3.1. Алгоритмы оптимального приема в целом в каналах с межсимвольной интерференцией при точно известном сигнале

Пусть на интервале на вход модулятора передающего устройства последовательно поступают символов, которые образуют некоторую цепочку (вектор) и передаются по каналу связи с помощью сигнала где элементарный сигнал позиции, соответствующий символу цепочки; Сигнал на выходе канала при передаче цепочки символов где отклик канала на элементарный сигнал

Практически всегда можно считать, что как элементарный передаваемый сигнал, так и память канала ограничены во времени. Но тогда сигнал также финитен и имеет длительность, которую обозначим

Введем понятие относительной памяти канала [58], определив ее как целую часть величины

В месте приема анализируется аддитивная смесь сигнала и шума

на временном интервале и пространственной области

Алгоритм оптимального приема в целом цепочки символов

где - функция (нормированная) правдоподобия передачи цепочки символов; — вес, определяемый критерием оптимальности. В частности, при использовании критерия минимума средней вероятности ошибочного приема цепочки символов величина равна априорной вероятности передачи цепочки

При гауссовском шуме оптимальный алгоритм приема в целом (3.3) принимает вид

где

Следует подчеркнуть, что трудность реализации алгоритма (3.4) заключается не только в необходимости сравнения большого числа гипотез, но и в том, что для каналов с межсимвольной интерференцией величина имеет, как правило, различные значения пои разных Кроме того, ансамбль сигналов в большинстве случаев не является ортогональным, что существенно затрудняет оптимальную обработку и анализ помехоустойчивости.

Пои точно известном сигнале алгоритм (3.4) может быть реализован с помощью линейных схем (корреляционной техники или согласованной фильтрации), рассмотренных в гл. 2, однако ясно, что с увеличением числа символов цепочки сложность приемного устройства растет по показательному закону, поскольку число ожидаемых вариантов сигнала и сравниваемых гипотез равно где основание кода.

Передавая цепочки символов с защитным интервалом на передаче можно практически реализовать прием в целом блока символов в реальном масштабе времени (рис. 3.1), если решающий блок РБ сможет выполнить все необходимые операции для принятия решения об символах рабочего пакета за время

Рис. 3.1

Вариант модулирующего синхронного двоичного сигнала, используемого в системе связи с защитным интервалом и специальным испытательным (зондирующим) импульсом (соответствующим элементарному символу для изучения канала и предсказания его реакции на интервале анализа, показан на рис. 3.2. Защитный интервал может быть как активным, когда на этом интервале передатчиком излучаются сигнальные импульсы соответствующие символам с той же энергией, что и сигнал испытального ампульса, и пассивным, когда на защитном интервале (передатчик не излучает [58].

Рис. 3.2

На рис. 3.2, б показан передаваемый сигнал с модуляцией, фазы импульсов рабочего пакета (фаза соответствует символу «1», а символу при пассивном защитном интервале. На рисунке период следований

испытательных импульсов, который определяется скоростью изменения (времени корреляции) параметров канала. Рассматриваемую систему связи будем именовать системой СИИП с приемом в целом. Для надежного предсказания ожидаемых сигналов по реакции канала на испытательный импульс (т. е. на основе классифицированной выборки в месте приема) интервал следует выбрать таким, чтобы параметры канала изменялись на нем незначительно. Например, в системах радиосвязи декаметрового диапазона можно принять

Как видно из рис. 3.2, длина пакета рабочих импульсов Граб Скорость манипуляции (мгновенная скорость) Скорость передачи сообщений (информационная скорость) в системе СИИП . Таким образом, коэффициент замедления передачи, обусловленный зондированием канала,

При ограниченной памяти канала по мере увеличения числа импульсов рабочего пакета

Элементы передаваемых сигналов в системе с испытательным импульсом могут быть как простыми, так и сложными (с большой базой).

На рис. 3.2, в показан примерный вид принимаемого сигнала (без аддитивной помехи) в заданной точке пространства (после входного избирательного блока приемника), соответствующего передаваемому сигналу рис. в канале с памятью. Испытательный радиоимпульс соответствует одной заранее определенной позиции кода. Однако по анализу реакции канала на этот импульс на временном интервале в месте приема можно определить (предсказать) возможные реализации принимаемого сигнала при передаче любой из возможных цепочек символов.

Безусловный интерес представляет поиск таких процедур приема дискретных сообщений в целом, которые позволили бы упростить реализацию приемного устройства. Для источников с памятью (избыточное кодирование) и каналов без памяти предложено большое число таких процедур, основанных на использовании регулярных связей передаваемых символов [70, 128, 130]. Значительно труднее эти вопросы решаются для каналов с памятью. Известен, например, рекуррентный алгоритм Чанга и Ханкока [156], предполагающий последовательный прием цепочек

из символов вплоть до включения в анализируемую цепочку последнего из переданных символов с номером Этот алгоритм реализуется схемой, содержащей как линейные, так и нелинейные блоки; его сложность линейно возрастает с увеличением числа анализируемых символов Рассматриваемый приемник назван в литературе составным обнаружителем [1].

В оптимальном составном обнаружителе функция правдоподобия необходимая для принятия решения на интервале определяется путем взвешенного суммирования функций правдоподобия для всех возможных цепочек символов, существующих на интервалах внутри интервала Это требует сложных нелинейных блоков и знания весов отдельных цепочек и параметров канала (в том числе характеристик шума, даже белого), что существенно затрудняет реализацию составного обнаружителя.

Для реализации приема в целом в каналах с памятью представляет интерес нелинейный алгоритм Витерби, предложенный первоначально как метод последовательного декодирования сверточных кодов и затем приспособленный для приема цепочек символов в каналах с памятью [130]. Алгоритм Витерби использует идеи динамического программирования основан на представлении состояний канала в месте приема простой марковской цепью. Число этих состояний определяется памятью канала Решение по алгоритму Витерби сводится к получению оценки состояния марковского процесса в некоррелированном шуме. Этот алгоритм может быть использован и для поэлементного приема символов.

Очень заманчивой является такая модификация алгоритма (3.4), при которой перебор вариантов (гипотез) вообще не требуется а искомое решение определяется как некоторый векторный функционал от принятой смеси имеющий явное аналитическое представление. Рассмотрим один из построения таких (субоптимальных) алгоритмов для двоичной системы с противоположными сигналами в каналах со слабой межсимвольной интерференцией [63].

Полагая в запишем алгоритм максимального правдоподобия при точно известном сигнале

— квадратично-линейная форма от цепочки (вектора)

— ожидаемый сигнал при передаче цепочки символов сигнал, соответствующий передаче элементарного символа «1».

Алгоритм (3.5) можно рассматривать как алгоритм оценивания цепочки (вектора) на интервале анализа по правилу

где множество -мерных векторов с компонентами

Предъявим к искомому векторному функционалу следующие требования: 1) при отсутствии шума применение функционала к сигналу должно давать точные значения, соответствующие переданным символам, т. е. при отсутствии межсимвольной интерференции функционал должен давать оптимальное решение (оптимальную оценку набора символов), т. е. Тогда есть основания ожидать, что при слабой межсимвольной интерференции алгоритм будет близок к оптимальному.

Поставленным требованиям удовлетворяет алгоритм обработки, при котором задача различения дискретных величин согласно (3.7) заменяется задачей оценивания их как непрерывных параметров, а затем в качестве решения берется дискретное значение, ближайшее к непрерывной оценке (аналоговый демодулятор с дискретизацией решения). Это означает, что функционал (3.6) максимизируется в вещественном векторном пространстве а не по множеству и решение принимается по правилу

где по-прежнему определено (3.6).

Для синтеза алгоритма, т. е. искомого функционала в форме явного аналитического выражения, представим проведя несложные преобразования, в матричном виде:

где матрица функций корреляции системы сигналов с элементами

с — вектор с компонентами

Межсимвольная интерференция проявляется в отличии матрицы от диагональной.

Для определения максимума функционала (3.9) в вещественном векторном пространстве, т. е. по непрерывным нетрудно

получить явную формулу обычным методом поиска экстремума по нулям производной. Дифференцируя (3.9) по получаем уравнение

откуда, если матрица обратима,

Таким образом, искомый алгоритм

Обозначив обратную матрицу можно представить этот алгоритм в более наглядной форме:

Как видно из (3.14), при аппаратурной реализации рассматриваемый алгоритм сводится к вычислению корреляции принятой смеси с опорным сигналом (3.15) и определению знака полученной величины, т. е. сравнению ее с нулевым пороговым уровнем.

Покажем, что полученный алгоритм удовлетворяет двум требованиям, сформулированным выше. Для этого, умножив анализируемую смесь скалярно на представим вектор с в виде

где вектор имеет компоненты

Непосредственно из (3.16) и (3.17) видно, что при отсутствии шума т. е. требование 1 выполнено.

Для проверки второго требования представим функционал (3.9), соответствующий оптимальному алгоритму, с учетом (3.12) в виде

Последнее слагаемое в (3.18) от не зависит и, следовательно, на определение максимума (т. е. решения) не влияет.

Различающий функционал, соответствующий алгоритму (3.13),

где произвольная диагональная матрица с положительными элементами. Действительно, нетрудно убедиться, что любой вектор а, определяемый (3.13), одновременно удовлетворяет

При отсутствии межсимвольной интерференции матрица является диагональной и, следовательно, оптимальное решение

где определено (3.18), совпадает с (3.20), т. е. и требование 2 выполнено. При этом в при и алгоритм (3.14) принимает вид

который соответствует оптимальному алгоритму поэлементного принятия решения, рассмотренному в гл. 2.

Отметим, что в общем случае функционалы (3.18) и (3.19) существенно различны и их минимумы по могут не совпадать, т. е. решение (3.20) может отличаться от оптимального.

Возвращаясь оптимальному алгоритму приема в целом (3.5) [максимизации квадратично-линейного функционала (3.6) в дискретном пространстве по векторам с компонентами ±1] подчеркнем, что его реализация возможна на основе полного перебора всех возможных вариантов принимаемой цепочки символов. Однако в ряде случаев удается получить решение, близкое к оптимальному, на основе сокращенного перебора. Такой перебор наиболее эффективен, если он является направлением, т. е. изменения компонент производятся в направлении искомого экстремума.

Рассмотрим некоторые пути построения таких направленных алгоритмов [60]. Прежде всего определим понятия локального и глобального экстремумов в двоичном пространстве

Для элементов этого пространства введем операцию покомпонентного умножения (которая соответствует сложению по модулю 2 двоичных векторов с компонентами 0 и 1) , где

Двоичным градиентом некоторого функционала в точке назовем вектор

где единичные векторы.

Как видно из (3.22), вектор градиента составлен из приращений, которые приобретают функционал при инверсиях (двоичных сдвигах) по разным координатам. Отметим, что его компоненты, как и значения самого функционала могут быть произвольными вещественными (не обязательно двоичными) числами.

Точка глобального максимума функционала в пространстве это такая точка для которой при всех Точками локального максимума функционала в пространстве будем называть точки алок, в которых

Как видно из сравнения (3.23) и (3.22), точку локального максимума можно также определить как такую точку, в которой все компоненты вектора градиента отрицательны или равны нулю, Аналогично можно дать определения глобальному и локальному минимумам.

Известны градиентные методы поиска локального экстремума функционала в вещественном векторном пространстве [91]. К двоичному (пространству они, к сожалению, непосредственно не применимы, поскольку предусмотренные ими перемещения в направлении градиента в данном случае приводят выходу за пределы двоичного пространства.

Можно, однако, сохранив градиентный принцип поиска, модифицировать его применительно к двоичному пространству. Одним из возможных здесь алгоритмов является перемещение на каждом шаге в направлении наибольшей положительной компоненты градиента. Поиск начинается с некоторой исходной точки (цепочки символов) В ней вычисляется градиент, выявляется наибольшая положительная его компонента — пусть она имеет номер т. е. Тогда компонента комбинации меняется на обратную на или —1 на остальные сохраняются прежними. Тем самым осуществляется переход в точку . В этой точке поступаем точно так же. И так до тех пор, пока не будет получена некоторая точка (цепочка) в которой все компоненты градиента неположительны. Это и есть искомая точка локального максимума (непосредственно в силу введенного выше его определения).

При определении вектора градиента гможно непосредственно вычислять значения функционала в точке и соседних с ней по формуле (3.9) и затем определять приращения согласно (3.22). Однако путем некоторых несложных матричных преобразований можно вывести для вектора градиента функционала (3.9) более простое явное выражение, которое удобнее использовать в алгоритме поиска:

Как видно из (3.25), матрица это определенная (3.10)

корреляционная матрица, в которой диагональные элементы заменены нулями.

Описанный выше алгоритм поиска можно построить и так, чтобы операции пространственно-временной обработки и поиска экстремума были совмещены. В этом случае целесообразно сам градиент непосредственно не вычислять: вместо вычисления градиента на каждом шаге вычислять значения самого функционала в исходной точке и во всех соседних непосредственно по фориуле (3.9) и в качестве следующей выбрать точку, в которой он имеет наибольшее значение. При его реализации вычисления функционала можно вести и непосредственно по формуле (3.6).

Анализ показывает, что градиентный метод и метод поиска, совмещающий операции пространственно-временной обработки и лоиска экстремума, требуют при больших число операций, соответственно в раз меньшее, чем полный перебор всевозможных гипотез.

Таким образом, градиентные методы имеют существенное преимущество то числу операций в сравнении с полным перебором. Отметим и еще одно преимущество рассмотренных методов: при полном переборе заведомо необходимо получить все значений функционала и затем сравнить их между собой, при градиентных же методах лишь в самом неблагоприятном случае требуются все шагов, на каждом из которых вычисляется значений функционала.

Отмеченные преимущества имеют место как при реализации алгоритмов перебора в форме чисто цифровой обработки, так и в аналоговых системах. Различие между двоичными и обычными умножениями и сложениями при аналоговой обработке также существенно: первый тип операций осуществляется простейшими ключевыми элементами, а второй — требует более сложных элементов.

В заключение укажем на некоторые недостатки рассмотренных градиентных алгоритмов и вытекающие из них задачи дальнейшего исследования.

Описанные алгоритмы, так же как и известные градиентные методы, обеспечивают выявление лишь локального, а не глобального экстремума. Детальное математическое исследование показывает, что у нелинейного функционала вида (3.9) может быть, вообще говоря, несколько локальных максимумов в смысле определения (3.23), и из них лишь один совпадает с глобальным максимумом, дающим оптимальное решение о переданной комбинации. Этот недостаток частично может быть преодолен за счет выбора начальной точки (цепочки символов) поиска вблизи глобального экстремума. Поскольку задача оптимального приема имеет статистический смысл и любые ошибочные решения ухудшают качество связи лишь при достаточно частом их появлении, было бы также важно исследовать, насколько часто локальный максимум будет выявляться вместо глобального при случайном выборе начальной комбинации и насколько это увеличит

вероятность ошибки по сравнению с полным перебором. И, наконец, градиентный алгоритм будет давать точное совпадение с результатами полного перебора, если удастся установить, что для некоторых отдельных каналов связи функционал (3.9) имеет единственный локальный максимум, который совпадает с глобальным.

Заканчивая вопрос об алгоритмах приема в целом (цепочки из символов), отметим, что помимо оговоренных есть еще одна проблема, затрудняющая их использование при больших значениях величина задержки в принятии решения (о первом символе цепочки) Это обстоятельство особо существенно в «системах передачи данных, в которых для повышения качества используется канал с обратной связью. Они могут нормально функционировать лишь при ограниченных задержках поступления на передающую сторону информации о качестве передачи в прямом канале [97, 128].

3.2. Алгоритмы оптимального поэлементного приема в каналах с межсимвольной интерференцией при точно известном сигнале

Рассмотрим здесь только алгоритмы когерентного приема, представляющие для каналов передачи данных с межсимвольной интерференцией наибольший практический интерес.

Рассмотрении поэлементного приема будем полагать временной интервал анализа кратным величине тактового интервала т. е.

где фиксированная задержка вынесения решения об элементарном символе [1, 58].

Величина может в принципе быть как больше, так и меньше Работа с задержками в каналах с межсимвольной интерференцией упрощает реализацию алгоритма обработки сигнала, однако ведет к определенной потере помехоустойчивости за счет неполного использования эиергии рассеянного сигнала.

Если задержка то по сравнению со случаем помехоустойчивость передачи в принципе может быть улучшена, если последовательно передаваемые символы взаимокоррелированы и (или) в канале действует коррелированный аддитивный шум. Предельно возможная помехоустойчивость, естественно, достигается при если реализовать оптимальный прием в целом всей цепочки символов, переданных по каналу [1, 8, 58, 130]. Это приближает к условиям оптимального кодирования [146].

Если корреляцией во времени передаваемых символов и аддитивного шума в канале (на интервале Та) можно пренебречь,

то при и оптимальном поэлементном приеме достигается помехоустойчивость, которая мало отличается от предельно возможной [1, 8].

Оптимальный алгоритм поэлементного приема символов с фиксированной задержкой принятия решения можно записать в виде

где анализируемое колебание с элементом на тактовом интервале сдвинутом на I тактов относительно первого анализируемого элемента.

Для выявления реализуемых оптимальных поэлементных байесовских процедур принятия решения запишем (3.27) в виде

где функция (нормированная) правдоподобия передачи цепочки символов (содержащей символов до анализируемого символа символ символов после поел) — априорная вероятность передачи символов цепочки, следующих до и после суммирование (усреднение) ведется по всевозможным сочетаниям этих символов. Рекуррентная процедура приема, реализующая алгоритм (3.28), рассмотрена в [1]. Исследованный там приемник назван оптимальным последовательным обнаружителем. Он требует взвешенного суммирования большого числа функций правдоподобия его реализация осуществляется достаточно сложной нелинейной схемой и связана с множеством затруднений [124].

При наличии гауссовского шумового поля можно записать алгоритм приема (3.28) в виде

где принимаемое поле при передаче цепочки символов опорный сигнал, соответствующий Таким образом, в гауссовском случае нелинейная обработка, реализующая алгоритм оптимального приема, требует взвешенного суммирования экспоненциальных функций от корреляционных интегралов и знания энергетических отношений для всех вариантов

цепочек символов на интервале анализа Если все цепочки передаваемых символов равновероятны и то алгоритм (3.29) упрощается:

но все еще очень сложен для реализации. При чисто белом шуме в канале из (3.30) следует алгоритм

Подчеркнем, что реализация этого алгоритма требует знания спектральной плотности шума

Поэлементный алгоритм приема (3.28) или (3.29) предусматривает вынесение решения на основе сравнения усредненных нормированных функций правдоподобия с весами, пропорциональными априорным вероятностям передачи отдельных комбинаций цепочек символов. Это соответствует ситуации, когда шроизводится оценка параметра (здесь — номера дискретного символа) в условиях неклассифицированной выборки [78, 142]. Однако при вынесении решения о передаваемом символе на приеме при данном известны не только априорные, но и апостериорные вероятности (вероятности правильного приема цепочки символов ). Поэтому можно усовершенствовать алгоритм (3.28), используя в качестве весовых коэффициентов при образовании усредненной функции правдоподобия вместо априорных вероятностей передачи цепочек их апостериорные вероятности Считая ошибки при приеме цепочки символов и передаче цепочек символов (следующих после независимыми событиями, запишем новый алгоритм приема символов:

Алгоритм (3.31) соответствует случаю оценки параметра в условиях, когда выборка классифицирована но, возможно, с ошибками (неидеальная обратная связь по решению) [58, 78, 142]. Необходимость учета в качестве весовых коэффициентов апостериорных вероятностей (вероятностей правильного приема символов, предшествующих анализируемому), меняющихся, вообще говоря, с течением времени, усложняет реализацию алгоритма (3.31).

Однако в условиях достаточно надежной связи (которые и должны быть обеспечены в современных системах передачи дискретных сообщений) можно считать, что символы зафиксированные до анализируемого, действительно переданы, т. е. вероятность равна единице для одной определенной комбинации символов и нулю для всех остальных возможных комбинаций.

В этих условиях алгоритм (3.31) принимает вид

где — последовательность символов, зафиксированная приемником до анализируемой (которые здесь мграют роль оценок дискретных параметров).

Если обозначить сигнал, обусловленный на интервале анализа анализируемого информационного символа, цепочкой предшествовавших символов через («хвост» предшествующих посылок), то алгоритм (3.32) можно записать так:

При и равной априорной вероятности передачи различных цепочек кодовых символов (случай наиболее интересный в системах передачи данных) алгоритмы (3.28) и (3.33) можно соответственно записать так:

Подчеркнем, что алгоритмы (3.32), (3.33) или (3.34) соответствуют ситуации, при которой производится оценка дискретного параметра в условиях, когда анализируемая выборка классифицирована абсолютно надежно (идеальная обратная связь по решению [58]).

Алгоритм (3.34) реализуется предельно просто, если положить анализ во времени очередного символа вести на интервале что ведет естественно к учету только части энергии сигнала. В этом случае из (3.34) следует алгоритм приема

Для гауссовского шума из (3.35) следует алгоритм приема

где элемент длительностью реакции канала на элементарный передаваемый сигнал случае белого гауссовского шума алгоритм (3.36) принимает

становится инвариантным к характеристике шума (спектральной плотности Этот алгоритм в форме чисто временной обработки реализован в одном из вариантов системы СИИП [50, 58]. Будем алгоритм (3.36) в дальнейшем называть алгоритмом простейшего варианта ССИП.

На рис. 3.3 показана принципиальная схема реализации алгоритма (3.36) на основе корреляционной техники.

Рис. 3.3.

В блоках БИ и БФ формируются необходимые опорные сигналы опорные уровни и сигналы синхронизации. Важнейшая особенность схемы — наличие обратной связи по решению

(ОСР). При изучению канала посредством зондирующих посылок (по классифицированной выборке) ключ поочередно (подает входной сигнал то на блок БИ, то на РБ. Существует возможность (за счет использования ОСР) изучать канал (для образования необходимых для работы РБ опорных сигналов) и по рабочим посылкам [58] (по неклассифицированной выборке). В этом случае ключ не требуется.

Представляет несомненный практический интерес поиск приемных устройств (мрежде всего линейного типа), обеспечивающих помехоустойчивость, близкую к той, которая возможна при реализацию алгоритмов оптимального поэлементного приема (3.28) и (3.33).

Рассмотрим этот вопрос применительно к каналу с аддитивным гауссовским шумом. В этом случае алгоритм (3.28) можно записать в виде

где сигнал, обусловленный цепочкой символов, следующих до и после анализируемого, т. е. межсимвольной интерференцией.

Если параметры канала постоянны на интервале времени протяженностью то можно записать

В (3.38) первая сумма определяет на интервале анализа остаточное колебание от предшествующих посылок («хвосты»), в то время как вторая сумма определяет сигнал, обусловленный посылками, следующими за анализируемой («носы»).

Число реализаций сигнала по информационному параметру равно

Для класса сигналов, удовлетворяющих условию ортогональности т. е. [с учетом (3.38)] условию

что эквивалентно равенству нулю корреляционных и

взаимокорреляционных функций принимаемых сигналов в сечениях, кратных алгоритм (3.37) принимает известный вид:

и реализуется рассмотренной в § 2.1 линейной схемой.

К сожалению, при произвольной системной характеристике канала трудно найти ограничения на ансамбль канальных сигналов при которых удовлетворялись бы условия (3.39). В случае дискретной многолучевости канала «условию подавления межсимвольной помехи» удовлетворяют сигналы с большой базой, для которых выполняются требования «узости» корреляционных и взаимокорреляционных функций.

Заметим, что при использовании таких сигналов реализация оптимального алгоритма (3.40) отнюдь не требует специальной обработки с целью разделения лучей и последующего синфазного сложения (как это сделано, например, в широко известной системе «Рейк» [177]). Достаточно располагать лишь копией суммарной (по всем лучам) реакции канала на элементарный сигнал той или иной позиции.

Однако интересны прежде всего возможности линейного приема в каналах с рассеянием при использовании сигналов с малой базой. Для этого рассмотрим алгоритм поэлементного приема, реализующий обобщенный алгоритм максимального правдоподобия при анализе элемента сигнала на интервале и покажем в дальнейшем, что в области больших отношений сигнал/шум он несущественно уступает по помехоустойчивости оптимальному байесовскому алгоритму.