2.6. Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальной ПВ обработке поля и точно известном сигнале

Исходя из алгоритма приема (2.5) можно видеть, что вероятность перехода символа «0» в «1» определяется вероятностью выполнения неравенства где представляет собой гауссовскую случайную величину с нулевым средним и дисперсией

Тогда

Аналогичным образом находим, что вероятность перехода

Из (2.38) и (2.39) видно, что в общем случае , т. е. канал не является симметричным. Однако использовании алгоритма максимального правдоподобия

где

т. е. канал является симметричным. Параметр можно выразить через коэффициенты корреляции принимаемых сигналов:

и (2.40) можно записать

Для трех распространенных двоичных систем — и при неизменной пиковой мощности передатчика параметр X принимает значения, равные соответственно 1/2; 1; 2. Оптимальной системой сигналов, минимизирующей (2.42) при является система противоположных сигналов (например, когда Для такой системы

Для случая -коррелированного во времени и по пространству шума где спектральная плотность шума (на всех частотах — пространственных и временных), из (2.40) следует аналог формулы Котельникова [71]

где энергия разностного сигнала в месте приема.

Для оценки эффективности ПВ обработки поля рассмотрим ситуацию, когда в месте приема производится оптимальная временная обработка поля лишь в одной точке пространства В этом случае при приеме по алгоритму максимального правдоподобия вероятность ошибки определяется (2.40), в которой

где является решением интегрального уравнения Энергетический выигрыш оптимальной ПВ обработки принимаемого поля по сравнению с чисто временной обработкой в одной точке с учетом (2.41) и (2.44)

Представляет интерес запись формулы для вероятности ошибки (2.40) через совокупность собственных функций и собственных чисел соответствующих корреляционной функции аддитивного шума, который является суммой флуктуационного шума и сосредоточенной помехи, некоррелированных между собой. С учетом разложения (1.56) для обратной корреляционной функции (2.40) принимает вид

Поскольку величины А, каждая из которых характеризует дисперсию компоненты сосредоточенной помехи, неотрицательны, из (2.46) следует, что наличие сосредоточенной помехи всегда приводит к увеличению вероятности ошибки.

Когда сосредоточенная помеха отсутствует из (2.46) следует (2.43), По (2.46) можно выполнить анализ качества приема, если располагать значениями собственных чисел и собственных функций коррелированной части аддитивного шума в канале. Во многих случаях, однако, эти данные отсутствуют или получить их трудно и предпочтительнее оценивать качество непосредственно по (2.40) через параметры, характеризующие корреляционные характеристики сосредоточенной помехи.

В общем виде для произвольной корреляционной функции решение интегрального уравнения (1.52) даже в скалярном случае затруднительно [19]. Для случая, когда интервалы анализа поля значительно превосходят интервалы корреляции помехи по всем своим аргументам, решение интегрального уравнения (1.52) существенно упрощается, поскольку пределы интегрирования можно считать бесконечными. При однородности поля помехи определяется тогда обратным преобразованием Фурье от обратного пространственно-временного энергетического спектра помехи [107]. Оптимальная обработка в рассматриваемом случае сводится к оптимальному различению сигналов на выходе «обеляющего» ПВ фильтра [59].

В качестве примера определим вероятность ошибки при оптимальной ПВ обработке поля и энергетический выигрыш такой обработки (по сравнению с временной обработкой поля в фиксированной точке пространства) для случая, когда интервал анализа конечен:

а суммарный аддитивный шум имеет корреляционную функцию (1.78), которой соответствует дробно-рациональный энергетический спектр

Для однолучевой модели канала (1.18) при пренебрежении кривизной фазового фронта волны

и параметр определяется выражением [62]

Как видно из (2.49), величина зависит от многих параметров и поэтому нахождение для нее, а следовательно, и для вероятности ошибки экстремальных точек в общем случае затруднено.

Если сосредоточенная помеха в канале отсутствует то согласно (2.49)

Если в канале отсутствует флуктуадионная («белая») часть аддитивной помехи то и пространственная обработка благодаря возможности полной компенсации коррелированного шума обеспечивает вероятность ошибки Это означает, что в оговоренных условиях задача является сингулярной и не представляет практического интереса. Для случая, когда (интервал анализа по координате значительно превосходит интервал корреляции аддитивной помехи по этой координате),

Лосколъку то зависимость (2.52) является монотонной причем принимает минимальное значение при что соответствует направлению прихода волны с проекциями по осям вдоль которых все точки поля некоррелированы. Максимальное же значение (2.52) принимает при максимально возможном значении что соответствует приходу волны с направления оси которое определяет направление максимальной корреляции сосредоточенной части аддитивного шума.

Рис. 2.6

На рис. 2.6 представлены восемь графиков зависимости рассчитанные по (2.40) и (2.52) при различных значениях параметров указанных в табл. 2.1.

Ход кривых при фиксированном значении в значительной степени определяется отношением интенсивностей сосредоточенной и флуктуационной помех в канале , а также интервалом корреляции сосредоточенной помехи . В области малых значений интервала корреляции зависимость от выражена крайне слабо и в пределе, при помехоустойчивость системы от не зависит.

Таблица 2.1 (см. скан)

По мере увеличения интервала корреляции зависимость помехоустойчивости от становится все более ощутимой.

В случае оптимальной чисто временной обработки в одной точке пространства для рассматриваемой модели помехи

где размеры спектра анализируемого сигнала по положительным пространственным частотам. Согласно (2.45) с учетом (2.49) и (2.53) энергетический выигрыш оптимальной ПВ обработки по сравнению с оптимальной чисто временной обработкой в одной точке пространства для рассматриваемой модели помехи [62]

Выигрыш зависит от многих параметров, и поэтому нахождение его экстремальных точек в общем случае затруднено. Если сосредоточенная помеха в канале отсутствует то энергетический выигрыш что является известным результатом для когерентного накопления сигнала на фоне белого аддитивного шума.

Если в канале отсутствует флуктуационная («белая») часть аддитивного шума то т. е. пространственная обработка обеспечивает возможность полной компенсации коррелированного шума.

При выражение (2.54) принимает вид

Поскольку то (2.55) достигает минимума при а максимума — при

В табл. 2.2 представлены значения, в децибелах, дополнительного энергетического выигрыша

Таблица 2.2 (см. скан)

(относительно выигрыша при «белом» шуме в канале) оптимальной ПВ обработки в канале с сосредоточенной и флуктуационной помехами относительно оптимальной обработки в одной точке пространства при различных значениях параметров:

Из таблицы видно, что с ростом интенсивности «белого» шума уменьшением интенсивности сосредоточенной помехи и уменьшением интервала корреляции сосредоточенной помехи обсуждаемый выигрыш уменьшается, в пределе стремясь к нулю, и все в меньшей степени зависит от направления прихода волны поскольку в этом случае влияние сосредоточенной помехи по сравнению с белым шумом незначительно. В противоположных ситуациях выигрыш весьма существен. Так при дополнительный энергетический выигрыш изменяется от 18 до в зависимости от направления прихода волны (изменения параметра от 0 до ).