Главная > Математический анализ. Начальный курс
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6. Дифференцирование сложной функции.

В этом пункте мы рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции вида , где

Мы докажем, что при определенных условиях эта сложная функция является дифференцируемой функцией своих аргументов При этом частные производные указанной сложной функции по аргументам выражаются через частные

производные функции и через частные производные функций (12.21) по следующим формулам:

Докажем следующую основную теорему.

Теорема 12.11. Пусть функции (12.21) дифференцируемы в некоторой точке а функция дифференцируема в соответствующей точке где . Тогда сложная функция где определяются соотношениями (12.21), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной функции в точке М определяются формулами (12.22), в которых все частные производные берутся в точке а все частные производные функций (12.21) по аргументам берутся в точке М.

Доказательство. Придадим аргументам в точке произвольные приращения не равные одновременно нулю. Этим приращениям соответствуют приращения функций (12.21) в точке М. Приращениям в свою очередь, соответствует приращение функции в точке Поскольку функция предполагается дифференцируемой в точке указанное приращение этой функции может быть записано в виде

где частные производные берутся в точке — бесконечно малые при функции, равные нулю при Подчеркнем, что в соотношении представляют собой приращения функций (12.21), отвечающие выбранным приращениям аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (12.21) в точке указанные приращения можно записать в следующей форме:

где частные производные берутся в точке М, а

Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (12.23) выражений (12.24) приращение может быть приведено к виду

где

Тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо формула (12.25) устанавливает факт дифференцируемости сложной функции, а выражение (12.26) представляет собой частную производную указанной сложной функции по переменной {см. теорему 12.9).

При подстановке в правую часть (12.23) выражений (12.24) кроме группы слагаемых

мы получим и другие группы слагаемых. Нам нужно убедиться в том, что все другие группы слагаемых представляют собой величину

Действительно, подставляя выражения (12.24) в формулу получим

Последние две суммы написанной выше формулы представляют собой величину . В самом деле, величины берутся

в точке и поэтому представляют собой постоянные не зависящие от числа. Следовательно, Далее, величины для удовлетворяют в силу формулы (12.24) неравенству а величины для ибо все являются бесконечно малыми при а из дифференцируемости и вытекающей из нее непрерывности в точке М функций (12.21) следует, что стремятся к нулю при Поэтому Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим важный частный случай, когда функции (12.21) зависят от одного аргумента Тогда мы имеем, сложную функцию одной переменной где Производная этой сложной функции определяется формулой

Применим формулу (12.27) для доказательства теоремы Эйлера об однородных функциях.

Функция заданная на множестве называется однородной функцией степени на этом множестве, если для каждой точки множества и для каждого числа для которого точка принадлежит множеству выполняется равенство

Теорема 12.12 (теорема Эйлера об однородных функциях). Если является в некоторой области дифференцируемой однородной функцией степени , то в каждой точке области справедливо равенство

Доказательство. Пусть - произвольная точка области Рассмотрим сложную функцию где т. е. функцию Так как при функции дифференцируемы и функция дифференцируема в соответствующей точке то согласно теореме 12.11 и замечанию к этой теореме мы можем вычислить производную - указанной сложною

функции в точке по формуле (12.27). Так как

где производные берутся в точке . С другой стороны, в

силу (12.28) рассматриваемая сложная функция может быть представлена следующим образом: Из (12.31) вытекает, что т. е.

Сравнивая (12.30) и (12.32), мы и получим соотношение (12.29) для точки Так как точка — произвольная точка области то теорема доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru