4.7. Оценка помехоустойчивости двоичной системы при когерентном приеме и медленных флуктуациях параметров канала

Будем считать, что в различных ветвях разнесения помехи некоррелированы, а коэффициенты передачи флуктуируют настолько медленно, что на интервале анализа их можно считать практически постоянными (хотя и неизвестными).

При известных параметрах канала вероятность ошибки для: когерентного приема согласно (4.35)

Используя введенный согласно (4.15) вектор случайных параметров к, вероятность ошибки (4.61)

где

Усредняя вероятность случайному параметру X с распределением (4.16) и используя интегральное представление функции Крампа, получаем выражение для средней вероятности ошибки при медленных неселективных замираниях параметров канала

В частном случае независимых компонент принимает вид

где

Полученная формула средней вероятности ошибки (4.64) аналогична (с точностью до определения входящих в нее параметров) выражению (2.76). Формулу (4.64) можно представить в виде

Интегрирование выражения (4.65) в общем случае затруднительно. При симметрии канала по ортогональным компонентам оно приводится к виду

(кликните для просмотра скана)

При сдвоенном приеме

где

Для систем с активной паузой по всем ветвям разнесения вместо соотношения (4.67) справедливо выражение

где гипергеометрическая функция. При имеем

Для сдвоенного приема из (4.69) [128]

Заметим, что (4.70) можно также получить из раскрывая неопределенность при . В области малых ошибок из (4.70) следует (3.68) при (полное разделение лучей). Таким образом, энергетический выигрыш сдвоенного приема в рэлееваком канале при

Если то энергетический выигрыш уменьшается в раз. Исключая из рассмотрения односторонне-нормальный канал, для больших отношений сигнал/шум из (4.64) получаем

где

Из полученной формулы видно, что в пределах оговоренной модели (медленные некоррелированные замирания сигнала в отдельных ветвях разнесения, при которых еще возможны надежное предсказание и реализация когерентной обработки) увеличение числа ветвей разнесения ведет к уменьшению средней

вероятности ошибки. Если параметры канала одинаковы по всем ветвям разнесения то из (4.71) следует

где

При односторонне-нормальном распределении из соотношения (4.65) следует

В области малых ошибок при выполнении неравенства интегрирование выражения (4.73) дает

Представляет интерес выяснить зависимость вероятности ошибки от числа ветвей разнесения и коэффициента эффективности использования мощности передатчика Для этого, ислользуя (4.72), определим отношение вероятностей ошибки при числе ветвей разнесения

Если

Поскольку формула (4.72) получена в предположении больших отношений сигнал/шум то при произвольных допустимых значениях параметров канала значение К, определяемое (4.76), меньше 1, т. е. рост числа

ветвей разнесения при всегда приводит к повышению помехоустойчивости. Если то, как следует из анализа выражения (4.75), при заданных значениях параметров величина лишь в тех случаях, когда число ветвей разнесения меныше некоторого порогового числа определяемого из уравнения

Увеличение числа ветвей сверх порогового ведет из-за нерационального распределения мощности передатчика между ветвями к потере помехоустойчивости.

На рис. 4.15 показаны зависимости как функции от при некоторых значениях параметров канала для двух значений параметра Из рисунка видно, например, что в рэлеевском канале при и при

Определим теперь значение для односторонне-нормального канала. Для этого, используя (4.74), определим отношение вероятностей ошибок при числе ветвей разнесения

Рис. 4.16

Рис. 4.16

Если

Для больших значений для которых только и справедлива (4.74), значение К, определяемое (4.78), меньше 1, т. е. рост числа ветвей разнесения при всегда приводит к повышению помехоустойчивости.

Если то, как следует из анализа (4.77), при заданных значениях параметров величина лишь в том случае, когда меньше некоторого порогового значения определяемого из уравнения

Увеличение числа ветвей разнесения сверх порогового ведет и Литере помехоустойчивости из-за ухудшения перераспределения мощности передатчика между ветвями.

На рис. 4.16 даны зависимости от при значениях Из рисунка видно, что в односторонним нормальном канале при при Определим в области больших отношений сигнал/шум энергетический выигрыш разнесенного приема по сравнению одинарным для случая, когда и корреляция между квадратурными компонентами сигнала в ветвях разнесения отсутствует В односторонне-нормальном канале в соответствен с (4,74)

В общем гауссовском канале (исключая случай односторонне нормального канала) этот выигрыш согласно

При энергетический выигрыш уменьшается в раз. Значения энергетического выигрыша в децибелах при рассчитанные по (4.37), (4.79) и (4.80) для различного числа ветвей разнесения и относительных интенсивностей сигналов в отдельных ветвях , даны в табл. 4.1.

Таблица 4.1 (см. скан) Из таблицы видно, как падает эффективность разнесения по мере улучшения канала.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда коэффициенты передачи лакала одинаковы во всех ветвях разнесения сигналы (отдельных ветвей полностью коррелированы Случайный параметр у считается постоянным на интервале анализа. В этом случае средняя вероятность ошибки

где

Выражение (4.81) совпадает с формулой для средней вероятности ошибки одиночного приема при соответствующей интерпретации параметра Таким образом, независимо от свойств канала, полной корреляции сигналов отдельных ветвей энергетический выигрыш от разнесения

где

Если помеха в канале некоррелирована по различным ветвям разнесения, то из (4.82) получается

Потерю эффективности разнесения, связанную с изменением величины от нуля до единицы, при заданных значениях параметров канала можно оценить коэффициентом

значения которого в децибелах при приведены в табл. 4.2.

Из таблицы видно, что коэффициент уменьшается по мере улучшения канала (ростом и сокращения числа ветвей разнесения.

Таблица 4.2 (см. скан) Среднюю вероятность ошибки при разнесенном приеме и негауссовских замираниях можно определить аналогично тому, как это сделано в разд. 2.9 при нахождении средней вероятности ошибки для случая медленных селективных замираний в однолучевом канале. Остаются в силе и сделанные там выводы об относительной помехоустойчивости при общих гауссовских и логнормальных замираниях в канале.