1.7. Корреляционные характеристики сигналов

Вид алгоритма оптимального приема, а также качественные показатели системы передачи дискретных сообщений существенно зависят от характеристики

которую будем называть взаимокорреляционной функцией позиции комплексного опорного сигнала и комплексного принимаемого поля, соответствующего позиции, где временной сдвиг между ними, обусловленный несогласованностью во времени.

Функция является мерой «различия» (или «близости») сигналов с индексами Если в ансамбль сигналов включить и все реализации помехи в канале, то эта функция определит также меру «различия» («близости») между сигналом и помехой, а также между отдельными реализациями помехи. Такая характеристика различимости сигнала и помехи использована в ряде работ, например [111, 121, 128].

При выводе последних формул учтены соотношения, следующие из равенства Парсеваля:

Функции будем называть соответственно функцией взаимной корреляции принимаемых сигналов и функцией взаимной корреляции сопряженных сигналов в месте приема. Первая из них определяет свойства оптимального когерентного приема, в то время как для характеристики оптимального приема при неопределенной фазе сигнала (некогерентный прием) требуется знание только модуля (огибающей) комплексной функции корреляции

Комплексный опорный сигнал, используемый в схемах оптимального когерентного приема (см. ниже)

где функция, являющаяся решением интегрального уравнения

где корреляционная функция аддитивной помехи. Поскольку корреляционная функция может быть разложена в билинейный ряд по своим собственным функциям [19, 34, 78]

где собственные числа, то решение интегрального уравнения (1.52) можно записать в виде

В том случае, когда помеха является суммой двух частей — сосредоточенной и флуктуационной, некоррелированных между собой, разлагая корреляционную функцию сосредоточенной части помехи в ряд (1.53), получаем

где собственные числа и собственные функции, соответствующие Поскольку корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью для любого ортонормированного базиса представима в виде [78]

(все собственные числа одинаковы и равны N), то

и

С учетом (1.51) функцию будем также называть взвешенной [с весом комплексной взаимокорреляционной

функцией двух реализаций комплексных сигналов в месте приема Выражение (1.51) можно записать в виде

где

Предполагай весовую функцию однородной, т. е. можно показать, что и связаны между собой парой преобразований Гильберта. Ансамбли сигналов, для которых

будем называть ортогональными в месте приема при произвольных временных сдвигах Если выполняется условие то будем говорить об ортогональной системе сигналов в месте приема.

Если в (1-47) то будем называть корреляционной функцией принимаемых комплексных сигналов. Фактически можно говорить лишь о приближенном выполнении условия (1.59), так как его строгое выполнение возможно лишь при использовании сигналов, спектры которых нигде не перекрываются, что неосуществимо. На практике условия (1.59) часто выполняются при любых лишь при значениях

В этом случае будем говорить, что при несовпадении индексов выполняется условие узости для взаимокорреляционной функции, а при совпадении индексов — условие узости корреляционных функций.

Введем нормированные корреляционные функции при

где

— энергетическое отношение (сигнал/помеха) для сигнала в месте приема. Можно показать, что Следовательно, нормированная корреляционная функция (1.61) удовлетворяет условию Аналогично можно показать, что такому же условию удовлетворяет и нормированная функция корреляции сопряженных принимаемых сигналов

При неопределенной фазе сигнала в некоторых случаях свойства приемника характеризуются огибающей (1.50) и соответственно нормированной огибающей

Назовем систему принимаемых сигналов, для которой

ортогональной в усиленном смысле при произвольных временных сдвигах

Очень часто мы имеем дело с системой сигналов, удовлетворяющих условию которую будем, пользуясь терминологией [128], называть ортогональной в усиленном смысле (в месте приема).

На практике условия (1.64) обычно выполняются лишь в границах (1.60).

Аналогично введенным характеристикам принимаемых сигналов можно ввести взвешенные корреляционные и взаимокорреляционные характеристики передаваемых сигналов:

а также нормированные корреляционные функции при

и их огибающие.

Корреляционные характеристики принимаемых сигналов в значительной степени определяются корреляционными свойствами передаваемых сигналов. Так, для многолучевой скалярной модели канала (1.18), лучи которого представляют собой плоские волны при факторизации обратной корреляционной функции аддитивной помехи по пространственным и временным аргументам ортогональность принимаемых сигналов при любых временных сдвигах для произвольных

фазовых соотношений лучей возможна в том случае, если передаваемые сигналы ортогональны в усиленном смысле при любом временном сдвиге с весом, равным временной обратной корреляционной функции помехи

Это условие обеспечивает также ортогональность принимаемых сигналов в усиленном смысле при произвольных сдвигах во времени.

При определенном фазировании в канале для обычной ортогональности принимаемых сигналов достаточна ортогональность передаваемых сигналов (с тем же весом).

Для однолучевого канала ортогональность и ортогональность в усиленном смысле принимаемых сигналов при любых временных сдвигах эквивалентны соответственно ортогональности и ортогональности в усиленном смысле при любых временных сдвигах передаваемых сигналов с весом

Для узкополосных передаваемых и принимаемых сигналов ортогональность в усиленном смысле при произвольных ненулевых сдвигах равносильна обычной ортогональности при любых сдвигах. Однако для таких сигналов ортгональность в усиленном смысле (при ) не эквивалентна обычной ортогональности.