1.6. Корреляционные характеристики и модели стохастических ПВ каналов

При описании стохастических векторных полей [пространственно-временных сигналов, помех или системных характеристик канала, например во многих задачах наибольший интерес представляют корреляционные матрицы и векторы математических ожиданий

В случае гауссовских полей такое описание является исчерпывающим. В -мерном базисе корреляционная матрица где центрированное поле; — знак эрмитова сопряжения. Диагональные элементы корреляционной матрицы представляют собой корреляционные функции скалярных компонент поля (в заданном базисе), а недиагональные взаимокорреляционные функции этих компонент.

Заметим, что различные системные характеристики жестко взаимосвязаны, поэтому и их корреляционные матрицы и векторы математических ожиданий также связаны однозначно.

В зависимости от свойств корреляционных матриц и векторов математических ожиданий (средних значений) можно ввести различные модели векторных стохастических полей (каналов). Модели полей прежде всего полезно классифицировать в зависимости от характера их статистической однородности [107]. Однородность в широком смысле предполагает инвариантность среднего значения (математического ожидания) поля относительно сдвига аргументов и зависимость моментов второго порядка только от разности своих аргументов, т. е.

где

Для передаточной функции канала такая модель, к сожалению, не всегда приемлема [59]. Заметим, что дисперсионная матрица статистически однородного поля неизменна во всех точках поля.

Большой интерес для практики радиоприема представляют

векторные поля с некоррелированными скалярными компонентами, т. е. с диагональными корреляционными матрицами

Такими, в частности, во многих каналах можно считать поля аддитивного шума и полезных сигналов.

Так, многочисленные экспериментальные данные говорят о том, что на многих радиотрассах корреляция флуктуирующих частей сигналов различных поляризационных компонент выражена очень слабо [2, 38, 41, 99, 157 и др.].

Часто вместо корреляционной матрицы комплексного поля задают корреляционную матрицу вещественных квадратурных компонент определяемую в общем случае -мерного векторного поля элементами. Очевидно, что

Теоретические и экспериментальные исследования каналов радиосвязи позволяют во многих случаях принять одинаковые коэффициенты корреляции квадратурных компонент для всех скалярных составляющих. Тогда

где дисперсии квадратурных компонент;

В этом случае при диагональной корреляционной матрице Что касается коэффициентов корреляции квадратурных компонент то их формы в различных каналах на интервалах локальной стационарности могут быть весьма разнообразными. Однако многочисленные теоретические и экспериментальные данные говорят о допустимости аппроксимации для многих каналов коэффициентов корреляции по каждому из аргументов экспоненциальной функцией и кривой Гаусса [107, 128]. Строго говоря, последняя аппроксимация определяет сингулярный (полностью предсказуемый) процесс. Тем не менее в области небольших (по сравнению с интервалом корреляции) значений аргумента такая аппроксимация вполне приемлема.

Большой практический интерес представляют поля с факторизуемыми (разделяющимися) по отдельным аргументам корреляционными функциями скалярных компонент. Такая факторизация

часто является следствием физических свойств канала и используемых сигналов. Так если поле узкополосное (по временной частоте) и его радиус пространственной корреляции удовлетворяет условию где ширина полосы частот анализируемого поля; с — скорость света, то корреляционная функция поля раскладывается в произведение двух функций, одна из которых зависит от а вторая — от пространственных координат

Корреляционную функцию поля самого общего вида в принципе всегда можно представить в виде суммы произведений корреляционных функций, зависящих от отдельных аргументов поля [59].

Как будет показано в дальнейшем, факторизация корреляционной функции помехи существенно упрощает оптимальную пространственно-временную обработку поля [возможна раздельная обработка по пространственной и временной координатам при условии факторизуемости сигналов отдельных скалярных компонент

Примером корреляционной матрицы однородного случайного поля с факторизуемыми по отдельным аргументам элементами может служить матрица вида

где радиусы корреляции по отдельным аргументам [107].

Разлагая центрированное стохастическое поле в области анализа в ряды по тому или иному базису, можно ввести в рассмотрение различные дискретные модели стохастического пространственно-временного канала. В [59] это сделано для скалярного поля.

Особый интерес представляет разложение в ортогональном базисе с некоррелированными координатами — разложение Карунена — Лозва, — позволяющее получить представление (модель) принимаемого поля в виде совокупности сигналов отдельных некоррелированных ветвей разнесения [46, 59]. В случае векторного поля можно ввести в рассмотрение разложения Карунена — Лоэва как по векторному базису со скалярными координатами, так и по скалярному базису с векторными координатами [19].

Число некоррелированных координат для каждой из скалярных компонент поля флуктуирующего независимо по отдельным аргументам,

Общее число координат векторного поля при независимости всех его скалярных компонент в раз превышает правую часть (1.45). Если все скалярные компоненты линейно (жестко) связаны, то общее число независимых координат определяется из (1.45). Если замирания скалярного поля коррелированы по отдельным аргументам, то число независимых координат, естественно, меньше правой части (1.45).

При выполнении условия канал называют неселективным (неизбирательным) по частоте, В литературе для него применяется также термин «канал с гладкими замираниями» [128].

При канал называют неселективным во времени (часто также каналом с медленными замираниями Соответственно при говорят о канале, неселективном по той или иной пространственной координате. Канал будем называть неселективным, если он неселективен по частоте, времени и пространству. Флуктуирующая часть передаточной функции неселективного канала характеризуется согласно (1.45) одной координатой разложения Если же Та канал будем называть селективным по тому или иному параметру или соответственно каналом с избирательными (селективными) замираниями по частоте, во времени, по соответствующей пространственной координате. Канал будем называть селективным, если он селективен хотя бы по одному аргументу (частоте, времени, пространству). Селективность или неселективность канала по отдельным аргументам часто характеризуют коэффициентом корреляции квадратурных компонент принимаемого сигнала по данному аргументу. Будем обозначать коэффициент корреляции по аргументу при фиксированных остальных аргументах, фигурирующий в (1.44), через Аналогично вводятся коэффициенты корреляции и по другим аргументам:

то канал можно считать неселективным во времени (медленные замирания). Если условие (1.46) не выполняется, то будем говорить о селективных во времени замираниях. В дальнейшем будем часто рассматривать ситуацию, когда коэффициент корреляции Это соответствует быстрым замираниям в канале, а также случаю, когда отдельные элементы сигнала принимаются независимо, хотя на протяжении одного элемента параметры канала можно считать постоянными [128].

Аналогично канал с селективными или неселективными замираниями по частоте и пространству можно охарактеризовать с помощью коэффициентов корреляции по этим аргументам.

Реальные стохастические каналы связи характеризуются моделями с различной степенью селективности. Каналы радиосвязи, описываемые однолучевой моделью (1.17) при при флуктуации параметров канала, могут чаще всего считаться неселективными по частоте. Наоборот, каналы радиосвязи, описываемые многолучевой моделью (1.17) при флуктуациях параметров канала, чаще всего должны считаться частотно-селективными. Селективность -лучевой модели (1.17) во времени и по пространству определяется характером флуктуаций совокупности комплексных полей со случайными амплитудами и фазами.

Если пренебречь кривизной фазового фронта волн по всем лучам то анализируемое стохастическое поле при сделанных предполжениях должно считаться неселективным по пространству. Если в этом случае на интервале анализа можно считать т. е. амплитуда и фаза случайны, но неизменны, что имеет место при достаточно медленных замираниях, то наблюдаются неселективные замираниям по отдельным лучам. Отдельно отметим многолучевую модель (1.18), в которой случайными являются только начальные фазы (многолучевой канал с неопределенной фазой в лучах), которые обычно считаются равномерно распределенными на интервале Такая флуктуация вызывается небольшими изменениями протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов, Однолучевая модель канала с неселективными замираниями, а также многолучевая модель с медленными замираниями (неселективными замираниями в отдельных лучах) удовлетворительно описывает многие каналы радиосвязи в различных диапазонах волн.

Одно- и многолучевые модели с селективными во временит замираниями приемлемы для описания некоторых низкоскоростных радиоканалов, используемых и планируемых для космических линий связи, связи с подвижными объектами [98, 128, 131] и ряда, других. Одно- и многолучевые стохастические модели с пространственной селективностью приемлемы для каналов, в которых приходится по тем или иным соображениям учитывать случайные изменения кривизны фазового фронта волны [73, 147].

Модели стохастических векторных каналов могут быть классифицированы в зависимости от степени взаимной корреляции скалярных компонент, значений их средних значений, а такжз по другим признакам.