2.9. Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальном когерентном приеме и медленных флуктуациях параметров канала

Выше оценена достоверность передачи двоичных сообщений в предположении, что поле сигнала известно точно в месте приема и, следовательно, возможна реализация оптимального когерентного приема. Вероятность ошибки при этом выражается через функцию Крампа и зависит от ожидаемого в месте приема разностного сигнала а также от характеристик аддитивной помехи , которые в свою очередь определяются набором (вектором) параметров канала

Если эти параметры не остаются постоянными, но меняются достаточно медленно так что возможны их надежная оценка и предсказание в области анализа поля, то рассмотренные алгоритмы когерентной обработки также могут быть реализованы, однако вероятность ошибочного приема в этом случае уже зависит от случайных функций Если распределение параметров X известно, то в области их стационарности мерой качества системы может быть математическое ожидание величины (2.65), полученное усреднением по

Вычислим среднюю вероятность ошибочного приема в предположении, что от случайных параметров X зависит только ожидаемый разностный сигнал в то время как корреляционная функция аддитивной помехи в канале (а следовательно, и функция считается точно известной в месте приема. Вероятность ошибки при приеме двоичных узкополосных сигналов по алгоритму максимального правдоподобия с учетом разделимости сигнала по пространственной и временной координатам и -коррелированного во времени аддитивного шума определяется исходя из (2.40), (2.41):

В соответствии с моделью (1.17) для принимаемой плоской однолучевой волны формула (2.66) принимает вид

где

— эквивалентная спектральная плотность шума.

Предположим теперь, что случайные параметры канала обусловлены случайным изменением во времени величины Полагая, что корреляционная функция процесса известив разложим этот процесс в ряд Карунена-Лоэва

с некоррелированными координатами

Ортогональные компоненты будем считать некоррелированными при всех В общем случае они имеют отличные от куля математические ожидания Подставляя (2.69) в (2.68), учитывая ортонормированность базиса и медленность изменения по сравнению с получаем

Используя интегральное представление функции Крампа [29]

и учитывая (2.67) и (2.70), можно убедиться, что

где через к обозначена совокупность параметров

Если величины распределены нормально с параметрами их совместная плотность распределения

Определим среднюю вероятность ошибки [128]

Подставляя (2.71) и (2.72) в (2.73) и выполняя интегрирование по получаем

Энергия разности передаваемых сигналов может быть записана в виде

где

Для двоичной системы сигналов

где принимает при AM, ЧМ, ФМ значения 1/2; 1; 2 соответственно.

С учетом введенных обозначений выражение для средней вероятности ошибки (2.74) принимает вид

где использованы введенные выше параметры:

Анализ формулы (2.76) показывает, что наименьшая средняя вероятность ошибки при прочих равных условиях обеспечивается применением системы противоположных сигналов.

Полученная формула не отличается от выражения для средней вероятности ошибки в системе -канального разнесенного когерентного приема при независимых неселективных замираниях в отдельных ветвях и будет подробно рассматриваться в гл. 4. Здесь рассмотрим случай (медленные замирания в однолучевом канале).

Выражение (2.76) при можно привести к виду

Формула (2.77) очень удобна для численных расчетов на ЭВМ и позволяет получить большое число частных результатов. Например, для рэлеевского канала из (2.77)

При медленных гладких замираниях и когерентном приеме в области больших отношений сигнал/шум, как следует из (2.77), вероятность ошибки в односторонне-нормальном канале

а в остальной области общего гауссовского (четырехпараметрического) канала

При симметрии канала по квадратурным компонентам (райсовский канал)

Сравнение помехоустойчивости двоичной системы при когерентном приеме и медленных замираниях и при независимом приеме отдельных элементов сигналов в общем гауссовском канале будет выполнено в § 2.12.

Представляет интерес оценка средней вероятности ошибки при негауссовском распределении независимых ортогональных компонент.

Для вычисления интеграла в (2.73) в этом случае воспользуемся теоремой о среднем. Если соответственно быстро и медленно меняющиеся функции на интервале то

где I — произвольная точка интервала Если то для

Выражение (2.37) с учетом (2.71) можно представить в виде

где параметр определяется через отношение сигнал/шум в канале, а функции определяют плотности распределений соответствующих координат. Отсюда в предположении,

что и убывают при больших аргументах медленнее, чем гауссовский закон, для больших отношений сигнал/шум выражение (2.82) можно заменить приближенной формулой

При логнормальном распределении амплитуды (и равномерном распределении фазы) плотность вероятности квадратурной компоненты в нуле согласно и интегрирование (2.83) приводит к результату

Поскольку с учетом (2.75) для любого с использованием соотношений для параметров логнормального распределения (1.41) имеем

то (2.84) принимает вид

В случае гладких замираний

Из (2.85) видно, что с увеличением (увеличением глубины замираний) и средняя вероятность ошибки увеличивается.

Сравнивая (2.85) с асимптотикой вероятности ошибки в рэлеевском канале, следующей из (2.80), приходим к выводу, что при значениях канал с логнормальной амплитудой обеспечивает лучшее качество, чем рэлеевский (если возможно осуществить когерентный прием сигнала). При выполнении обратного неравенства лучшее качество обеспечивает рэлеевский канал.