1.10. Модели аддитивных помех, нормированная функция и функционал правдоподобия

Пространственно-распределенная помеха которая, линейно складываясь с полем сигнала образует доступное для анализа суммарное поле может иметь самую различную природу и статистику. Различают помеху, существующую всюду в пределах анализируемой частотно-временной и пространственной областей анализа поля, а также помеху, локализованную в тех или иных участках спектра (временного и пространственного) и называемую обычно сосредоточенной или же локализованную в тех или иных участках интервала анализа поля (во времени и пространстве) и называемую обычно импульсной.

Как показывают многочисленные экспериментальные данные, поле помехи, непрерывно существующее в пределах анализируемой частотно-временной и пространственной областях, имеет гауссовское или близкое к гауссовскому распределение, что теоретически объясняется ее образованием за счет суммирования большого числа слабо коррелированных слагаемых с ограниченными дисперсиями. частности, она может быть результатом суммарного воздействия в области анализа большого числа относительно слабых сосредоточенных помех или большого числа перекрывающихся импульсных помех, к рассмотрению которых перейдем далее. Сосредоточенными (по спектру) будем называть такие аддитивные помехи, которые существуют во всей области анализа но их основная часть мощности сосредоточена в отдельных областях частот (временного или пространственного спектра) меньших величины, обратной интервалу анализа во времени или по пространственным координатам Они возникают в радиосвязи чаще всего в результате воздействия на приемное устройство сигналов посторонних систем связи или являются преднамеренными помехами.

В полосах полезного сигнала сосредоточенные помехи появляются с той или иной вероятностью и их статистика во многих случаях может считаться схожей со статистикой полезного сигнала, в частности для них приемлема общая гауссовская модель.

Импульсными будем называть такие аддитивные помехи, которые с той или иной вероятностью отличны от нуля лишь на отдельных интервалах времени и пространства, существенно меньших соответствующих интервалов анализа и разделенных значительно более длительными интервалами, свободными от помех. Источники импульсных помех в радиоканалах весьма разнообразны [121, 128, 155, 171]. Уровни этих помех характеризуются высокими вероятностями больших значений и плохо описываются гауссовским законом. Для них предложены различные модели [121, 128, 143, 171].

В качестве обобщающего для распределения амплитуды импульсной помехи можно предложить распределение, образованное взвешенным суммированием четырехпараметрических функций распределения

Частная модель распределения (1.76) в виде взвешенной суммы рэлеевских функций распределения была предложена для импульсной помехи в [171]:

Следует подчеркнуть, что сосредоточенные и импульсные помехи наблюдаются не только в каналах радиосвязи [13, 40, 128].

Идеализированные модели сосредоточенных и импульсных помех часто задаются в форме случайной последовательности -функций (соответственно по частоте и времени). Поскольку суммарная полоса частот или интервала существования такой помехи имеет меру нуль, то в принципе в системах связи такую помеху можно было бы полностью подавить. К сожалению, однако, реально существующие сосредоточенные и импульсные помехи плохо описываются такой моделью.

Будем аппроксимировать аддитивный шум тремя компонентами

где флуктуационный гауссовский белый шум с корреляционной функцией

— матрица спектральных плотностей шума. Для каждой скалярной компоненты это отношение средней мощности помехи в полосе анализа сигнала (которая всегда считается ограниченной по временным и пространственным

частотам) к частотному объему анализируемого сигнала размеры спектра анализируемого сигнала по положительным частотам; сосредоточенный гауссовский шум с корреляционной матрицей импульсный негауссовский шум. Воздействие такой помехи на связь будет анализироваться в гл. 5.

Главное внимание будем уделять весьма характерному для многих систем радиосвязи гауссовскому аддитивному шуму с корреляционной матрицей

Часто будем пользоваться моделью поля с факторизуемой по корреляционной функцией

в частности моделью

образованной некоррелированными компонентами Она позволит оценить и учесть влияние коррелированной в пространстве помехи, в данном случае представляющей собой одномерный марковский процесс по оси

Модель (1.78) предполагает, что сосредоточенная часть помехи определяется корреляционной функцией

Представляет интерес модель помехи образованной в точке суперпозицией многих [см. (1.17)]:

где случайный фазовый сдвиг, зависящий от и учитывающий кривизну фазового фронта луча, пришедшего с направления - средняя длина волны помехи, пришедшей с направления

— луч, достигающий точку с направления и характеризуемый случайной амплитудой и фазой -Функция корреляции для (1.79)

Если лучи некоррелированны, изменения во времени и пространстве, а также амплитуд и . Фаз независимы, распределение разности фаз симметрично, квадратурные компоненты имеют одинаковые корреляционные функции, равные , то для функции корреляции помехи получаем

где

Если принять (т. е. все лучи помехи имеют одинаковые частоты) и обозначить

то

При симметричном распределении имеем и функция корреляции помехи

Как видим, здесь имеет место факторизуемость корреляционной функции по пространственным и временному аргументам. Если квадратурные компоненты полагать -коррелированными со спектральной плотностью то из (1.81) следует

Эта модель использовалась в различных работах [25, 48].

Учет бкоррелированного слагаемого шума в модели (1.77) гарантирует устойчивость решающей процедуры (несингулярность решения) [17, 78].

В данной книге исследуются лишь поля, квантовые свойства которых не учитываются. Укажем, однако, что получаемые ниже результаты могут быть перенесены на квантовые задачи, если только в них квантовые шумы малы по сравнению с некоррелированным гауссовским шумом.

Большую роль в задачах оптимальной обработки сигналов дискретного аргумента играет отношение правдоподобия гипотез о наличии сигнала на фоне шума и о наличии только шума

которые будем называть нормированной функцией правдоподобия.

Для гауссовских полей непрерывного аргумента существует отличный от нуля предел [3, 70, 78]

который назовем нормированным функционалом правдоподобия. Обобщая результаты [126], можно записать нормированный функционал правдоподобия при точно известном векторном сигнале на фоне произвольного гауссовского шума в виде

где

— корреляционный интеграл для позиции;

— энергетическое отношение для позиции. Здесь введены векторные поля

которые будем именовать в дальнейшем опорными сигналами (в схеме оптимального приема на корреляционной основе).