7.6. Максимальное развитие и устойчивость

Итак, мы показали следующее: если начальные данные удовлетворяют уравнениям связи для пустого пространства и при этом можно найти некоторое развитие начальных данных (т. е. можно распространить решение на некоторое расстояние в будущее и прошлое от начальной поверхности, если эти данные удовлетворяют уравнениям связи), то это развитие, вообще говоря, можно продолжить дальше в будущее и прошлое, что даст более протяженное развитие комплекта начальных данных . Однако, следуя ходу рассуждений в [33], мы докажем существование единственного (с точностью до диффеоморфизма) развития комплекта , являющегося расширением любого другого развития этого комплекта.

Напомним, что — это расширение пространства если существует вложение при котором суть тождественное отображение на . Если даны точка и расстояние мы можем однозначно задать точки путем смещения на расстояние вдоль геодезических, ортогональных к и проходящих через соответственно. Поскольку должно совпадать с вложение будет единственным. Поэтому можно частично упорядочить множество всех развитий комплекта , положив если является расширением Пусть теперь — вполне упорядоченное множество (множество называется вполне упорядоченным, если для каждой пары различных элементов а, или или развитий комплекта ; тогда можно построить многообразие как объединение всех причем при

каждая точка отождествляется с где — вложение. Многообразней будет иметь индуцированную метрику равную на каждой где — естественное вложение. Ясно, что тоже будет развитием комплекта ; поэтому любое вполне упорядоченное множество имеет верхнюю грань, и, таким образом, по лемме Цорна (см., например, [88], р. 33) существует максимальное развитие комплекта расширением которого является только оно само.

Теперь мы покажем, что является расширением любого развития комплекта . Допустим, что — некоторое другое развитие . Согласно локальной теореме Коши, существуют развития , для которых как так и являются расширениями. Множество всех общих для них развитий также частично упорядочено, и снова по лемме Цорна найдется максимальное расширение с вложениями и т.д. Пусть будет объединением в котором каждая точка отождествляется с . Если мы сможем показать, что многообразие хаусдорфово, то тем самым докажем, что пара является развитием комплекта . Она будет расширением как так и Однако единственным расширением пространства является оно само и, таким образом, должно совпасть с и быть расширением пространства

Допустим, что — не хаусдорфово многообразие. Тогда существуют точки , для которых каждая окрестность точки обладает тем свойством, что содержит Далее, поскольку пространство является развитием, оно, как и его образ в , будет глобально гиперболическим. Поэтому граница множества в должна быть ахрональной. Пусть у — времениподобная кривая в с конечной точкой будущего Тогда должна быть предельной точкой в кривой На самом деле она должна быть конечной точкой будущего, так как в выполняется сильная причинность. Следовательно, для данной точки точка единственна. Далее, в силу непрерывности векторы в можно однозначно связать с векторами в Таким образом мы можем подобрать такие нормальные координатные окрестности для в для в точки которых при отображении будут отображаться в точки с теми же значениями координат.

Отсюда следует, что множество всех «нехаусдорфовых» точек из открыто в . Мы предположим теперь, что непустое множество, и придем затем к противоречию.

Пусть К — направленная в прошлое изотропная геодезическая в проходящая через тогда, используя возможность связать направления в с направлениями в можно провести в в соответствующем направлении изотропную геодезическую в прошлое К, проходящую через . Каждой точке множества будет соответствовать точка из следовательно, каждая точка, принадлежащая будет точкой из Поскольку является поверхностью Коши для кривая К должна покинуть в некоторой точке . В некоторой окрестности найдется точка через которую можно провести пространственноподобную поверхность обладающую тем свойством, что существует соответствующая пространственноподобная поверхность проходящая через Поверхности можно рассматривать как образы трехмерного многообразия при вложениях для которых является тождественным отображением на Индуцированные на метрики согласуются одна с другой, поскольку изометричны. Согласно локальной теореме Коши, они принадлежат пространству Аналогично, вторые фундаментальные формы также согласуются и принадлежат Окрестности поверхностей будут -развитиями . По локальной теореме Коши они должны быть расширениями одного и того же развития Присоединяя мы получили бы большее развитие комплекта начальных данных , причем были бы расширениями этого развития. Однако это невозможно, ибо уже является наибольшим общим развитием. Из этого следует, что многообразие должно быть хаусдорфовым, а следовательно, и пространство должно быть расширением пространства

Итак, нами доказана

Теорема о глобальном решении задачи Коши

Если удовлетворяют уравнениям связи для пустого пространства, то для уравнений Эйнштейна в пустом пространстве существует максимальное развитие комплекта начальных

данных для любой гладкой пространственноподобной поверхности М. Это развитие является расширением любого другого такого развития.

Пока мы доказали лишь то, что полученное нами развитие — максимальное среди развитий, принадлежащих пространству (-развитий). Если то существуют также -развития, которые являются расширениями полученного развития. Однако Шоке-Брюа показал [30], что все эти расширения должны совпасть с -развитием. Это происходит вследствие того, что мы можем дифференцировать приведенные уравнения Эйнштейна и затем рассматривать их как линейные уравнения на развитии для первых производных Затем, пользуясь предложением 7.4.7, можно показать, что на развитии, если начальные данные принадлежат пространству Следуя этому рецепту, мы можем показать, что при начальных данных класса будет существовать -развитие, которое фактически совпадает с -развитием.

Мы доказали существование и единственность максимальных развитий только для случая, когда метрика не «хуже», чем класса . В действительности можно доказать существование развитий для начальных данных из но в этом случае мы не сможем доказать единственность. Не исключено, что максимальное развитие может быть расширено или так, чтобы метрика перестала принадлежать пространству или так, чтобы перестала быть поверхностью Коши. В последнем случае появится горизонт Коши; примеры этого были даны в гл. 6. С другой стороны, возможно присутствие сингулярности того или иного рода, и тогда развитие нельзя расширить так, чтобы порядок дифференцируемости метрики был достаточен для ее физической интерпретации. Действительно, как мы увидим в следующей главе (теорема 4), если множество 9 компактно и всюду на развитие нельзя расширить так, чтобы оно было геодезически полным и обладало -метрикой (т. е. локально ограниченной кривизной).

Мы показали, что существует отображение из пространства пар тензоров на , удовлетворяющих уравнениям связи, в пространство классов эквивалентности метрики на многообразии которое, согласно предложению 6.6.8, диффеоморфно . Если две пары эквивалентны относительно диффеоморфизма и Хзсай то они порождают эквивалентные метрики Таким образом, мы имеем отображение классов эквивалентности пар в классы эквивалентности метрик вместе имеют 12 независимых компонент. Уравнения связи накладывают на них четыре соотношения, а эквивалентность

относительно диффеоморфизмов можно использовать для исключения еще трех произвольных функций; остается пять независимых функций. Можно считать, что одна из этих функций характеризует положение поверхности в развитии . Следовательно, максимальные развития, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна, в пустом пространстве определяются четырьмя функциями трех переменных.

Было бы желательно показать, что отображение из классов эквивалентности пар в классы эквивалентности метрик в каком-то смысле непрерывно. Подходящей для этого топологией на классах эквивалентности является компактная открытая -топология (ср. с разд. 6.4). Пусть — лоренцева С-метрика на открытое множество с компактным замыканием. Пусть V — открытое множество в и пусть -множество всех таких лоренцевых метрик на сужения которых на 41 принадлежат V. Открытые множества компактной открытой -топологии в пространстве всех лоренцевых -метрик на определяются как объединения и конечные пересечения множеств вида . Тогда топология пространства классов эквивалентности И-метрик на индуцируется проекцией

которая ставит в соответствие метрике ее класс эквивалентности [т. е. открытые множества в имеют вид где — открытое множество в Аналогично компактная открытая -топология в пространстве всех пар удовлетворяющих уравнениям связи, определяется множествами вида , состоящими из пар, для которых где — открытые множества соответственно в -метрики на образуют подпространство пространства всех лоренцевых метрик на Так как С-метрика принадлежит пространству при любом обладает рассматриваемой -топологией. Мы можем ввести в топологию, задавая ее всеми открытыми множествами в в -топологиях при каждом Аналогично определяется С-топология на и на

Желательно также показать, что отображение из пространства классов эквивалентности пар в пространство классов эквивалентности метрик негр рывно по открытой компактной -топологии в обоих пространствах. Другими словами, предположим, что имеются начальные данные которые на дают решение Желательно показать, что для и для области

с компактным замыканием существуют и некоторая область с компактным замыканием, такие, что при всех начальных данных удовлетворяющих условиям

Это утверждение, возможно, справедливо, но доказать мы его не в состоянии. Что мы действительно можем доказать — это справедливость данного утверждения для метрики, принадлежащей классу Оно сразу следует из предложения 7.5.1, если взять в качестве фоновой метрики и некоторую подходящую окрестность из в качестве 41, Если мы обратимся к лемме 7.4.6, то обнаружим, что в действительности можно ослабить требования к фоновой метрике: вместо -метрики можно взять -метрику, но -метрика уже недопустима ввиду присутствия производных порядка тензора кривизны для фоновой метрики. (Под словами «фоновая -метрика» мы имеем в виду принадлежность этой метрики пространству относительно какой-то другой фоновой -метрики.) Итак, отображение из классов эквивалентности начальных данных в классы эквивалентности метрик будет непрерывным в открытой компактной -топологии для всякой -метрики. Хотя -метрики образуют среди -метрик плотное множество, возможно, что отображение не будет непрерывно на -метрике, если она не является одновременно и -метрикой. Однако и соответственно отображение будет непрерывным по -топологии в обоих пространствах.

Этот результат может быть сформулирован так:

Теорема об устойчивости решения задачи Коши

Пусть — максимальное -развитие начальных данных -область из с компактным замыканием, -окрестность в — открытая окрестность с компактным замыканием. Тогда в существует окрестность У пары ), в которой для всех удовлетворяющих уравнениям связи, существует диффеоморфизм со свойствами:

1) отображение является тождественным на

где — максимальное развитие пары

Утверждение этой теоремы сводится примерно к следующему: если возмущение начальных данных на поверхности Коши

мало в области то мы получим новое решение, близкое к исходному в . В действительности возмущение на начальных данных должно быть малым на несколько большей области поверхности Коши, чем так как изотропные конусы в новом решении будут немного иными, чем прежде, и может оказаться, что Т не лежит в области Коши множества