2.10. Вероятность ошибки при использовании многопозиционных сигналов

Нахождение вероятности ошибочного приема для многопозиционных (недвоичных) систем сигналов в общем случае затрудняется, так как теперь, имея в виду алгоритм (2.1) (или ему подобные), для нахождения вероятности (приходится анализировать совокупность из неравенств (число возможных ошибочных переходов).

Можно, однако, в области малых ошибок получить достаточно точную оценку сверху для вероятности

где вероятность ошибки для двоичной системы (двоичного перехода) в том же канале. Вероятность ошибки имеет место при использовании некоторой пары из сигналов. Оценка (2.86) следует из известного неравенства Буля: вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий общем случае совместных и неравновероятных), меньше или равна сумме вероятностей этих событий, Это неравенство переходит в равенство, если события попарно несовместны.

При (в области малых ошибок) вероятность того, что одновременно два или более неравенств, определяющих алгоритм (2.1), не будут выполнены, очень мала. В этом случае

Оптимальный приемник -позиционных ортогональных сигналов с активной паузой обеспечивает одинаковые вероятности двоичных переходов (канал симметричный), определяемых при формулой (2.40), а его полная вероятность ошибки

Из (2.87) не следует делать вывод о том, что -позиционная система при всегда хуже двоичной. При одинаковой скорости ввода информации в канал в обеих системах длительность -позиционного сигнала оказывается равной где длительность двоичного сигнала. От длительности зависит и энергия сигналов где средняя мощность принимаемого сигнала. Соответственно при фиксированном значении эквивалентной спектральной плотности шума и параметр оказывается в -позиционной системе в раз больше, чем в двоичной. Это увеличение при определенных условиях [128] с избытком компенсирует влияние множителя в (2.87).

Эквивалентная вероятность ошибки для канала с постоянными параметрами при кодировании без избыточности кодом с основанием определяется очень просто [128]:

где вероятность ошибочного приема символа в рассматриваемом канале.

Из (2.88) следует, например, что канал с эквивалентен по достоверности двоичному каналу с вероятностью ошибки

Поскольку с ростом эквивалентная вероятность ошибок уменьшается, может естественно возникнуть вопрос: почему большинство существующих систем передачи дискретных сообщений — это двоичные системы, значительно реже используется и совсем редко Это объясняется, во-первых, тем, что с

увеличением быстро возрастает сложность демодулятора — значительно быстрее, чем уменьшается вероятность ошибки. Во-вторых, в подавляющем числе случаев рост требует и соответствующего расширения занимаемой полосы частот в канале. Так, при использовании ортогональных сигналов для образования -позиционной системы сигналов требуется база сигнала Поэтому с ростом должна пропорционально возрастать база сигналов. Так как растет с ростом пропорционально то ширина спектра должна увеличиваться пропорционально что возможно лишь в достаточно широкополосных каналах.