1.5. Одномерная вероятностная модель канала с параллельно-последовательным распространением

Для задач оптимальной и субоптимальной обработки полей, рассматриваемых в данной работе, требуется знание прежде всего одномерного распределения поля (в заданном сечении и его корреляционных характеристик.

Приступая к изучению одномерного распределения модуля (амплитуды) и аргумента (фазы) скалярной компоненты комплексного гауссовского поля (1.21) в заданном сечении запишем сначала выражение для совместной плотности двух гауссовских квадратурных компонент Величины , вообще говоря, имеют различные дисперсии и коэффициент взаимной корреляции Однако можно поворотом системы координат (линейным преобразованием) на угол перейти к двум некоррелированным 1 (здесь также независимым) нормальным величинам с совместной плотностью вероятности

где математические ожидания ортогональных компонент в новой системе координат, которую для определенности будем обозначать дисперсии

ортогональных компонент в системе определяемые равенством

Следует подчеркнуть, что если только Поворот системы координат на произвольный угол не меняет распределения амплитуды Поправку же к распределении фазы, отсчитываемой в двух системах координат, при необходимости всегда можно учесть.

С учетом (1.24) одномерное распределение амплитуды [модуля передаточной функции можно определить формулой

Это распределение зарисит от четырех параметров: ту, и поэтому названо автором четырехпараметрическим.

Разлагая подынтегральную функцию в (1.25) в те или иные ряды и выполнив интегрирование, можно получить различные представления для четырехпараметрического распределения амплитуды.

Так, используя соотношения [29]

где полином Эрмита, а также

где модифицированная функция Бесселя -го порядка; - гамма-функция, и используя почленное интегрирование», можно получить следующую формулу:

Здесь и всюду без потери общности считаем

Другая форма [59]

где введены обозначения:

Существуют и другие формы записи четырехпараметрического распределения амплитуды [57, 127, 173].

Подчеркнем, что в рамках общей гауссовской модели наличие регулярной составляющей сигнала не обязательно связано с гипотезой о присутствии «регулярного» луча в канале. Это понятно и физически, так как регулярная составляющая может возникнуть и вследствие особенностей рассеяния волн, в частности если элементарные подлучи группируются по фазе около преимущественного направления [128], что имеет место, если взаимное запаздывание между лучами

При выполнении определенных условий из четырехпараметрического распределения амплитуды (1.26) следует ряд частных случаев:

1. Распределение Бекмана [151, 152] (или трехпараметрическое в данной терминологии распределение)

следует из (1.26) при определенном фазировании регулярной составляющей если учесть, что [29]

2. Двухпараметрическое распределение Райса [78] (или обобщенное распределение Рэлея) получается из (1.26) при симметрии канала по дисперсиям квадратурных составляющих

3. Двухпараметрическое распределение Хойта [161] (или подрэлеевское распределение) следует из (1.26) при и отсутствии регулярной составляющей

При переходе от (1-26) к (1.31) учтено [29], что

и использовано известное разложение в ряд вырожденной гипергеометрической функции

4. Трехпараметрическое распределение амплитуды сигнала, у которого одна из ортогональных компонент не флуктуирует.

Положив получаем распределение 2

Особенность распределения (1.32) состоит в том, что оно не существует на отрезке и обращается в бесконечность при Это объясняется спецификой векторного сложения ортогональных компонент, из которых одна (в данном случае по оси х) неизменна и равна

5. Однопараметрическое распределение Рэлея [78]. Оно получается из (1.30) при отсутствии регулярной части сигнала

6. Односторонне-нормальное распределение [78]. Оно следует из (1,31) при или из (1.32) при

В рамках четырехпараметрической модели это распределение характеризует наиболее глубокие замирания сигнала и при заданной его средней мощности предельно низкую помехоустойчивость.

Вместо параметров характеризующих четырехпараметрическую модель, удобно ввести другие четыре параметра, имеющие наглядный физический смысл:

— отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующей частей передаточной функции (или переходной характеристики канала);

— коэффициент, характеризующий асимметрию канала по дисперсиям квадратурных составляющих;

— фазовый угол регулярной составляющей;

— средний квадрат передаточной функции.

Для полного описания канала достаточно рассматривать следующие диапазоны изменения введенных параметров:

Легко проследить условия (согласующиеся с физическими процессами распространения волн в случайных средах), при которых интерференционная сумма (1.21) при некоррелированных компонентах порождает то или иное распределение в рамках общей гауссовской модели [56, 59].

Нетрудно понять, что учет корреляции отдельных слагаемых а также амплитуд и фаз элементарных компонент при заданном к в случае параллельного механизма распространения способствует образованию четырехпараметрической модели для суммарного рассеянного поля [56, 174].

Можно получить ряд полезных асимптотических представлений для четырехпараметрического распределения амплитуды:

Многочисленные теоретические работы и экспериментальные данные показывают, что общей гауссовской моделью и ее частными случаями охватывается весьма широкий класс каналов связи в самых различных диапазонах волн [2, 30, 35, 38, 66, 67, 80». 83, 86, 100, 109, 127, 151, 152, 157, 158, 169, 170, 173, 174]. Решение стохастического волнового уравнения поля при различных механизмах распространения волн также приводит к общей гауссовской модели и ряду ее частных случаев [10, 103, 107, 117, 151].

Во многих работах [14, 24, 122, 128] распределение амплитуд, сигнала на интервалах локальной стационарности при интерференционных замираниях описывается так называемым -распределением Накагами [173]

где параметр, выражающий отношение квадрата среднего квадрата модуля передаточной функции (средней мощности принимаемого сигнала) к дисперсии квадрата этого модуля (дисперсии мгновенной мощности сигнала):

Таким образом, параметр удобен для оценки глубины замираний сигнала.

Распределение (1.35), выведенное теоретически как аппроксимация истинного, при самой широкой постановке задачи о распределении неотрицательной функции многих случайных аргументов экспериментально подтверждено на различных радиотрассах. Это можно объяснить тем, что распределение (1.35) удовлетворительно аппроксимирует четырехпараметрическое распределение амплитуд (1.26) (которое в отличие от -распределения следует из простой физической модели канала) в широкой области изменения параметров

Исходя из определения (1.36) нетрудно показать, что для канала с заданным четырехпараметрическим распределением амплитуд соответствующее значение

При трехпараметрическом распределении из (1.37) следует

Для райсовского канала

Для подрэлеевского канала из (1.37) следует

Из приведенных формул следует, что различные сочетания параметров которые приводят, вообще говоря, к различному качеству связи, могут дать одну и ту же величину Лишь при трех значениях параметра соотношение (1.35) тождественно четырехпараметрическому распределению, а именно: одностороннее нормальное распределение; рэлеевское распределение; канал без замираний амплитуды.

Степень расхождения оговоренных распределений, построенных при фиксированном параметре различны для разных значений у и параметров Совпадение кривых лучше в области больших значений амплитуд и ухудшается в области малых амплитуд и при увеличении асимметрии канала по дислерсиям ортогональных компонент. Двухпараметрическое -раслределение принципиально не может воспроизвести всю тонкую структуру четырехпараметрического распределения.

Однако формула (1.35) по сравнению с формулой для четырехпараметрического распределения амплитуд отличается большей простотой и, следовательно, удобна для проведения расчетов. Вот почему и будем пользоваться этим распределением, хотя по полученным таким образом результатам при изменении от 0,5 до можно судить лишь о тенденциях в четырехпараметрическом канале при его изменении от модели односторонне-нормального канала до модели без замираний без выяснения более тонких особенностей канала.

Четырехпараметрическое распределение не обязательно связывать с характеристикой канала со случайно меняющимися параметрами. В более общем случае его можно рассматривать как распределение длины радиуса-вектора с некоррелированными (независимыми) нормально-распределенными ортогональными компонентами имеющими математические ожидания и дисперсии Интегральную функцию четырехпараметрического распределения запишем в виде

где

Область изменения параметров функции определим следующим образом:

При из (1.38) следует интегральная функция райсовского распределения, подробно табулированная в

При можно получить интегральную функцию подрэлеевского распределения

При имеет место интегральное распределение Рэлея

При можно получить интегральную функцию одностороннего нормального распределения

где функция Крампа.

Не вызывает принципиальных затруднений составление программы расчета функции на ЭВМ для любого набора четырех его параметров. Имеются таблицы функций вычисленных с высокой точностью [21]. Для

интетральной функции райсовского распределения справедлива аппроксимация

Можно показать справедливость аналогичной аппроксимации и для четырехпараметрической функции, если только выполняется условие

Не следует считать, что общая гауссовская модель (одномерное четырехпараметрическое распределение) описывает статистику всевозможных ПВ каналов.

Действительно, в случае чисто мультипликативной ситуации образования принимаемого поля (1.22) и при независимости отдельных компонент, учитывая

и используя центральную предельную теорему теории вероятностей, получаем для нормальное распределение с параметрами и а для соответственно логнормальное распределение (при )

Логнормальное распределение часто используется для описания распределения амплитуд помех и медленных флуктуаций сигнала в канале. Параметры этого распределения удобно выразить через моментные функции. Момент порядка от у

Первые два момента определяются соотношениями

Обычно из эксперимента определяют и а по ним параметры [155].

Распределение амплитуд и фаз в случае мультипликативноаддитивной модели (1.23) найти значительно труднее даже при независимости отдельных компонент [59].

Остановимся теперь на одномерном распределении аргумента (фазы сигнала) в рамках общей гауссовской модели.

В системе координат одномерное распределение для как это следует из (1.24) после перехода к полярным координатам и интегрирования по у, выражается формулой

где

Анализ (1.42) показывает, что распределение в общем случае несимметрично на интервале и имеет не более шести экстремальных значений в точках

При распределение фазы (трехпараметрическое) симметрично относительно оси ординат и имеет не более четырех экстремальных значений в точках При этом расположение точек максимума и минимума зависит от соотношения дисперсий

При что соответствует райсовскому распределению амплитуды, распределение фазы на интервале имеет максимум при и минимум в точке По аргументу кривая симметрична.

Подчеркнем, что в предположении нормального распределения ортогональных компонент у распределения амплитуды и фазы сигнала взаимно связаны, что подтверждают и многочисленные экспериментальные данные для различных диапазонов волн.

При использовании -распределения амплитуды сигнала вопрос о выборе распределения фазы остается открытым. В большинстве исследований при этом предполагают, что фаза не зависима от у и распределена равномерно на интервале Тогда совместная плотность амплитуды и фазы В этом случае совместная плотность ортогональных компонент

Интегрируя по в бесконечных пределах, получаем для

безусловной плотности любой из ортогональных компонент

где функция Уиттекера. Отсюда видно, что за исключением случая, когда [рэлеевский канал, в котором допущения об -распределении амплитуды и равномерном распределении фазы предполагают отличными от нормального распределения ортогональных компонент вектора у и их взаимную связь.

Аналогичный вывод следует и при логнормальном распределении амплитуды и равномерном распределении фазы сигнала. Так, при независимых логнормальном распределении модуля и равномерном распределении аргумента нетрудно получить совместное распределение квадратурных компонент

Очевидно, что х и у имеют одинаковые законы распределения с одними и теми же статистическими параметрами. Например,

Эти распределения симметричны относительно оси ординат. Это означает, что рассматриваемое распределение исключает возможность появления квадратурных компонент с ненулевыми математическими ожиданиями. При определенных значениях распределения квадратурных компонент являются бимодальными и очень далеки от нормального закона.

Следует заметить, что не исключен случай, когда различные законы распределения ортогональных компонент плоского вектора приведут к одному и тому же распределению его модуля. Так, нетрудно видеть, что распределение модуля векторной суммы двух независимых векторов: рэлеевского (с независимыми нормально-распределенными ортогональными компонентами х и у, имеющими нулевые математические ожидания и дисперсию и вектора постоянной амплитуды с любым законом распределения фазы — описывается распределением Райса независимо от распределения фазы, хотя суммарные ортогональные компоненты могут иметь распределения, существенно отличные от нормальных.

Из сказанного следует, что более полную характеристику можно получить, изучая не только распределение амплитуды сигнала но и ортогональных компонент, отнесенных (для удобства сравнения различных каналов между собой по единой методике) к системе координат