Анализируется физическое содержание принципа суперпозиции и обсуждаются границы
– его применимости.
Принцип суперпозиции для взаимодействия точечных зарядов. Силы взаимодействия двух точечных изолированных зарядов определяются законом Кулона (6.1). Изменится ли эта сила, если вблизи двух взаимодействующих зарядов имеется еще один точечный заряд? Чтобы вопрос имел однозначный смысл, необходимо уточнить, что понимается под силами взаимодействия двух зарядов в присутствии третьего заряда (все заряды предполагаются неподвижными).
Если под силами взаимодействия понимать силу, направленную вдоль линии, соединяющей взаимодействующие заряды, то эти силы
$\mathbf{5 3}$
зависят от третьего заряда и к тому же не удовлетворяют требованию равенства действия и противодействия. Трудность состоит в том, что можно измерить силу, действующую на заряд, но не ясно, как различить в ней вклады от отдельных зарядов. Однако третий точечный заряд ничем не отличается от рассматриваемых двух зарядов и все три заряда равноправны. Поэтому постановку вопроса можно изменить. Имеются три взаимодействующих заряда. Экспериментально измеряемыми величинами являются силы, действующие на каждый из зарядов. Закон сложения сил по правилу параллелограмма известен. Спрашивается, равна ли измеряемая сила, действующая на каждый из зарядов, сумме сил со стороны двух других зарядов, если эти силы вычислять по закону Кулона (6.1)? Отметим; что здесь говорится об экспериментальном измерении силы и о математическом вычислении сил по закону (6.1) и их сложении по правилу параллелограмма. В такой постановке вопрос имеет вполне определенный смысл и ответ на него можно получить из эксперимента. Исследования показали, что всегда измеряемая сила равна сумме вычисляемых по закону Кулона сил со стороны двух зарядов. Этот экспериментальный результат выражается в виде следующих утверждений:
a) сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется в присутствии других зарядов;
б) сила, действуючая на точечный заряд со стороны двух точечных зарядов, равна сумме сил, действуючих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.
Это утверждение называется принциом суперпозиции. Оно отражает экспериментальный факт, составляющий одну из основ учения об электричестве. По своей роли в учении об электричестве он столь же важен, как, например, закон Кулона. Обобщение на случай многих зарядов очевидно.
Полевая формулировка принципа суперпозиции. Рассмотрим силу $\mathbf{F}_{3}$, действующую на точечный заряд $q_{3}$ при наличии двух других зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ (рис. 20). Обозначим $F_{13}$ и $F_{23}$ – силы, действующие на заряд $q_{3}$ со стороны зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$, когда нет зарядов $q_{2}$ и $q_{1}$. Принцип суперпозиции утверждает, что
\[
F_{3}=F_{13}+F_{23} \text {. }
\]
Обозначим: $\mathbf{E}_{13}$ и $\mathbf{E}_{23}$ – напряженности электрического поля, создаваемого зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ в тонке с зарядом $q_{3}$ при отсутствии заряда $q_{2}$ или $q_{1}$ соответственно. По формуле (6.9) имеем:
\[
\mathbf{F}_{13}=q_{3} \mathbf{E}_{13}, \mathbf{F}_{23}=q_{3} \mathbf{E}_{23} \text {. }
\]
Перепишем выражение (7.1):
\[
\mathbf{F}_{3}=q_{3} \mathbf{E}_{13}+q_{3} \mathbf{E}_{23} \text {. }
\]
Сила в электрическом поле возникает в результате действия поля на заряд. Следовательно, сила $\mathbf{F}_{3}$ в (7.3) свидетельствует о на-
– Сила взамнодействня двух точечных зарядов не изменяется в прнсутствии других зарядов, а сила взаннодействия заряженных тел, вообще говоря, изменяется в присутствии других заряженных тел. Пробный заряд предполагается достаточно налым. Однако это требование не имеет отношення к прннцнпу суперпознцни, который остается справедлнвым при любых значениях пробного заряда.
О Почему сила взаимодействия двух заряженных тел, вообще говоря, изменяется в присүтствии третьего зараженного тела? Является ли это нарушением принципа суперповици?
Какие экспериментальные факты позволяют судить о спра ведливости принципа суперпозиции вплоть до очень больших напряженностей электрического поля?
личии в точке нахождения заряда $q_{3}$ электрического поля с напряженностью $\mathbf{E}_{3}$, которая обусловливает эту силу [см. (6.9)], T. e.
\[
\mathbf{F}_{3}=q_{3} \mathbf{E}_{3} \text {. }
\]
Подстав.яяя (7.4) в (7.3) и сокращая полученное выражение на общий множитель $q_{3}$, находим
\[
\mathbf{E}_{3}=\mathbf{E}_{13}+\mathbf{E}_{23} \text {. }
\]
Равенство (7.5) является полевой формулировкой принципа суперпозиции: напряженность поля двух точечных зарядов равна сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов при отсутствии другого. Она является локальной, поскольку все величины относятся к одной точке пространства.
Обобщение на случай многих зарядов очевидно:
т. е. напряженность поля любого числа точечных зарядов равна сумме напряженностей полей каждого из точечных зарядов при отсутствии всех других.
Пробные заряды. Из определения напряженности электрического поля следует, что ее измерение сводится к измерению силы, действующей на точечный заряд. Точечный заряд, с помошью которого опредепяется напряженность, называется пробным. Возникает вопрос о величине пробного заряда. Если предположить, что все точечные заряды, суммарная напряженность поля которых вычисляется, закреплены неподвижно в точках пространства, то пробный заряд может быть любым. Если же положения точечных зарядов не фиксированы в пространстве, то пробный заряд своим действием на эти заряды может сместить их в другие точки пространства. В этом случае будет найдена не та напряженность, которая была в точке нахождения пробного заряда при первоначальном положении всех зарядов, а другая напряженность, возникшая в результате перемецения зарядов в новое положение под влиянием пробного заряда. Во избежание этого надо уменьшить воздействие пробного заряда на заряды, создающие исследуемое поле. Поэтому пробный заряд должен быть достаточно малым. Однако необходимо отметить, что это требование не имеет отношения к принципу суперпозиции, а линь обеспечивает соблюдение условий, при которых напряженность исследуемого поля сушественно не изменяется самим актом измерения.
Границы применимости принципа суперпозиции. Экспериментальными свидетельствами справедливости принципа суперпозиции является согласие полученных с его помощью выводов с результатами экспериментов. Установлено, что принцип суперпозиции соблюдается вплоть до очень больших напряженностей полей. Его правияьность для напряженностей полей в несколько миллионов вольт на метр (электротехника, ускорители, высоковольтные разряды и т. д.) хорошо подтверждается всей инженерной практикой. Более значительные напряженности поля имеются в атомах и ядрах. На орбитах электронов в атомах они равны $E \approx 10^{11}-10^{17} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$. Рассчитанные в соответствии с принципом суперпозиции разности энергетических уровней атомов подтверждены экспериментально с большой степенью точности (относительная погрешность не более $10^{-6}$ ). Это означает, что и принцип суперпозиции при напряженности внутриатомных полей соблюдается с большой точностью. На поверхности тяжельх ядер напряженности достигают громадных значений ( $E \approx 10^{22} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$ ). Экспериментальные данные свидетельствуют, что и для этих громадных напряженностей принцип суперпозиции выполняется. Однако в этом случае появляются другие эффекты, а именно, при напряженности около $10^{20} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$ возникает поляризация вакуума в результате возникновения электронно-позитронных пар. Это приводит к квантово-механической нелинейности взаимодействия.
