7.4. Гиперболические уравнения второго порядка

В этом разделе мы воспроизведем некоторые результаты относительно гиперболических уравнений второго порядка, приведенные в [40]. При этом мы обобщим их так, чтобы они были применимы ко всему многообразию, а не только к одной координатной окрестности. Эти результаты будут использованы в последующих разделах для доказательства существования и единственности развитий комплекта начальных данных .

Введем сначала ряд определений. Мы будем пользоваться прописными латинскими буквами для обозначения совокупностей контравариантных или ковариантных индексов; так, тензор типа будем записывать как а число индексов, которые представляют собирательный индекс обозначим через Введем на положительно определенную метрику и

где . Затем определим (или просто ), норму тензора где повторяющимися собирательными индексами подразумевается свертка по всем индексам, которые они представляют. Через (или просто будем обозначать где а черта означает, как и прежде, ковариантное дифференцирование относительно

Пусть — некоторое вложенное подмногообразие с компактным замыканием в Тогда определяется как

— объемный элемент на индуцированный метрикой е. Зададим еще в виде такого же выражения, но с производными, взятыми в касательном к направлении. Очевидно,

Тогда векторные пространства тензорных полей типа являются по определению пространствами Соболева если их значения и значения их производных (в смысле обобщенных функций) определены почти всюду на (т. е. всюду, исключая, быть может, множество меры нуль; в оставшейся части этого раздела почти всюду утверждения следует понимать в смысле «почти всюду») и если — конечная величина. Пространство Соболева с нормой является банаховым

пространством, в котором тензорные С-поля типа образуют плотное подмножество. Если другая непрерывная положительно определенная метрика на то найдутся такие положительные постоянные и что

и

Следовательно, будет эквивалентной нормой. Аналогично другая фоновая С-метрика будет давать эквивалентную норму. В действительности из двух лемм, приведенных ниже, следует, что для и размерности меньшей норма, полученная с помощью ковариантных производных относительно снова эквивалентна исходной.

Теперь мы приведем три фундаментальных результата для пространств Соболева. Их доказательства можно получить, пользуясь книгой Соболева [159]. При этом потребуются слабые ограничения на вид Будет достаточно потребовать, чтобы в каждой точке края можно было вложить в половину -мерного конуса с вершиной в где — размерность Это требование выполняется, в частности, когда край гладкий.

Лемма 7.4.1

Существует положительная постоянная Р, (зависящая от и такая, что на для любого где — размерность

Если то отсюда и из того, что векторное пространство всех непрерывных полей на с нормой является банаховым пространством, следует непрерывность на Аналогично, если то будет С-полем на

Лемма 7.4.2

Существует положительная постоянная (зависящая от и такая, что для любых полей выполняется неравенство

Если то из этой и предыдущей лемм следует, что для любых двух полей их произведение также принадлежит

Лемма 7.4.3

Если есть (-мерное подмногообразие, гладко вложенное в то существует положительная постоянная (зависящая от и такая, что для любого поля выполняется неравенство

Мы докажем существование и единственность развитий комплекта ( когда где а — любая неотрицательная целая. [Если поверхность не компактна, то означает, что при каком-либо открытом подмножестве компактным Для этого достаточно, чтобы на принадлежала классу — классу необходимым условием, согласно лемме 7.4.1, является принадлежность классу — классу Решение для которое при этом получается, будет принадлежать пространству для каждой гладкой пространственноподобной поверхности и, следовательно, производные до порядка включительно будут ограничены, т. е. будет класса на

Эти условия дифференцируемости можно ослабить для случаев, подобных ударным волнам, когда решение на вполне «хороших» гиперповерхностях уже не принадлежит пространству (см. [29, 83, 120, 127]). Однако не найдено доказательства теоремы существования и единственности для общего случая, когда решение не принадлежит Условие принадлежности решения к классу уже само по себе является улучшением результатов предшествующих работ [29], и тем не менее оно несколько сильнее, чем хотелось бы, ибо для определения уравнений Эйнштейна в смысле обобщенных функций достаточно непрерывности метрики и локальной квадратичной интегрируемости ее обобщенных производных (т. е. при класса и принадлежащем С другой стороны, всякое условие принадлежности классу при не гарантирует единственности геодезических, а при — их существования. Сами мы стоим на той точке зрения, что эти различия в условиях дифференцируемости не существенны, поскольку, как было объяснено в разд. 3.1, для модели про-странства-времени можно принять, что метрика принадлежит классу

Чтобы доказать существование и единственность развитий, мы установим сейчас ряд фундаментальных неравенств (леммы 7.4.4 и 7.4.6) для гиперболических уравнений второго порядка, используя метод, подобный доказательству теорем сохранения в разд. 4.3.

Рассмотрим многообразие вида , где трехмерное многообразие. Пусть открытое множество с компактным замыканием, у которого имеется граница и которое пересекает причем через обозначена поверхность Пусть те части для которых соответственно (рис. 48).

Рис. 48. — открытое множество с компактным замыканием в многообразии — область множества для которой и — область между

Пусть — фоновая -метрика на — положительно определенная -ме-трика. Рассмотрим тензорные поля подчиняющиеся гиперболическому уравнению второго порядка вида

где — лоренцева метрика на (т. е. симметричное тензорное поле сигнатуры и — тензорные поля типов, обозначенных их индексами, и вертикальная черта означает ховариантное дифференцирование относительно метрики

Лемма 7.4.4

Если

1) ахронально относительно А,

2) существует некоторая постоянная для которой на

и

для любой -формы удовлетворяющей равенству

3) существует некоторая постоянная такая, что на

то найдется некоторая положительная постоянная 4 (зависящая от такая, что для любого решения уравнения (7.20) справедливо неравенство

Для тензорного поля по аналогии с тензором энергии-импульса для скалярного поля единичной массы (разд. 3.2) образуем «тензор энергии»

Тензор подчиняется условию энергодоминантности (разд. 4.3) относительно метрики А (иными словами, если вектор времениподобен относительно А, то а вектор непространственноподобен относительно А). Более того, в силу условий (2) и (3) будут существовать такие положительные постоянные что

Теперь мы применим лемму 4.3.1 к выбрав в качестве компактную область и пользуясь объемным элементом и ковариантным дифференцированием, которые определяются метрикой

где — положительная постоянная, не зависящая от (В первом слагаемом правой части по сравнению с леммой 4.3.1

изменен знак из-за того, что элемент поверхности взят с той же ориентацией, что и , где -положительно определенная мера на Ввиду непрерывности найдутся такие положительные постоянные что на будет выполняться неравенство

где — элемент площади на индуцированный метрикой . Таким образом, в силу (7.22) и (7.23) существует некоторая постоянная такая, что

Из (7.20) следует, что

Поскольку все коэффициенты на ограничены, существует такая постоянная что

Следовательно, найдется постоянная при которой в силу (7.25) и (7.27) будет выполняться неравенство

это неравенство можно представить в виде

где

Отсюда

Поскольку у — монотонно растущая функция и поскольку ограничено в существует такая постоянная которая обеспечивает выполнение неравенства

Итак,

где

С помощью этого неравенства мы немедленно можем доказать единственность решений линейных гиперболических уравнений 2-го порядка, т. е. уравнений, для которых А, В, С и F не зависят от К. В самом деле, пусть будут решениями уравнения причем начальные значения как их самих, так и их первых производных на совпадают. Тогда предыдущий результат можно применить к уравнению и получить, что

Отсюда на Таким образом, мы имеем

Предложение 7.4.5

Пусть А — лоренцева -метрика на и пусть В, С и F локально ограничены. Пусть — некоторая пространственно-подобная и непричинная относительно А -поверхность. Тогда решение линейного уравнения (7.20) однозначно определено на множестве его значениями и значениями его первых производных на .

Согласно предложению имеет вид Если то по предложению 6.6.6 множество компактно и может быть взято в качестве

Итак, физическое поле, подчиняющееся линейному уравнению вида (7.20), будет удовлетворять постулату причинности (а) разд. 3.2 при условии, что изотропный конус в метрике А совпадает с изотропным конусом пространственновременной метрики или лежит внутри него.

Чтобы доказать существование решений уравнений (7.20), нам понадобятся неравенства для производных К более высокого порядка. Мы примем теперь, что фоновая метрика по крайней мере класса где а — неотрицательное целое число, а множество возьмем таким, чтобы область имела

гладкую границу и чтобы при этом существовал диффеоморфизм

обладающий тем свойством, что для всякого

Сделаем этот выбор так, чтобы на поверхности существовали верхние границы для постоянных в леммах 7.4.1-7.4.3.

Лемма 7.4.6

Если выполнены условия (1) и (2) леммы 7.4.4 и если

4) существует такая постоянная при которой

[в силу леммы 7.4.1 здесь содержится и условие (3)], то существуют такие положительные постоянные (зависящие от что выполняется неравенство

Из леммы 7.4.4 мы имеем неравенство для

чтобы получить неравенство для

образуем тензор «энергии» для первых производных и поступим, как прежде. Дивергенцию можно при этом вычислить дифференцированием уравнений (7.20):

Все эти коэффициенты (за исключением, быть может, ограничены на в случае При интегрировании по поверхности в (7.31) член, включающий имеет вид

Существует некоторая постоянная для всех при которой интеграл (7.32) меньше или равен величине

Согласно лемме 7.4.2,

где условию (4) и лемме 7.4.3

Ограничение на член, включающий можно получить подобным же образом. Таким образом, согласно лемме 4.3.1, найдется постоянная такая, что выполняется неравенство

Из леммы 7.4.4 следует, что

Складывая это неравенство с (7.34), получаем

где Из рассуждений, аналогичных ходу доказательства леммы 7.4.4, следует существование некоторой постоянной при которой

Тогда из леммы 7.4.1 следует, что на справедливо неравенство

Используя это неравенство, можно подобным же методом получить неравенство для Дивергенция тензора «энергии» приводит к выражению вида

Согласно лемме 7.4.2, второе слагаемое ограничено величиной

где по условию (4) множитель определен почти всюду и квадратично-интегрируем по . Следовательно, мы можем получить неравенство для Из тем же способом, что и для Процедура получения неравенств для производных более высокого порядка аналогична.

Следствие

Существуют постоянные при которых

и

где — некоторое векторное -поле на причем оно нигде не касательно к

Согласно (7.20), производные К второго и более высоких порядков могут быть выражены через поле его производные в направлении и производные К в направлениях, касательных к поверхности Из леммы 7.4.3 следует, что

Итак, должна существовать некоторая постоянная такая, что

Второй результат непосредственно следует отсюда, так как координата ограничена на

Теперь мы можем приступить к доказательству существования решений линейных уравнений вида (7.20). Сначала предположим, что компоненты и являются аналитическими функциями локальных координат в некоторой координатной окрестности У, а в качестве начальных данных возьмем аналитические функции координат на . Тогда из (7.20) можно вычислить частные производные компонент тензора К в направлении, не касательном к через на Таким образом, можно представить в виде формального степенного ряда по и вокруг начала координат По теореме Коши — Ковалевской этот ряд будет сходиться в некотором шаре координатного радиуса и даст решение уравнений (7.20) с заданными начальными условиями. После этого мы выберем аналитический атлас из -атласа многообразия Л, покроем координатными окрестностями вида из этого атласа и в каждой координатной окрестности построим решение так, как это было сделано выше. Таким образом мы получаем решение в области для некоторого Затем повторяем этот процесс, используя По теореме Коши — Ковалевской отношение последовательных интервалов , для которых степенной ряд сходится, не зависит от начальных данных, и, следовательно, решение можно продолжить на всю область за конечное число шагов. Этим доказывается существование решений линейных уравнений вида (7.20), когда коэффициенты, правая часть и начальные данные, аналитичны. Теперь мы снимем требование аналитичности.

Предложение 7.4.7

Если выполнены условия (1), (2), (4) и если

то уравнение (7.20) имеет единственное решение для которого на

Для доказательства этого утверждения мы аппроксимируем коэффициенты и начальные данные аналитическими функциями и покажем, что получающиеся при этом аналитические решения сходятся к полю, которое является решением данного уравнения с заданными начальными условиями. Пусть — последовательность аналитических полей на сильно сходящаяся в к А. (Говорят, что сильно сходится к А

в если сходится к нулю.) Пусть аналитические поля на на которые сильно сходятся соответственно к В, С и в пространстве и пусть аналитические поля на , сильно сходящиеся к и [К соответственно в . При каждом значении будет существовать аналитическое решение уравнения (7.20) с начальными значениями Согласно следствию леммы 7.4.6, норма ограничена при Тогда по теореме Рисса [140] существует поле и подпоследовательность последовательности такая, что для каждого слабо сходится к . (Последовательность полей на называется слабо сходящейся к если

для любого -поля

Поскольку сильно сходятся в будут сходиться к нулю. Следовательно, будет слабо сходиться к сильно сходится к Отсюда На будут слабо сходиться к которые поэтому должны быть равны соответственно Таким образом, К является решением данного уравнения с заданными начальными условиями. Согласно предложению 7.4.5, оно единственно. Поскольку каждый тензор удовлетворяет неравенству из леммы 7.4.6, ему будет удовлетворять и