6. Дифференцирование сложной функции.

В этом пункте мы рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции вида , где

Мы докажем, что при определенных условиях эта сложная функция является дифференцируемой функцией своих аргументов При этом частные производные указанной сложной функции по аргументам выражаются через частные

производные функции и через частные производные функций (12.21) по следующим формулам:

Докажем следующую основную теорему.

Теорема 12.11. Пусть функции (12.21) дифференцируемы в некоторой точке а функция дифференцируема в соответствующей точке где . Тогда сложная функция где определяются соотношениями (12.21), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной функции в точке М определяются формулами (12.22), в которых все частные производные берутся в точке а все частные производные функций (12.21) по аргументам берутся в точке М.

Доказательство. Придадим аргументам в точке произвольные приращения не равные одновременно нулю. Этим приращениям соответствуют приращения функций (12.21) в точке М. Приращениям в свою очередь, соответствует приращение функции в точке Поскольку функция предполагается дифференцируемой в точке указанное приращение этой функции может быть записано в виде

где частные производные берутся в точке — бесконечно малые при функции, равные нулю при Подчеркнем, что в соотношении представляют собой приращения функций (12.21), отвечающие выбранным приращениям аргументов этих функций. В силу дифференцируемости функций (12.21) в точке указанные приращения можно записать в следующей форме:

где частные производные берутся в точке М, а

Мы должны убедиться в том, что после подстановки в правую часть (12.23) выражений (12.24) приращение может быть приведено к виду

где

Тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо формула (12.25) устанавливает факт дифференцируемости сложной функции, а выражение (12.26) представляет собой частную производную указанной сложной функции по переменной {см. теорему 12.9).

При подстановке в правую часть (12.23) выражений (12.24) кроме группы слагаемых

мы получим и другие группы слагаемых. Нам нужно убедиться в том, что все другие группы слагаемых представляют собой величину

Действительно, подставляя выражения (12.24) в формулу получим

Последние две суммы написанной выше формулы представляют собой величину . В самом деле, величины берутся

в точке и поэтому представляют собой постоянные не зависящие от числа. Следовательно, Далее, величины для удовлетворяют в силу формулы (12.24) неравенству а величины для ибо все являются бесконечно малыми при а из дифференцируемости и вытекающей из нее непрерывности в точке М функций (12.21) следует, что стремятся к нулю при Поэтому Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим важный частный случай, когда функции (12.21) зависят от одного аргумента Тогда мы имеем, сложную функцию одной переменной где Производная этой сложной функции определяется формулой

Применим формулу (12.27) для доказательства теоремы Эйлера об однородных функциях.

Функция заданная на множестве называется однородной функцией степени на этом множестве, если для каждой точки множества и для каждого числа для которого точка принадлежит множеству выполняется равенство

Теорема 12.12 (теорема Эйлера об однородных функциях). Если является в некоторой области дифференцируемой однородной функцией степени , то в каждой точке области справедливо равенство

Доказательство. Пусть - произвольная точка области Рассмотрим сложную функцию где т. е. функцию Так как при функции дифференцируемы и функция дифференцируема в соответствующей точке то согласно теореме 12.11 и замечанию к этой теореме мы можем вычислить производную - указанной сложною

функции в точке по формуле (12.27). Так как

где производные берутся в точке . С другой стороны, в

силу (12.28) рассматриваемая сложная функция может быть представлена следующим образом: Из (12.31) вытекает, что т. е.

Сравнивая (12.30) и (12.32), мы и получим соотношение (12.29) для точки Так как точка — произвольная точка области то теорема доказана.