2.12. Помехоустойчивость оптимального приема двоичных сигналов в общем гауссовском канале с неселективными замираниями

При осуществлении независимого приема символов по оптимальному алгоритму (2.26) вероятность правильного приема символа определяется вероятностью выполнения системы неравенств

где при условии, Когда передается символ позиции, то, обозначая имеем

В рассматриваемом канале величины (2.96) имеют нормальное распределение. Для случая приема двоичных сигналов запишем неравенство (2.95) в следующем виде:

где

— квадратичная форма от четырех гауссовских величин (вообще говоря, взаимокоррелированных) с неодинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Упомянутые гауссовские величины определяются соотношениями

Считая гауссовские квадратурные компоненты х, у некоррелированными и учитывая, что случайные величины также некоррелированы (в силу ортогональности сигналов, сопряженных по Гильберту) и распределены нормально с нулевыми средними и дисперсиями а у пар величин ковариации равны соответственно получаем, что случайные величины являются совместно гауссовскими с математическими ожиданиями

и ковариационной матрицей

где

Для определения вероятности ошибки необходимо прежде все найти плотность распределения квадратичной формы (2.98). Как показано в [89, 178], характеристическая функция квадратичной формы нормально распределенных величин определяется формулой

где - вектор математических ожиданий переменных определяемый (2.99); квадратная матрица ковариаций, определяемая (2.100); квадратная диагональная матрица размером 4X4 с элементами ±1, учитывающими

знак при в квадратичной форме. Для квадратичной формы (2.98)

После определения плотности вероятности величины через преобразование Фурье от (2.101) получаем вероятность ошибки для двоичной системы

В случае произвольных матриц интегрирование (2.102) затруднительно. Поэтому сначала рассмотрим решения для трех широко распространенных в радиосвязи частных случаев двоичных систем: для системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле (ЧМ, ОФМ), с противоположными сигналами (ФМ) и системы с пассивной паузой (AM).

Найдем сначала вероятность ошибки для системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле. В этом случае средние значения слагаемых в (2.99) будут следующими:

Матрица ковариаций случайных величин

В рассматриваемом случае и вместо неравенства (2.97) запишем где Ортогональность системы сигналов в усиленном смысле обеспечивает независимость и вероятность ошибки (в данном случае одинаковая при передаче любого символа)

Случайная величина имеет четырехпараметрическое распределение с параметрами

Случайная величина также распределена по четырехпараметрическому закону с параметрами

При асимметрии по ортогональным компонентам вероятность ошибки в общем случае не удается выразить через известные функции. В области малых ошибок для общего гауссовского канала при ограниченном можно получить приближенную формулу при

При симметрии канала по ортогональным компонентам следует

Это выражение приводится к виду [176, 178]

Подставляя значения получаем

Воспользовавшись асимптотиками (1.39) и

при (идеальный канал) из (2.107) можно вывести (2.92). В другом крайнем случае, когда (рэлеевский канал), учтя, что из (2.107) следует результат [128] . При отсутствии регулярной компоненты сигнала из (2.103) получается

Если не близко к нулю, то в области малых вероятностей ошибок выполняется условие

и интегрирование (2.109) дает при

По сравнению с рэлеевским каналом энергетический проигрыш Значения этого проигрыша [при для разных значений приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 (см. скан)

При (односторонне-нормальный канал) (2.109) приводит к результату

В области малых вероятностей ошибок

Из (2.106) и (2.79), а также (2.110) и (2.78) при видно, что когерентный прием при медленных замираниях обеспечивает по сравнению со случаем независимого приема отдельных элементов сигнала для любых параметров четырехпараметрической модели канала энергетический выигрыш

Зависимости при различных значениях параметров определяющие потенциальную помехоустойчивость двоичной условиях, когда прием осуществляется без учета корреляционных связей между посылками показана на рис. 2.9.

Переходим к анализу двоичной системы с противоположными сигналами При использовании этой системы вероятность ошибочного приема при условии, что , с учетам (2.97) определяется вероятностью выполнения неравенства

С учетом (2.96) запишем последнее неравенство в виде

где

Рис. 2.9

Легко видеть, что А является нормально распределенной случайной величиной с нулевым средним и дисперсией

Вероятность выполнения неравенства (2.111), т. е. вероятность ошибки,

При симметрии канала по ортогональным компонентам

т. е. в этом случае вероятность ошибки от фазы не зависит.

Если в канале нет регулярной компоненты с заранее известной фазой из (2.112) следует что вполне очевидно, так как система с противоположными сигналами не может работать в таком канале. При из (2.112) вытекает результат (2.42) для идеального канала.

Значения обеспечивающие экстремальные значения находятся из условия На интервале при вероятность ошибки (2.112) принимает минимальное значение при и максимальное при Это понятно, так как вероятность ошибки минимальна, если более сильно флутуирующая ортогональная компонента у (при всегда колеблется около нуля Максимальна же она в том случае, когда менее флуктуирующая компонента имеет нулевое математическое ожидание.

Когда т. е. ортогональная компонента по оси не флуктуирует,

При из (2.114) следует

В этих условиях по сравнению с идеальным каналом имеет место энергетический проигрыш При из (2.114) следует т. е. вероятность ошибки зависит только от свойств канала (параметра ).

Если отличные от нуля конечные числа, а из (2.112) следует

Это предельное значение вероятности ошибки определяется только параметрами канала (не зависит от отношения сигнал/помеха

При предельное значение вероятности ошибки максимально:

Заметим, что если одна из ортогональных компонент не флуктуирует то согласно

следовательно, повышая отношение сигнал/помеха, вероятность ошибки можно сделать достаточно малой.

Зависимости при различных значениях параметров характеризующие потенциальную помехоустойчивость двоичной в условиях, когда прием осуществляется без учета корреляционных связей между посылками показаны на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Из кривых видно, что в каналах с достаточно большим значением параметра (назовем такой канал почти идеальным) даже в условиях достаточно быстрых замираний можно обеспечить вероятность ошибки, не превышающую при относительно небольшом отношении сигнал/помеха

Коэффициент асимметрии в меньшей степени определяет помехоустойчивость рассматриваемой системы, чем параметр Уменьшение ведет к снижению помехоустойчивости, однако при наличии сильной асимметрии по ортогональным компонентам все же возможен качественный прием и в каналах, где Когда близко к нулю (подрэлеевский канал), рассматриваемая система (ФМ) при не в состоянии обеспечивать удовлетворительную связь.

Рассмотрим теперь двоичную систему с пассивной паузой (AM), полагая Вероятность ошибки при передаче «1» и приеме по алгоритму (2.97) определяется вероятностью выполнения неравенства

Случайная величина имеет четырехпараметрическое распределение параметрами (2.104). Следовательно,

Вероятность ошибки при передаче определяется вероятностью выполнения неравенства

Случайная величина имеет четырехпараметрическое распределение с параметрами (2.105). Следовательно,

(см. скан)

Средняя вероятность ошибки для двоичной системы с пассивной паузой

При и симметрии канала по ортогональным компонентам

При отсутствии регулярной компоненты из последнего соотношения следует [128]

а при (идеальный канал) результат [71]

В предельном односторонне-нормальном канале

Зависимости для различных значений параметров и случая определяющие потенциальную

помехоустойчивость двоичной AM при приеме без учета корреляции соседних элементов приведены на рис. 2.11.

Значения энергетического проигрыша при переходе от двоичной системы с противоположными сигналами (ФМ), оптимальной в идеальном канале к двоичной ЧМ и от двоичной ЧМ к двоичной AM в зависимости от параметров канала для случая, когда мальный прием осуществляется без учета корреляции элементов сигнала, приведены в табл. 2.5.

Из таблицы видно, как двоичная система с противоположными сигналами (ФМ) теряет свои качества по мере ухудшения канала (уменьшение сохраняя, однако, преимущество над сравниваемыми системами в почти идеальном канале

Рис. 2.11

Таблица 2.5 (см. скан)

В отличие от двоичной ФМ, двоичные ЧМ и AM, если отношение сигнал/помеха достаточно велико, обеспечивают удовлетворительную связь при любом сколь угодно малом значении Энергетический проигрыш при переходе от двоичной ЧМ к AM растет по мере уменьшения (по мере увеличения асимметрии канала по ортогональным компонентам), в предельном случае односторонне-нормального канала он примерно равен

Сравнение результатов данного параграфа и § 2.9 показывает, что для систем с активной паузой, ортогональных в усиленном

смысле, энергетический проигрыш при независимом и оптимальном приемах элементов сигнала по сравнению со случаем оптимального когерентного приема при медленных интерференционных замираниях в четырехпараметрическом канале равен 2 (3 дБ). С ростом этот проигрыш уменьшается, стремясь в пределе к нулю при Аналогичная тенденция характерна и для двоичной системы с пассивной паузой. В подрэлеевском канале для этой системы энергетический проигрыш несколько выше и составляет примерно

Влияние коэффициента корреляции сигнала на помехоустойчивость двоичной системы с противоположными сигналами (ФМ) при оптимальном когерентном приеме и различных значениях -параметров канала характеризуют показанные на рис. 2.12 зависимости для (сплошные линии) (пунктирные линии). Из сравнения кривых рисунка видно, что в каналах с сильно выраженной регулярной составляющей при величина коэффициента корреляции мало сказывается на значениях вероятности ошибки, превышающих . При меньших величина существенно влияет на помехоустойчивость связи.

Рис. 2.12

Так как радиоканалы с сильно выраженной регулярной составляющей встречаются на практике довольно часто, то двоичные системы радиосвязи с противоположными сигналами безусловно перспективны.

Покажем, теперь что ортогональная в усиленном смысле двоичная система сигналов в подрэлеевском канале оптимальна как при равных, так и при неравных энергиях сигналов. В таком канале характеристичесая функция (2.101) квадратичной формы для любой системы сигналов принимает вид

Рассмотрим далее рэлеевский и односторонне-нормальный каналы, для которых вероятность ошибки выражается достаточно просто.

В рэлеевском канале матрица ковариации (2.100) принимает вид

где

Используя теорему о вычетах [76] для вычисления интеграла в (2.102), можно показать, что в рэлеевском канале при произвольной двоичной системе сигналов вероятность ошибочного приема символа определяется формулой

где

Исследование показывает, что обсуждаемый канал в общем случае несимметричен Средняя вероятность ошибки

Как показывает анализ приведенного выражения, значение минимизирующее вероятность ошибки (2.120), определяется совокупностью параметров Возможны, однако, условия, при которых оптимальное значение не зависит от отношений сигнал/помеха.

Так, для системы с активной паузой при

— и вероятность ошибки определяется формула

Из (2.121) следует, что вероятность ошибки достигает минимуму когда а принимает максимальное возможное значение когда

иначе говоря, выполнены условия ортогональности двоичной системы в усиленном смысле. В этом случае вероятность ошибки в рассматриваемом канале принимает в соответствии с (2.122) минимально возможное значение [128]

Рассмотрим более подробно соотношения, характеризующие рэлеевский канал при условии, что

В этом случае

я вероятность ошибки

Если

Из этой формулы видно, что и для системы с неравными энергиями обоих сигналов в рэлеевском канале вероятность ошибки минимальна при выполнении условий ортогональности в усиленном смысле

Для системы с активной паузой из (2.124).

Минимально возможное значение (2.125) соответствует условию ортогональности в усиленном смысле:

Следовательно, в рэлеевском канале энергетический проигрыш перехода от оптимальной (ортогональной в усиленном смысле) двоичной системы с активной паузой к двоичной системе с активной паузой, не удовлетворяющей условию ортогональности в усиленном смысле,

В односторонне-нормальнои. канале для произвольной двоичной системы с активной паузой

Для системы с противоположными сигналами (ФМ), когда вероятность ошибки прием таких сигналов невозможен.

В области малых ошибок при выполнении условий (2.123)

Анализ показывает, что величины (2.127) или (2.128) достигают минимума, равного — при условии

Следовательно, в односторонне-нормальном канале энергетический проигрыш перехода от оптимальной (ортогональной в усиленном амысле) двоичной системы с активной паузой к двоичной системе с активной паузой, не удовлетворяющей условию оргото-нальности,

При замене на не отличается от (2.126). Заметим, что, если вместо условия (2.129) выполнено более жесткое условие ортогональности в усиленном смысле (2.122), система является оптимальной в односторонне-нормальном канале независимо от того, какая из ортогональных компонент обращается в нуль. С учетом этого можно утверждать, что условия (2.122) обеспечивают оптимальность двоичной системы и в более общем подрэлеевском канале.

Значения энергетического проигрыша, выраженного в децибелах, перехода от оптимальной системы с активной паузой к неоптимальной системе в односторонне-нормальном канале в зависимости от параметра — или в рэлеевском канале в зависимости от параметра приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6 (см. скан)

Из таблицы видно, что энергетический проигрыш, связанный с нарушением условий оптимальности системы сигналов в подрэлеевском канале, невелик, если только не близко к единице. Так, если

Анализ показывает, что в каналах с небольшим значением (почти рэлеевскиё каналы) ортогональная в усиленном смысле

система еще остается оптимальной, однако при больших значениях этого параметра почти идеальный канал) оптимальной двоичной системой является система противоположных сигналов . В предельном случае идеального канала переход от оптимальной ичной системы (ФМ) к системе сигналов с активной паузой, характериэуемой коэффициентом взаимной корреляции ведет к энергетическому проигрышу

Этот проигрыш при различных значениях — меняющихся от 0 (ортогональная система) до 1 (оптимальная система), также указан в табл. 2.6. Характерно, что в то время как в исследуемой области изменения не превышает значения изменяются в более широких пределах. Из сказанного следует, что, если бы пришлось выбирать систему сигналов для канала, параметр которого может меняться от нуля в широких пределах, следовало бы отдать предпочтение системе, ортогональной в усиленном смысле. Однако в реальных условиях работы многих каналов радиосвязи параметр с большой вероятностью принимает, значения а в этих условиях предпочтение следует отдать системе с противоположными сигналами

Вероятность ошибки оптимального приема в райсовском канале при гладких замираниях и независимом приеме символов найдена для произвольных систем с активной паузой в [178] и определяется выражением

где

Исследуя (2.131), можно показать [59], что коэффициент взаимной корреляции при наличии регулярной составляющей в канале имеет два оптимальных значения (минимизирующих вероятность ошибки): При отсутствии регулярной, составляющей имеется одно такое значение: Указанная ситуация сохраняется и в канале с асимметрией по ортогональным составляющим.

Проведенное исследование позволяет утверждать, что в канале с гладкими замираниями при наличии регулярнбй составляющей до определенных пороговых значений отношения сигнал/шум оптимальна система с противоположными сигналами, а при больших значениях, отношения сигнал/шум, когда система с противоположными сигналами характеризуется предельной вероятностью ошибки, система ортогональных сигналов. Это подтверждают и кривые вероятностей ошибок, приведенные в [59, 178]