3.8. Оценка вероятности ошибки двоичной системы при когерентном приеме в целом с поэлементным принятием решения

Оценим вверху вероятность ошибки для двоичной системы противоположных сигналов при приеме в делом с поэлементным принятием решения в условиях межсимвольной интерференции в канале и идеальной обратной связи по решению.

Обозначим через событие, заключающееся в появлении на выходеприемника последовательности символов при фиксированном наборе символов на передаче Общее число таких событий Вероятность указанного события может быть получена из рассмотрения двоичной задачи: событие, соответствующее регистрации выходной последовательности три альтернативе При приеме по алгоритму максимального правдоподобия на фоне гауссовского шума

где поле сигнала, соответствующее переданному символу первой позиции.

Для анализа удобно ввести следующие параметры:

где

Параметры и а характеризуют перекрытие посылок на приеме, зависящее от свойств канала и сигналов. Очевидно, и . С учетом введенных обозначений выражение (3.82) можно записать в виде

где

Вероятность ошибки три приеме в целом с поэлементным принятием решения может быть эффективно оценена сверху с помощью неравенства Буля

которое переходит в равенство, если события несовместны.

Верхняя граница вероятности ошибки при фиксированном наборе символов определится из с учетом (3.84) как

Усредняя (3.88) по получаем выражение для верхней границы вероятности ошибки рассматриваемого алгоритма (при условии, что канал симметричен по вероятности ошибки)

где символ усреднения по

В таком виде рверх можно определить практически для любых чисел Однако при большом числе взаимно перекрывающихся посылок расчеты целесообразно проводить с использованием ЭВМ.

Определим ртрх для считая символы 0 и 1 равновероятными на передаче. Получаем

где согласно (3.85)

Усреднение по дает

В случае, когда перекрытие посылок отсутствует, и что для реально достижимых значений соответствует помехоустойчивости, практически падающей с предельной, определяемой (3.59).

Кривые , построенные по (3.89) для некоторых значений приведены на рис. 3.7. Эти кривые показывают, что в широком диапазоне изменения значений помехоустойчивость рассматриваемого алгоритма при незначительно отличается от предельно достижимой помехоустойчивости приема в канале с памятью (см. рис. 3.7, пунктир), причем энергетический проигрыш на уровне составляет доли децибела.

Для рассмотрим случай канала связи с двумя разделяющимися лучами (рис. 3.8).

Рис. 3.8

В этом случае введенные параметры имеют значения:

функция определяется равенством

а точное выражение для верхней границы вероятности ошибки приобретает вид

Это выражение с достаточной для практических расчетов точностью можно заменить приближенной формулой

Кривые верхней границы вероятности ошибки в данном случае совпадают с кривыми рис. 3.7 для т. е. для рассматриваемого алгоритма при разделяющихся лучах увеличение шрактически не влечет за собой ухудшения помехоустойчивости.

Параметры используемые в данном рассмотрении, легко могут быть выражены через параметры модели канала связи в каждом конкретном случае. Если двухлучевая модель канала, изображенная на рис. 3.8, описывается соотношением (1.18), то введенные выше параметры для -коррелированного по пространству шума определяются выражениями:

Выражение для верхней границы вероятности ошибки (3.90) записывается в виде

Используя интегральное представление функции Крампа и считая равномерно распределенной на интервале определяем среднюю вероятность ошибки

В области больших отношений сигнал/шум, используя аппроксимации (2.108), (3.87) и интегрируя с учетом теоремы о среднем (2.81), получаем

где отношение квадратов амплитуд лучей.

Первое слагаемое в (3.91) определяет предельную помехоустойчивость приема в рассматриваемом канале [см. (3.64) при

Наличие второго слагаемого приводит к энергетическому проигрышу относительно этого предельного случая, несущественному при любых значениях

Усредняя выражение для вероятности ошибки, полученное для многолучевой модели, не только по фазам лучей, но и по их амплитудам, можно убедиться в том, что при всевозможных вариациях параметров модели верхняя граница вероятности ошибки незначительно отличается от (предельной помехоустойчивости.

Таким образом, можно сделать вывод, что при приеме в целом с поэлементным принятием решения в канале с произвольными четырехпараметрическими замираниями вероятность ошибки и полученные для нее верхняя нижняя границы в области больших отношений сигнал/шум незначительно отличаются друг от друга.