3.7. Предельная помехоустойчивость двоичной системы лри когерентном приеме в целом с поэлементным принятием решения

Субаптимальный алгоритм приема в целом с поэлементным принятием решения, в отличие от оптимального поэлементного нелинейного алгоритма (3.28), не только легче реализуется, но и позволяет получить простые аналитические выражения для оценки его помехоустойчивости. При этом оказывается (см. § 3.8), что его помехоустойчивость близка к предельно достижимой в канале межсимвольной интерференцией, а следовательно, практически не уступает помехоустойчивости оптимального приема.

Будем предполагать, что «память» канала распространяется на посылок, а обратную связь по решению будем считать идеальной, что справедливо на практике при малых вероятностях ошибки. Влияние неидеалыюсти обратной связи по решению обсудим в § 3.9.

Реакцию считаем известной в месте приема, а анализируемое колебание — «очищенным» в «области анализа от сигнала межсимвольной интерференции создаваемого посылками, по которым уже принято решение (за счет обратной связи по решению). В этих условиях, когда согласно алгоритму приема окончательное решение выносится только о первом из принимаемых «в целом» символов, ошибка при передаче комбинации происходит каждый раз, когда на выходе приемника регистрируется любая из последовательностей вида Здесь

Для искомой вероятности ошибки в качестве нижней границы, которая получается при условии пренебрежения межсимвольной не внутрисимвольной) интерференцией в канале, в случае гауссовского шума можно принять выражение (2.38) при в котором интегрирование выполняется по области анализа А, а разностный сигнал следует определить как

Действительно, вероятность ошибки в условиях межсимвольной интерференции не меньше вероятности любого ошибочного перехода, в том числе и перехода когда все символы цепочки, кроме анализируемого, приняты правильно. Вероятность такого перехода можно определить как вероятность ошибки в эквивалентном однолучевом канале с ожидаемым сигналом для которого разностный сигнал определяется выражением (3.58) и не зависит от сигнала межсимвольной интерференции.

Такая нижняя граница

как показывают результаты цифрового моделирования [43], в области больших отношений сигнал/шум практически не отличается от значения вероятности ошибки, соответствующего потенциальной (предельно возможной) помехоустойчивости двоичной системы в канале с межсимвольной интерференцией.

При белом шуме в канале (3.59) принимает вид

где

Для многолучевой модели (1.18) выражение (3.59) приобретает вид

Для дальнейшего исследования представим последнюю формулу виде

В случае двухлучевого канала полагая из (3.60), имеем

Если лучи не перекрываются то При полном перекрытии лучей имеем Случай полного перекрытия лучей характерен для параллельных систем передачи, в то время как для последовательных скоростных систем характерна ситуация, когда этим перекрытием можно пренебречь.

Воспользовавшись интегральным представлением функции Крампа, запишем

Найдем среднюю вероятность ошибки при независимых замираниях лучей. В случае симметрии лучей по ортогональным компонентам разность фаз на интервале периодичности распределена равномерно. Учитывая это и усредняя (3.63) по , получаем

Теперь выполним усреднение по исходя из совместной плотности

где среднеквадратическое значение коэффициента передачи для флуктуирующей части луча (любого); отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующей частей луча.

Используя соотношение [29]

получаем после усреднения (3.64) по

где усредненное отношение сигнал/шум флуктуирующей части разностного сигнала в любом из лучей.

Для системы противоположных сигналов Из (3.65) как частный случай получаем (3.64), если положить и учесть, что . С учетом обозначений, введенных в гл. 2, запишем где отношение сигнал/шум флуктуирующей части первой позиции сигнала.

Введем обозначения Для средних отношений суммарный сигнал/шум по каждому из лучей и для отношения Средних мощностей сигнала в лучах. В случае рэлеевских замираний из (3.65) при имеем

При отсутствии полного перекрытия лучей в условиях надежной связи

и из (3.66) следует результат

Перекрытие лучей приводит к энергетическому проигрышу (по сравнению со случаем отсутствия перекрытия,

При этот проигрыш не превышает

В случае полного перекрытия лучей в условиях надежной связи

и из (3.66) следует результат

Сравнивая (3.68) и (3.70), можно видеть, что возможный энергетический выигрыш, обусловленный отклонением от полного перекрытия лучей рэлеевском канале

Зависимость определяемая (3.71) при приведена на рис. 3.6, кривая 1. Выигрыш возрастает по мере роста требуемого качества связи.

Если флуктуации сигналов лучей выражены очень слабо , то приближенное интегрирование (3.65) согласно (2.81) при дает результат

В оговоренных условиях при и равной интенсивности лучей вероятность ошибки

В рассматриваемом случае почхи идеального канала энергетический выигрыш систем передачи, которых обеспечено по сравнению с системами, где связан с допустимой вероятностью ошибки соотношением

Зависимость определяемая (3.74), также приведена на рис. 3.6, кривая 3.

Рассмотрим теперь случай, когда а флуктуациями амплитуд пренебречь нельзя. При выполнении условия (3.67) и из (3.65) следует соотношение

При и выполнении условия (3.69) из

В анализируемой ситуации энергетический выигрыш одних систем над другими

Сравнивая (3.77) и (3.71) при видим, что наличие регулярных компонент приводит к росту энергетического выигрыша, выраженному в децибелах, по сравнению со случаем чисто рэлеевских замираний на

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Теперь проанализируем в рамках общей гауссовской модели случай наиболее глубоких замираний лучей (односторонне-нор-мальное распределение амплитуд), когда коэффициенты асимметрии Поскольку лишь одна ортогональная компонента у не равна нулю, то из (3.62) при фиксированных параметрах какала следует

Воспользовавшись интегральным представлением функции Крампа, усредним (3.78) по полагая их независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковой дисперсией:

При отсутствии полного перекрытия лучей и выполнении условия (3.67)

В случае полного перекрытия лучей и выполнения условия (3.69)

Таким образом, при односторонне-нормальных замираниях лучей энергетический выигрыш системы, обусловленный неполным перекрытием лучей,

Соответствующий график при также показан на кривая 2.