4.9. Помехоустойчивость оптимального приема в общем гауссовском канале с неселективными замираниями

Ограничимся случаем независимых во всех ветвях разнесения замираний при некоррелированной по различным ветвям аддитивной Помехе. При использовании оптимального алгоритма (4.21) вероятность правильного приема символа определяется вероятностью выполнения системы неравенств

где при условии, что

Когда передается символ позиции,

где

Все величины, определенные (4.93), являются гауссовскими. Систему неравенств (4.92) запишем в виде

где

— квадратичная форма от гауссовских случайных величин:

Гауссовские квадратурные компоненты считаются независимыми, а случайные величины взаимонекоррелированными; имеют нулевые математические ожидания и дисперсии, равные Корреляция случайных величин равна и равна и равна равна Тогда случайные величины являются совместно гауссовадшми с вектором математических ожиданий

где

и корреляционной матрицей

Составляющими прямой суммы (4.96) являются матрицы

элементы которых определяются следующими выражениями:

Характеристическая функция квадратичной формы (4.95) определяется которой диагональная матрица, элементами которой являются коэффициенты квадратичной формы (4.95):

где

Вероятность ошибки для двоичных систем в соответствии с

В общем виде проинтегрировать (4.98) затруднительно. Поэтому расомотрим лишь некоторые, часто встречающиеся на практике и поэтому вызывающие особый интерес, системы сигналов.

Двоичная система с активной паузой, ортогональная в усиленном смысле. Для двоичной ортогональной в усиленном смысле системы с активной паузой удовлетворяющей условиям неравенство (4.94) можно записать в виде где причем гауссовские величины Он, взаимно некоррелированны.

Будем считать, что канал симметричен по всем ветвям разнесения и по дисперсиям квадратурных компонент (райсовские замирания). Тогда дисперсии всех компонент 0, определяющих квадратичную форму одинаковы и в соответствии с (4.97) равны Диоперсии всех компонент 0, определяющих квадратичную форму также одинаковы и согласно (4.97) равны

Плотность вероятности квадратичной формы (нецентральное симметричное -распределение) определяется выражением [136]

где

Для плотности вероятности квадратичной формы справедлива аналогичная формула

где

Вероятность ошибочного приема символа (в данном случае канал симметричен по вероятности ошибочного перехода)

Внутренний интеграл вычислим путем разложения модифицированной функции Бесселя в ряд [29] вида

Имеем

(см. скан)

Подставляя (4.100) в (4.99), после интегрирования с использованием табличного интеграла [29]

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Из (4.102) для больших значений

Из сопоставления (4.104) при с (4.72) при видно, что энергетический проигрыш оптимального независимого приема символов в райсовоком канале (с симметрией по ветвям разнесения) по сравнению с оптимальным когерентным приемом равен и не зависит от числа ветвей разнесения.

При симметрии канала по ортогональным компонентам и (рэлеевское распределение амплитуд) при наличии асимметрии ветвей разнесения

(см. скан)

Интегрирование (4.99) дает

При сдвоенном приеме из этого соотношения следует (3.118).

Исследуем теперь помехоустойчивость двоичной системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле, при независимом приеме элементов сигнала в односторонне-нормальном канале, симметричном по всем ветвям разнесения Для этого случая плотности вероятностей квадратичных форм имеют вид:

После вычисления внутреннего интеграла в (4 99) получаем выражение для вероятности ошибки

где — неполная гамма-функция. Интегрируя получаем

В области малых ошибок следует асимптотическая формула

Сопоставляя (4.105) с (4,74) при находим энергетический проигрыш по отношению к оптимальному когерентному приему в односторонне-нормальном канале

Двоичная система с противоположными сигналами. Для двоичной системы с противоположными сигналами вероятность ошибочного приема по алгоритму (4.92) определяется вероятностью выполнения неравенства

С учетом (4.93) запишем последнее неравенство в виде где

Случайная величина А является гауссовской с нулевым средним и дисперсией

Вероятность выполнения неравенства (4.106), т. е. вероятность ошибки для системы противоположных сигналов,

где

Если канал одинаков по всем ветвям разнесения то

Для райсовского канала (симметрия по ортогональным компонентам) вероятность ошибки и зависит от При получаем выражение для (предельной (несократимой) вероятности ошибки в райсовском канале

Для случая, когда в канале нет регулярной компоненты из (4.107) следует Это означает, что в таком канале система с щротивоположными сигналами неработоспособна. При из (4.108) следует результат для разнесенного приема в симметричном по всем ветвям идеальном канале

Из (4.110) видно, что в рассматриваемом канале энергетический выигрыш от разнесения равен числу ветвей разнесения

В канале, в котором одна из квадратурных компонент не флуктуирует из (4.108) получаем

Если , то из (4.111) имеет

Из (4.112) при получаем выражение для предельной вероятности ошибки

Сравнивая (4.113) и (4.109), видим, что в рассматриваемом канале по сравнению с симметричным одна и та же предельная роятность ошибки обеспечивается при удвоении параметра

При

Отсюда, если учесть (2.115), видно, что в рассматриваемом канале выигрыш от разнесения равен числу ветвей разнесения Если конечно, то из (4.108)

т. е. предельная вероятность ошибки [как это видно из (4.114) и (2.116)] при разнесенном (приеме по одинаковым ветвям соответствует в раз меньшему, чем при одиночном приеме, значению параметра