4.5. Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальном разнесенном приеме и точно известном сигнале

Согласно алгоритму приема (4.7) при вероятность ошибки (одинаковая при передаче любого символа) определяется вероятностью выполнения неравенства где

Здесь является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией Тогда вероятность ошибки

Формулу (4.33) можно представить в виде

Для некоррелированной по различным ветвям разнесения аддитивной помехи и вероятность ошибки

где

Результат (4.35) означает, что при оптимальном когерентном приеме и некоррелированной по отдельным ветвям разнесения аддитивной помехе результирующее отношение сигнал/помеха равно сумме отношений сигнал/помеха в каждой ветви.

Обозначим

Тогда вместо выражения (4.35) можно записать

Учитывая (4.1), имеем

При энергетический выигрыш от разнесения в идеальном канале

Знак равенства в (4.37) выполняется при

Если же то энергетический выигрыш от разнесения

может быть и меньше единицы. Так, если то и с ростом выигрыш увеличивается при и уменьшается при В этом случае помехоустойчивость связи ухудшается из-за неэффективного использования мощности передатчика в отдельной ветви разнесения в большей степени, чем улучшается в результате разнесенного приема. Если то разнесение в симметричном канале не дает никакого выигрыша.

Как видно из (4.37) и (4.38), разнесение может дать определенный энергетический выигрыш и за счет использования ветвей с относительно малыми (по сравнению с отношениями сигнал/помеха.

Для исследования зависимости вероятности ошибки от пространственных характеристик сигнала и помехи рассмотрим подробнее сдвоенный прием на разнесенные в пространстве точечные антенны при использовании двоичной системы сигналов для двух частных моделей аддитивного шума в канале.

А. Сосредоточенная помеха представляет собой однолучевой сигнал типа (1.17), пришедший с направления

где — средняя частота в спектре помехи и соответствующая ей длина волны; единичный безразмерный вектор, определяющий направление прихода помехи.

Корреляционная функция помехи (4.39) с учетом «белой» поненты определится соотношением [см. (1.80)]

где

Б. Корреляционная функция аддитивной помехи определяется моделью (1.78)

Случай А. Конкретизируем формулу (4.33) для случая приема двумя точечными антеннами, расположенными в точках и при использовании модели (4.39) в предположении -коррелированности квадратурных составляющих помехи Тогда корреляционная матрица аддитивной помехи представляется в виде

где отношение средних мощностей квазибелого шума и сосредоточенной помехи в анализируемых точках пространства. Предполагая, что разность фаз обусловленная кривизной фазового фронта волны, имеет симметричное распределение, можно записать

— коэффициент пространственной корреляции сосредоточенной помехи в точках где коэффициент пространственной корреляции двух точек на фронте волны помехи, лежащих на подлучах, приходящих соответственно в точки Тогда обратная корреляционная матрица определяется выражением

Для сигналов, определяемых моделью (2.48), вектор ожидаемого разностного сигнала

где — единичный безразмерный вектор, определяющий направление прихода сигналов; длина волны, соответствующая средней частоте в спектре сигналов. В рассматриваемом случае формула (4.33) принимает вид

Анализ (4.43) показывает, что если можно пренебречь флуктуационным шумом (волна помехи является

плоской), то возможна полная компенсация сосредоточенной помехи при условии

т. е. когда колебания помехи в точках наблюдения синфазы, а сигналы не синфазны или когда колебания помехи противофазны, а сигналы не противофазны. При этом возможно соответственно вычитание или сложение принимаемых в двух точках колебаний с надлежащими весами.

Если полная компенсация сосредоточенной помехи возможна при условии

т. е. когда колебания помехи в точках наблюдения синфазны, а сигналы не противофазны или когда колебания помехи противофазны, а сигналы не синфазны. В этих сингулярных случаях вероятность ошибки равна нулю.

При приеме поля одной антенной в точке согласно (2.44) вероятность ошибки определяется формулой

Сравнивая (4.43) и (4.48), видно, что энергетический выигрыш ПВ обработки в двух точках по сравнению с обработкой в одной точке

Можно показать, что энергетический выигрыш, определяемый (4.49), удовлетворяет неравенствам

Отсюда видно, что оптимальная ПВ обработка по двум точкам в любом несингулярном случае дает выигрыш по сравнению с оптимальной чисто временной обработкой в одной точке.

Из (4.49) следует, что если компонента флуктуационного шума отсутствует и волна помехи является плоской, то при выполнении одного из условий (4.44), (4.45) при или (4.46), (4.47) при энергетический выигрыш за счет пространственной обработки возможна полная компенсация сосредоточенной помехи.

В случае, когда в канале отсутствует сосредоточенная помеха, из (4.49) следует что соответствует когерентному накоплению в двух точках. Такой же результат получается и тогда, когда т. е. в этом случае эффективность сдвоенного приема такая, как в канале с чисто белым шумом.

На рис. 4.5-4.8 представлены графики зависимости энергетического выигрыша (4.49) от коэффициента корреляции при следующих значениях параметров:

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Рис. 4.7

Рис. 4.8

Эти параметры зависят от параметров канала, а также фазовых соотношений сигнала и помехи.

Можно видеть, что с ростом параметра (отношения интенсивностей флуктуационной и сосредоточенной помех) область значений энергетического выигрыша все более плотно группируется около значения

Случай Б. Рассмотрим теперь случай, когда осуществляется временная обработка принимаемого поля двумя антеннами в точках а корреляционная функция аддитивной помехи задана моделью (4.41). Тогда

где

Обратная корреляционная функция

С учетом (4.42) формула для вероятности ошибки - (4.33) принимает вид

Если или из (4.50) получаем

То есть, когда значения помехи в отдельных точках не коррелированы, вероятность ошибки не зависит от частоты и направления прихода принимаемой волны.

Если то из (4.50) следует

При вероятность ошибки (4.51) принимает минимальное значение

Иначе говоря, когда поле помехи коррелировано в точках наблюдения, вероятность ошибки будет минимальной в том случае, если сигнал в эти точки приходит в противофазе (это можно объяснить возможностью более шолной компенсации сосредоточенной помехи).

Учитывая, что при приеме поля в одной точке вероятность ошибки определяется равенством

получаем выражение для энергетического выигрыша ПВ обработки в двух точках пространства по сравнению с временной обработкой в одной точке

Если или то из (4.52) следует, что Это соответствует когерентному накоплению сигнала в двух точках при

некоррелированном в этих точках аддитивном шуме. Если то из (4.52)

Рис. 4.9 (см. скан)

Рис. 4.10 (см. скан)

Выигрыш (4.53) удовлетворяет неравенствам

Нижняя граница достигается, когда поле сигнала приходит в точки наблюдения в фазе Поскольку на практике то

Верхняя граница достигается при приходе сигнала в точки наблюдения в противофазе

Сопоставляя (4.53) и (4.49), можно видеть, что при равенстве коэффициентов корреляции помехи в двух моделях

Рис. 4.11 (см. скан)

Рис. 4.12 (см. скан)

энергетический выигрыш для лей помехи выражается одной и той же формулой, если а. удовлетворяет условию

Исследование выражения (4.53) показывает, что энергетический выигрыш монотонно зависит от стремясь к значению при и на него оказывает влияние знак величины: определяющий фазовое соотношение в отдельных точках антенны. Если параметр 60, то и с ростом выигрыш монотонно убывает. Если то зависимость энергетического выигрыша от вообще говоря, немонотонна и о» стремится к асимптотическому значению снизу.

На рис. 4.9-4.12 приведены зависимости определяемые формулой (4.53) при следующих значениях параметров:

Можно видеть, что с ростом параметра асимптотическое значение выигрыша, равное в случае заданного значения интервала корреляции достигается при меньших значениях расстояния между точками наблюдения х, а в случае заданного расстояния между точками наблюдения при больших: значениях интервала корреляции