§ 6. Четырехмерные векторы

Совокупность координат события (ct, х, у, z) можно рассматривать как компоненты четырехмерного радиус-вектора (или, как мы будем говорить для краткости, 4-радиус-вектора) в четырехмерном пространстве. Его компоненты мы будем обозначать через , где индекс i пробегает значения 0, 1, 2, 3, причем

Квадрат «длины» 4-радиус-вектора дается выражением

Он не меняется при любых поворотах четырехмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.

Вообще четырехмерным вектором (-вектором) называется совокупность четырех величин которые при преобразованиях четырехмерной системы координат преобразуются как компоненты -радиус-вектора При преобразовании Лоренца

Квадрат величины всякого 4-вектора определяется аналогично квадрату 4-радиус-вектора:

Для удобства записи подобных выражений вводят два «сорта» компонент 4-векторов, обозначая их буквами с индексами сверху и снизу. При этом

Величины называют коптравариантными, a — ковариантными компонентами 4-вектора. Квадрат 4-вектора представится тогда в виде

Такие суммы принято записывать просто как опуская знак суммирования. Вообще принимается правило, согласно которому по всякому индексу, повторяющемуся в данном выражении дважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. При этом в каждой паре одинаковых индексов один должен стоять наверху, а другой внизу. Такой способ обозначения суммирования по, как говорят, немым индексам, очень удобен и значительно упрощает запись формул.

В этой книге мы будем обозначать четырехмерные индексы, пробегающие значения 0, 1, 2, 3, латинскими буквами t, k, l,...

Аналогично квадрату 4-вектора составляется скалярное произведение двух разных 4-векторов:

При этом, очевидно, его можно записать как в виде так и в виде — результат от этого не меняется. Вообще во всякой паре немых индексов всегда можно переставлять верхний и нижний индексы.

Произведение - является 4-скаляром — оно инвариантна по отношению к поворотам четырехмерной системы координат. Это обстоятельство легко проверить непосредственно, но оно и заранее очевидно (по аналогии с квадратом ) из что все 4-векторы преобразуются по одинаковому закону.

Компоненту 4-вектора называют временной, а компоненты — пространственными (по аналогии с 4-радиус-вектором). Квадрат 4-вектора может быть положительным, отрицательным или равным нулю; в этих трех случаях говорят соответственно о времениподобных, пространственноподобных и нулевых 4-векторах (снова по аналогии с терминологией для интервалов).

По отношению к чисто пространственным поворотам (т. е. преобразованиям, не затрагивающим оси времени) три пространственные компоненты 4-вектора составляют трехмерный вектор А. Временная же компонента 4-вектора представляет собой (по отношению к тем же преобразованиям) трехмерный скаляр. Перечисляя компоненты 4-вектора, мы часто будем записывать их как

При этом ковариантные компоненты того же 4-вектора: а квадрат 4-вектора: Так, для 4-радиус-вектора:

У трехмерных векторов (в координатах нет, конечно, необходимости различать контра- и ковариантные компоненты. Везде (где это не сможет привести к недоразумениям) мы будем писать их компоненты у, z) с индексами внизу, обозначая эти индексы греческими буквами. В частности, по дважды повторяющимся греческим индексам будет подразумеваться суммирование по трем значениям х, у, z (например, ).

Четырехмерным тензором (-тензором) 2-го ранга называется совокупность 16 величин которые при преобразовании координат преобразуются как произведения компонент двух 4-векторов. Аналогичным образом определяются и 4-тензоры высших рангов.

Компоненты 4-тензора 2-го ранга могут быть представлены в трех видах: как контравариантные ковариантные и смешанные (в последнем случае надо, вообще говоря, различать т. е. следить за тем, какой именно — первый или второй — индекс стоит вверху, а какой внизу). Связь между различными видами компонент определяется по общему правилу: поднятие или опускание временного индекса (0) не меняет, а поднятие или опускание пространственного индекса (1, 2, 3) меняет знак компоненты. Так:

По отношению к чисто пространственным преобразованиям девять компонент составляют трехмерный тензор. Три компоненты и три компоненты составляют трехмерные векторы, а компонента является трехмерным скаляром.

Тензор называется симметричным, если и антисимметричным, если антисимметричного тензора все диагональные компоненты (т. е. компоненты ) равны нулю, так как, например, должно быть симметричного тензора смешанные компоненты очевидно, совпадают; мы будем писать в таких случаях просто располагая индексы один над другим.

Во всяком тензорном равенстве выражения с обеих его сторон должны содержать одинаковые и одинаково расположенные (вверху или внизу) свободные, т. е. не немые, индексы. Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать (вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра- и ковариантных компонент различных тензоров «незаконно»; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе.

Из компонент тензора можно образовать скаляр путем образования суммы

(при этом, конечно, ). Такую сумму называют следом тензора, а об операции его образования говорят как о свертывании или упрощении тензора.

Операцией свертывания является и рассмотренное выше образование скалярного произведения двух 4-векторов: это есть образование скаляра - из тензора . Вообще всякое свертывание по паре индексов понижает ранг тензора на 2. Например, есть тензор ранга, -вектор, , — скаляр и т. д.

Единичным 4-тензором называется тензор для которого имеет место равенство

при любом 4-векторе . Очевидно, что компоненты этого тензора равны

Его след:

Поднимая у тензора 6 один или опуская другой индекс, мы получим контра- или ковариантный тензор, который обозначают как или и называют метрическим тензором.

Тензоры имеют одинаковые компоненты, которые можно представить в виде таблицы:

(индекс нумерует строки, а индекс k — столбцы в порядке значений 0, 1, 2, 3). Очевидно, что

Скалярное произведение двух 4-векторов можно поэтому записать в виде

Тензоры исключительны в том отношении, что их компоненты одинаковы во всех системах координат. Таким же свойством обладает и совершенно антисимметричный единичный 4-тензор четвертого ранга . Так называется тензор, компоненты которого меняют знак при перестановке любых двух индексов, причем отличные от нуля компоненты равны ±1. Из антисимметричности следует, что все компоненты этого тензора, у которых хотя бы два индекса совпадают, равны нулю, так что отличны от нуля лишь те, у которых все четыре индекса различны. Положим

(при этом Тогда все отличные от нуля компоненты равны - или —1, смотря по тому, четным или нечетным числом перестановок (транспозиций) могут быть приведены числа к последовательности 0, 1, 2, 3. Число таких компонент равно . Поэтому

По отношению к поворотам системы координат величины ведут себя как компоненты тензора; однако при изменении знака у одной или трех координат компоненты будучи определены одинаково для всех систем координат, не изменяются, в то время как компоненты тензора должны были бы изменить знак. Поэтому есть, собственно говоря, не тензор, а, как говорят, псевдотензор. Псевдотензоры любого ранга, в частности псевдоскаляры, ведут себя как тензоры при всех преобразованиях координат, за исключением тех, которые не могут быть сведены к поворотам, т. е. за исключением отражений изменений знаков координат, не сводимых к вращениям.

Произведения образуют 4-тензор 8-го ранга, причем уже тензор истинный; упрощением по одной или нескольким парам индексов из него получаются тензоры 6-го, 4-го и 2-го рангов. Все эти тензоры имеют одинаковый вид во всех координатных системах. Поэтому их компоненты должны выражаться в виде комбинаций произведений компонент единичного тензора — единственного истинного тензора, компоненты которого во всех системах одинаковы. Эти комбинации легко составить, исходя из свойств симметрии по отношению к перестановкам индексов, которыми они должны обладать.

Если — антисимметричный тензор, то тензор и псевдотензор называются дуальными друг другу. Аналогично есть антисимметричный псевдотензор 3-го ранга, дуальный вектору Произведение дуальных тензоров есть, очевидно, псевдоскаляр.

В связи со сказанным напомним некоторые аналогичные свойства трехмерных векторов и тензоров. Совершенно антисимметричным единичным псевдотензором ранга называется совокупность величин меняющих знак при перестановке любых двух индексов. Отличны от нуля лишь компоненты с тремя различными индексами. При этом полагаем остальные же равны 1 или —1, смотря по тому, четным или нечетным числом транспозиций можно привести последовательность к последовательности .

Произведения составляют истинный трехмерный тензор 6-го ранга и потому выражаются в виде комбинаций произведений компонент единичного трехмерного тензора бар!).

При отражении системы координат, т. е. при изменении знака всех координат, компоненты обычного трехмерного вектора тоже меняют знак. Такие векторы называют полярными. Компоненты же вектора, который может быть представлен как векторное произведение двух полярных векторов, при отражении не меняют знак. Такие векторы называются аксиальными. Скалярное произведение полярного и аксиального векторов является не истинным, а псевдоскаляром: при отражении координат оно меняет знак. Аксиальный вектор является псевдовектором, дуальным антисимметричному тензору. Так, если , то

Вернемся к 4-тензорам. Пространственные компоненты антисимметричного 4-тензора составляют по отношению к чисто пространственным преобразованиям трехмерный антисимметричный тензор; согласно сказанному выше его компоненты выражаются через компоненты трехмерного аксиального вектора. Компоненты же составляют, по отношению к тем же преобразованиям, трехмерный полярный вектор. Таким образом, компоненты антисимметричного 4-тензора можно представить в виде таблицы:

причем по отношению к пространственным преобразованиям — полярный и аксиальный векторы. Перечисляя компоненты антисимметричного 4-тензора, мы будем записывать их в виде

тогда ковариантные компоненты того же тензора

Остановимся, наконец, на некоторых дифференциальных и интегральных операциях четырехмерного тензорного анализа.

4-градиент скаляра есть 4-вектор

При этом необходимо иметь в виду, что написанные производные должны рассматриваться как ковариантные компоненты 4-вектора. Действительно, дифференциал скаляра

тоже есть скаляр; из его вида (скалярное произведение двух 4-векторов) и очевидно сделанное утверждение.

Вообще операторы дифференцирования по координатам должны рассматриваться как ковариантные компоненты операторного 4-вектора. Поэтому, например, является скаляром дивергенция 4-вектора — выражение , в котором дифференцируются контравариантные компоненты

В трехмерном пространстве интегрирование может производиться по объему, по поверхности и по кривой. В четырехмерном пространстве соответственно возможны четыре рода интегрирований.

1) Интеграл по кривой в 4-пространстве. Элементом интегрирования является элемент длины, т. е. 4-вектор .

2) Интеграл по поверхности (двумерной) в 4-пространстве. Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух векторах на координатные плоскости равны . Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости. В трехмерном пространстве, как известно, вместо тензора в качестве элемента поверхности используется вектор дуальный тензору . Геометрически это есть вектор, нормальный к элементу поверхности и по абсолютной величине равный площади этого элемента. В четырехмерном пространстве такого вектора построить нельзя, но можно построить тензор дуальный тензору , т. е.

Геометрически он изображает элемент поверхности, равный и «нормальный» элементу все лежащие на нем отрезки ортогональны ко всем отрезкам на элементе . Очевидно, что

3) Интеграл по гиперповерхности, т. е. по трехмерному многообразию. В трехмерном пространстве объем параллелепипеда, построенного на трех векторах, равен, как известно, определителю третьего порядка, составленному из компонент этих векторов. В 4-пространстве аналогичным образом выражаются проекции объема «параллелепипеда» (т. е. «площади» гиперповерхности), построенного на трех 4-векторах они даются определителями

составляющими тензор 3-ранга, антисимметричный по трем индексам. В качестве элемента интегрирования по гиперповерхности удобнее пользоваться 4-вектором дуальным тензору

При этом

Геометрически — 4-вектор, по величине равный «площади» элемента гиперповерхности и по направлению нормальный к этому элементу (т. е. перпендикулярный ко всем прямым, проведенным в элементе гиперповерхности).

В частности, , т. е. представляет собой элемент трехмерного объема — проекцию элемента гиперповерхности на гиперплоскость .

4) Интеграл по четырехмерному объему; элементом интегрирования является произведение дифференциалов:

Этот элемент является скаляром: очевидно, что объем участка 4-пространства не меняется при повороте системы координат.

Аналогично теоремам Гаусса и Стокса трехмерного векторного анализа существуют теоремы, позволяющие преобразовывать друг в друга четырехмерные интегралы.

Интеграл по замкнутой гиперповерхности можно преобразовать в интеграл по заключенному в ней 4-объему путем замены элемента интегрирования на оператор:

Например, для интеграла от вектдра имеем:

Эта формула является обобщением теоремы Гаусса.

Интеграл по двухмерной поверхности преобразуется в интеграл по «охватываемой» ею гиперповерхности заменой элемента интегрирования на оператор:

Например, для интеграла от антисимметричного тензора имеем:

Интеграл по четырехмерной замкнутой линии преобразуется в интеграл по охватываемой ею поверхности путем замены

Так, для интеграла от вектора имеем:

что является обобщением теоремы Стокса.

Задачи

1. Найти закон преобразования компонент симметричного 4-тензора при преобразовании Лоренца (6,1).

Решение. Рассматривая компоненты 4-тензора как произведения двух компонент 4-вектора, получим:

и аналогичные формулы для .

2. То же для антисимметричного тензора

Решение. Поскольку координаты не меняются, то не меняется и компонента тензора а компоненты преобразуются как

и аналогично для

По отношению к поворотам двухмерной системы координат в плоскости (каковыми являются рассматриваемые преобразования) компоненты составляют антисимметричный тензор ранга, равного числу измерений пространства. Поэтому (см. примечание на стр. 35) при преобразованиях эти компоненты не меняются: