффинному параметру, существует конечная точка. Если эта длина конечна при одном обобщенном аффинном параметре, то она будет конечна при всех таких параметрах, так что мы ничего не теряем, если ограничимся лишь ортонормированными базисами. Когда метрика положительно определена, обобщенный аффинный параметр, определяемый ортонормированным базисом, является длиной дуги и потому -полнота совпадает с -полнотой. Однако понятие -полноты можно ввести, даже если метрика не является положительно-определенной; фактически для ее определения достаточно наличия связности на Ясно, что из -полноты следует -полнота, но приведенный выше пример показывает, что обратное утверждение неверно.

Итак, мы будем называть пространство-время свободным от сингулярностей, если оно -полное. Это определение согласуется с высказанной выше точкой зрения, что времениподобная и изотропная геодезическая полнота является минимальным условием для того, чтобы пространство-время можно было считать свободным от сингулярностей. Может появиться желание слегка ослабить это условие и называть пространство-время свободным от сингулярностей только тогда, когда оно непространственно-подобно -полное, т. е. если все непространственноподобные -кривые конечной длины, измеренной по обобщенному аффинному параметру, имеют конечную точку. Однако это определение выглядело бы довольно громоздким при формулировке -полноты через расслоенные пространства; такую формулировку мы дадим в разд. 8.3. Фактически в каждой из теорем, доказывав нами в разд. 8.2, подразумевается, что пространство-время времениподобно или изотропно - неполное и, следовательно, содержит сингулярность по обоим из вышеприведенных определений.

Интуитивно чувствуется, что с сингулярностью должна быть связана неограниченно большая кривизна вблизи сингулярной точки. Но мы исключили сингулярные точки из определенного нами пространства-времени, и поэтому возникает трудность с тем, что такое «вблизи» и что такое «неограниченно большая». Можно сказать, что точки -неполной кривой находятся вблизи сингулярности, еслн им соответствуют значения обобщенного аффинного параметра, близкие к верхней грани этого параметра. Труднее придать точный смысл «неограниченно большой кривизне»,

поскольку численные значения компонент тензора кривизны зависят от базиса, в котором они измеряются. Один из подходов состоит в том, чтобы рассматривать скалярные полиномы по и Будем говорить, что Ь-неполная кривая соответствует сингулярности скалярных полиномов кривизны, если любой из этих скалярных полиномов неограничен на данной неполной кривой. Однако, когда метрика лоренцева, эти полиномы не определяют полностью тензор кривизны: Пенроуз заметил, что для решений в виде плоской волны все скалярные полиномы равны нулю, тогда как тензор Римана отличен от пуля (подобно тому как ненулевой вектор может иметь нулевую длину). Таким образом, кривизна может в определенном смысле быть очень большой, даже если скалярные полиномы малы. С другой стороны, можно измерить компоненты тензора кривизны в базисе, параллельно перенесенном вдоль кривой. Будем говорить, что Ь-неполная кривая соответствует сингулярности кривизны в параллельно перенесенном базисе, если любая из компонент тензора кривизны на этой кривой не ограничена. Ясно, что существование сингулярности скалярных полиномов означает также существование сингулярности в параллельно перенесенном базисе.

Можно было бы надеяться, что в физически реалистических решениях -неполнота кривой соответствует обоим видам сингулярности кривизны. Однако пространство Тауба — НУТ (разд. 5.8) служит примером решения, где, по-видимому, эта надежда не оправдывается. В этом пространстве неполные геодезические полностью заключены в некоторой компактной окрестности горизонта. Метрика в этой компактной окрестности вполне регулярна, и потому скалярные полиномы тензора кривизны конечны. Ввиду особого характера этого решения компоненты тензора кривизны в базисе, параллельно перенесенном вдоль заключенной геодезической, остаются ограниченными. Поскольку заключенная геодезическая содержится в компактном множестве, многообразие нельзя расширить до такого большого четырехмерного хаусдорфова паракомпактного многообразия в котором неполные геодезические можно было бы продолжить. Следовательно, эта неполнота возникла не от удаления сингулярных точек. Тем не менее движение по одной из этих неполных времениподобных геодезических доставило бы наблюдателю мало удовольствия: хотя его мировая линия не имеет конца, она кружится и кружится внутри компактного множества, и наблюдатель никогда не перейдет через определенный момент своей жизни. Поэтому представляется разумным считать такого рода пространство-время сингулярным, хотя в нем и нет сингулярности скалярных полиномов кривизны или сингулярности кривизны в параллельно перенесенном базисе. Согласно лемме 6.4.8,

неполнота, состоящая в полном заключении, может возникнуть лишь при нарушении условия сильной причинности. В § 8.5 мы покажем, что в типовом пространстве-времени частично или полностью заключенная -неполная кривая соответствует сингулярности кривизны в параллельно перенесенном базисе. Мы покажем также, что полностью заключенная неполнота такого рода, как в пространстве Тауба — НУТ, не появляется, если в пространстве-времени имеется хоть какая-либо материя.