6.2. Пропускная способность непрерывного стохастического общего гауссовского многолучевого ПВ канала при медленных флуктуациях параметров

Как было отмечено выше, пропускную способность канала с медленными флуктуациями параметров можно определить усреднением пропускной способности канала с фиксированными параметрами по флуктуациям этих параметров.

Для многолучевого канала с гауссовским белым шумом пропускная способность

где определяется (6.9).

Примем, что коэффициенты при различных I статистически независимы и подчиняются четырехпараметрическому распределению (общая гауссовская модель канала). Тогда для аппроксимации распределения можно принять -распределение (1.35).

Если то случайная величина также имеет -распределение [173]

отличающиеся от (1.35) тем, что 7 заменен на заменено на

Тогда пропускная способность канала с разделяющимися лучами согласно (6.11) с учетом (6.10) и (6.12)

Интегрированием по частим получаем при целом

где отношение средних мощностей сигнала и помехи в месте приема; интетральная показательная функция.

Заметим, что при (рэлеевский канал), (однолучевой канал) из (6.14) следует известный результат [112]

Возьмем отношение пропускной способности к пропускной способности идеального канала С с той же средней мощностью сигнала, что в канале с замираниями: Зависимости от показаны на рис. 6.1. Для однолучевого канала при целых такие кривые впервые построены в [141.

Рис. 6.1

Кривая, соответствующая определена численным интегрированием (6.13). Особенность зависимости относительной пропускной способности от состоит в том, что при заданном отношении сигнал/помеха пропускная способность зависит не отдельно от параметра и числа лучей в канале а только от их произведения. Это означает, что относительная пропускная способность в односторонненормальном канале при та же, что в рэлеевском канале при

Из рис. 6.1 видно, как с ростом параметра канал по пропускной способности стремится к идеальному По

сравнению с идеальным, каналом изменение пропускной способности в канале с параметром не превышает соответственно Таким образом, максимально возможное снижение пропускной способности канала, обусловленное интерференционными замираниями, не превышает 30% (односторонне-нормальный однолучевой канал).

В табл. 6.1 даны значения которые наглядно говорят о степени повышения относительной пропускной способности канала с ростом числа лучей и улучшением свойств канала (рост

Принципиально можно найти аналитическое выражение для пропускной способности многолучевого канала и при четырехпараметрическом распределении Так, при разделяющихся в канале лучах

Таблица 6.1 (см. скан)

Правая часть выражает норму -мерного вектора, координаты которого являются нормальными случайными величинами, в общем случае коррелированными между собой. Однако, совершая ортогональное преобразование координатных осей, всегда можно перейти к вектору, определяемому совокупностью независимых нормальных величин с параметрами зависящими от двух первых моментов исходной совокупности.

С учетом этого замечания представим (6.11) в виде

Используя в (6.17) одно из возможных интегральных представлений логарифма [29]

и интегрируя по совокупности переменных z, получим

Производя в выражении (6.19) замену переменной — получим

где

Полагаем, что в (6.19) и (6.20) параметры, относящиеся к одному лучу, сгруппированы парами в порядке возрастания индекса т. е. первый луч второй . В качестве параметров произвольного (для определенности первого) луча удобно выбрать следующие: Формула (6.20) удобна для численных расчетов и позволяет получить аналитические решения во многих частных случаях.

С учетом соотношений (1.37) между параметрами четырехпараметрического и -распределений можно показать, что кривые, построенные согласно (6.20), практически совпадают с кривыми рис. 6.1.

Определим теперь пропускную способность двухлучевого канала с независимыми медленными четырехпараметрическими замираниями лучей при условии их фазирования в канале. Рассмотрение канала с произвольным числом независимых лучей по изложенной ниже (для двухлучевого канала) методике не вызывает принципиальных трудностей, но дает весьма громоздкое решение. Итак, в указанных условиях пропускная способность определяется из соотношения

Используя интегральное представление (6.18), получим

Для интегрирования (6.22) разлагаем экспоненту с показателем в ряд. Тогда

Для рэлеевского канала с двумя одинаковыми в среднем лучами из формул (6.21), (6.22) можно получить [114]

— пропускная способность двухлучевого канала с разделяющимися лучами [она может быть определена из (6.14) или (6.20)].

Можно показать, что второе слагаемое в правой части (6.23) всегда положительно. Значения относительного прироста пропускной способности приведены на рис. 6.2.

Бели разделение лучей в канале не обеспечивается, величина согласно (6.9) приводится к виду

По-прежнему полагаем, что нормальные случайные величины, зависимые между собой. Суммарные величины также распределены нормально с параметрами:

Параметры имеют смысл коэффициентов корреляции между величинами с соответствующими индексами. Величины х и у могут считаться некоррелированными, поскольку корреляция

всегда может быть устранена путем поворота координатных осей, что вызовет соответствующее изменение параметров (моментов). Модуль распределен по четырехпараметрическому закону [см. (1.27)].

Итак, если разделение лучей в канале не имеет места, то многолучевой канал для анализа может быть заменен эквивалентным однолучевым с параметрами, определяемыми по (6.24). Для пропускной способности эквивалентного однолучевого канала можно получить формулу

Интересно проследить тенденцию изменения пропускной способности с возрастанием числа лучей.

Для многих реальных каналов можно предположить, что при стремлении числа лучей к бесконечности (каналы с непрерывной многолучевостью) имеет место стремление к нулю регулярных частей результирующего сигнала поскольку могут принять с равной вероятностью как положительные, так и отрицательные значения) а также выравнивание дисперсий (если с ростом увеличивается число независимых компонент с одинаковыми дисперсиями квадратурных составляющих).

Рис. 6.2

Отсюда можно сделать вывод, что при приеме без разделения лучей пропускная способность любого канала с ростом числа лучей стремится к пропускной способности эквивалентного рэлеевского канала и может определяться по формуле Сифорова (6.15).

Характер изменения параметров канала с ростом числа лучей весьма важен, поскольку именно он определяет изменения пропускной способности по мере приближения канала к предельному рэлеевскому. Так, если выравнивание дисперсий происходит раньше, чем пропадает регулярная составляющая в суммарное сигнале, то канал становится райсовским и, следовательно (при фиксированном имеет более высокую пропускную способность, чем предельный рэлеевский канал. Если же в характере изменения параметров имеет меето обратная ситуация и дисперсий

остаются различными при отсутствии регулярной составляющей, это заставляет сделать противоположный вывод об изменении пропускной способности, поскольку пропускная способность подрэлеевского канала ниже, чем рэлеевского.

Можно ожидать, что в некоторых случаях пропускная способность является немонотонной функцией числа лучей Этот вопрос представляется весьма интересным для теории и практики передачи информации и заслуживает более подробного рассмотрения.

Выводы

1. Пропускная способность ПВ канала определяется средней мощностью анализируемого поля сигнала и, как следствие, зависит в общем случае от пространственных параметров канала (в частности, углов прихода и комплексных коэффициентов передачи лучей многолучевом канале).

2. При фиксированной средней мощности поля сигнала и ограниченной области анализа поля пропускная способность ПВ канала монотонно возрастает с ростом спектрального объема анализируемого поля и при достигает предельного значения при флуктуационном шуме отношение предельной пропускной способности ПВ канала к предельной пропускной способности чисто временного канала равло

3. Пропускная способность многолучевого канала с разделяющимися лучами и -замираниями амплитуд монотонно возрастает с ростом стремясь при к пропускной способности «анала с (постоянными параметрами. По сравнению с каналом с постоянными параметрами изменение пропускной способности в канале с (параметром не превышает соответственно 30; 17; 10; 6,6; 5,1; 4,2; 4; 3,8%. Таким образом, максимально возможное снижение пропускной способности «анала, обусловленное интерференционными замираниями, не превышает 30% (односторонне-нормальный однолучевой канал).

4. Канал с фазированными лучами имеет более высокую пропускную способность, чем канал с разделяющимися лучами. Относительный прирост пропускной способности для двухлучевого рэлеевского канала при отношении сигнал/шум, равном 10, составляет примерно 24%.

5. Изменение пропускной способности с ростом числа лучей определяется изменением параметров суммарного луча и может носить немонотонный характер.