Анализируется релятивистская природа магнитного поля. Из закона Кулона с помощью релятивистских преобразований выводится закон взаимодействия параллельных проводников.

Необходимость возникновения магнитного поля при движении зарядов. Взаимодействие точечных неподвижных зарядов полностью описывается законом Кулона. Однако закон Кулона недостаточен для анализа взаимодействия движуцихся зарядов, причем такой вывод следует не из конкретных особенностей кулоновского взаимодействия, а обусловливается релятивистскими свойствами пространства и времени и релятивистским уравнением движения.
Это утверждение в принципе вытекает из таких соображений. Релятивистское уравнение движения
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}
\]

инвариантно и имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах координат, в частности в системе координат $K^{\prime}$, которая движется равномерно и прямолинейно относительно $K$ :
\[
\mathrm{dp}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime}=\mathbf{F}^{\prime} \text {. }
\]

Буквы со штрихами обозначают величины, относящиеся к $K^{\prime}$. В левые части этих уравнений входят чисто механические величины, поведение которых при переходе из одной системы координат в другую известно. Следовательно, можно связать между собой некоторой формулой левые части уравнений (8.1) и (8.2). Но тогда оказываются связанными между собой стоящие в правой части этих уравнений силы. Наличие такой связи обусловливается требованием релятивистской инвариантности уравнения движения. Поскольку в левые части уравнений (8.1) и (8.2) входят скорости, заключаем, что сила взаимодействия движущихся зарядов зависит от скорости и не сводится к кулоновской силе. Тем самым доказывается, что взаимодействие движуцихся зарядов осуцествляется не только кулоновской силой, но также силой другой природы, называемой магнитной. Ее существование выявляется из следующего примера взаимодействия зарядов.

B заимодействие точечного заряда и бесконечной прямой заряженной нити. Конечно, самым простым является кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов, которые покоятся в системе координат $K^{\prime}$. Однако в другой системе координат $K$, движущейся относительно $K^{\prime}$, эти заряды движутся с одинаковыми скоростями и их взаимодействие усложняется, поскольку из-за движения зарядов электрическое поле в каждой точке пространства переменно. Поэтому целесообразно выбрать ситуацию, которая является достаточно простой как в системе координат $K^{\prime}$, где заряды покоятся, так и в системе координат $K$, где они движутся. Сравнительно простым является взаимодействие точечного заряда и бесконечной прямой заряженной нити.

В системе координат $K^{\prime}$ нить покоится и направлена вдоль оси $X^{\prime}$ (рис. 21). Точечный заряд $q$ расположен на оси $Y^{\prime}$ на расстоянии $y_{0}^{\prime}$ от нити. Обозначим ‘ $S_{0}^{\prime}$ – площадь поперечного сечения нити, считая его линейные размеры очень малыми по сравнению с расстоянием до точечного заряда. Если объемная плотность заряда $\rho^{\prime}$, то на элементе длины $\mathrm{d} x^{\prime}$ нити находится заряд $\mathrm{d} q^{\prime}=\rho^{\prime} S_{0}^{\prime} \mathrm{d} x^{\prime}$. Для определенности предполагаем, что заряд нити и точечный заряд положительны. В этом случае силы, действующие на точечный заряд со стороны заряда в элементе нити, направлены так, как показано на рис. 21. По закону Кулона
\[
\mathrm{d} F_{x}^{\prime}=\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime} \mathrm{d} x^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(y_{0}^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right)} \cos \alpha, \mathrm{d} F_{y}^{\prime}=\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime} \mathrm{d} x^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}\left(y_{0}^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right)} \sin \alpha .
\]

Принимая во внимание, что $\cos \alpha=-x^{\prime} /\left(y_{0}^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right)^{1 / 2}, \sin \alpha=y_{0}^{\prime} /\left(y_{0}^{\prime 2}+\right.$ $\left.+x^{\prime 2}\right)^{1 / 2}$, для компонент силы получаем
\[
\boldsymbol{F}_{x}^{\prime}=-\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{\prime} \mathrm{d} x^{\prime}}{\left(y_{0}^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right)^{3 / 2}}, F_{y}=\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime} y_{0}^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x^{\prime}}{\left(y_{0}^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right)^{3 / 2}}
\]

Первый интеграл равен нулю, поскольку в подынтегральном выражении стоит нечетная функция, а для вычисления второго интеграла целесообразно произвести замену переменных $x^{\prime}=-y_{0}^{\prime} \operatorname{ctg} \alpha, \mathrm{d} x^{\prime}=$ $=y_{0}^{\prime} \mathrm{d} \alpha / \sin ^{2} \alpha, 1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=1 / \sin ^{2} \alpha$ Тогда
\[
\boldsymbol{F}_{x}^{\prime}=0, F_{y}^{\prime}=\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime}}{4 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime}} \int_{0}^{\pi} \sin \alpha \mathrm{d} \alpha=\frac{q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime}}{2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime}}
\]

Кроме того, $F_{z}^{\prime}=0$ Принимая во внимание, что заряд в данный момент покоится, и обозначая $m_{0}$ массу носителя заряда, получаем для ускорения заряда в системе $K^{\prime}$ следующие выражения
\[
a_{x}^{\prime}=0, a_{y}^{\prime}=F_{y}^{\prime} / m_{0}=q \rho^{\prime} S_{0}^{\prime} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime} m_{0}\right), \quad a_{z}^{\prime}=0
\]

Теперь рассмотрим это взаимодействие в системе координат $K$, движущейся относительно системы $K^{\prime}$ со скоростью $v$ в направлении отрицательных значений оси $X^{\prime}$. Направим ось $X$ вдоль нити так, чтобы ее положительное направление совпадало с положительным направлением оси $X^{\prime}$, и будем считать эту систему неподвижной. В системе координат $K$ система $K^{\prime}$, нить и заряд движутся в направлении положительных значений оси $X$ со скоростью $v$

Вычислим силу кулоновского отталкивания со стороны движущейся нити на движущийся заряд Вследствие инвариантности заряда точечный заряд $q$ неизменен В результатс сокращения движущихся масштабов на метр длины движущейся нити приходится большее число зарядов, чем на метр длины неподвижной, т е птотность зарядов движущейся нити больше, чем неподвижной В предшествующих расчетах плотность зарядов неподвижной нити обозначалась $\rho^{\prime}$ Поэтому плотность зарядов движущейся ниги в системе координат $K$ равна $\rho=\rho^{\prime} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$,
где $\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ учитывает релятивистское изменение движущихся масштабов Все дальнейшие вычисления совершенно аналогичны расчетам для покоящейся нити Поскольку длины в перпендикулярном скорости $\mathbf{v}$ направлении остаются неизменными, то площадь поперечного сечения движущейся нити и расстояние от нити до точечного заряда будут неизменными Поэтому вместо (85) получаем
\[
f_{x}=0, f_{y}=q \rho S_{0} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}\right), f_{.}=0,
\]
К вычнслению силы взаимоден̆ствия точечного заряда и бесконечной прямой заряженной иити
22
Взаимодействие двух параллельных токов
Для опн сания взаимо действия Авнжущнхся зарядов медостаточно закона Кулона. Этот вывод следует не из конкретных особенностей кулоновского взанмодействия, а обусловливается релятнвнст. скнми свойствами пространства и врененн и релятнвнстским уравнением движения.
Магннтное взанмодейст. вие сравнимо с злектрическим лишь прн достаточно больших скоростях заряженных частиц. Тем не ненее оно пожет проявляться и прн очень мальх скорост ях, если кулоновское взаимодействие по какнм-то причннам отсутствует.
причем здесь кулоновская сила обозначена маленькой буквой, чтобы отличить ее от полной силы, действующей на заряд, которая не сводится к кулоновской силе. Подставляя (8.7) во второе из уравнений (8.8), находим
\[
\begin{array}{l}
f_{y}=q \rho^{\prime} S_{0} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}\right)= \\
=q \rho^{\prime} S_{0} /\left(2 \pi \varepsilon_{0} y_{0}^{\prime} \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}\right)=F_{y}^{\prime} / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}},
\end{array}
\]

где $S_{0}=S_{0}^{\prime}, y_{0}=y_{0}^{\prime}$ и принята во внимание формула (8.5).

Найдем полную силу, действующую на точечный заряд в системе координат $K$. Вследствие симметрии сила направлена вдоль оси $Y$ и связана с импульсом уравнением движения
\[
F_{y}=\mathrm{d} p_{y} / \mathrm{d} t \text {. }
\]

В системе координат $K^{\prime}$ эта связь имеет вид
\[
F_{y}^{\prime}=\mathrm{d} p_{y}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime} .
\]

По формулам преобразования теории относительности
\[
p_{y}^{\prime}=p_{y}, \frac{\mathrm{d} t^{\prime}}{\mathrm{d} t}=\frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1+v u_{x}^{\prime} / c^{2}} \quad(\beta=v / c),
\]

где $u_{x}^{\prime}$-компонента скорости частицы в системе координат $K^{\prime}$, причем в данном случае $u_{x}^{\prime}=0$. С учетом (8.12) из (8.10) находим
\[
F_{y}=\mathrm{d} p_{y} / \mathrm{d} t=\left(\mathrm{d} p_{y}^{\prime} / \mathrm{d} t^{\prime}\right)\left(\mathrm{d} t^{\prime} / \mathrm{d} t\right)=F_{y}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}
\]

Сравнение (8.13) с (8.9) показывает, что
\[
F_{y}=\left(1-\beta^{2}\right) f_{y}
\]
т. е. кулоновская сила отталкивания $f_{y}$ больше силы $F_{y}$, действуюшей на двиясуийся заряд со стороны движучейся нити. Сяедовательно, кроме кулоновской сияы отталкивания на заряд действует еще другая сила, отличная от кулоновской, которая в данном случае является силой притяжения. Она возникает в результате движения зарядов и называется магиитной. Полевая трактовка взаимодействия для магнитной силы формулируется аналогично полевой трактовке электрического взаимодействия: движущийся заряд создает в окружающем его пространстве магнитное поле; на движуцийся заряд со стороны магнитного поля действует сила.

Релятивистская природа магнитного поля. Из (8.14) видно, что магнитная сила равна
\[
\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{y m}}=F_{y}-f_{y}=-v^{2} f_{y} / c^{2} .
\]

Знак минус означает, что сила направлена к заряженной нити, т.е. является силой притяжения. Как видно из (8.15), эта сила описывается величиной второго порядка малости по $v / c$ относительно кулоновского взаимодействия. Следовательно, магнитное взаимодействие сравнимо по величине с электрическим лиив при достаточно больших скоростях заряженных частич. Тем не менее оно заметно и при малых скоростях зарядов, если кулоновское электрическое взаимодействие по каким-то причинам не проявляется. Такая ситуация осуществляется, например, при наличии электрического тока в проводнике. В этом случае электрическое поле движущихся зарядов нейтрализуется электрическим полем зарядов проводника противоположного знака, т.е. экранируется. В результате остается одна лишь магнитная сила, ничтожно малая по сравнению с кулоновской силой, если бы она не была экранирована. Например, при типичных скоростях дрейфа электронов в металлическом проводнике (см. § 31) магнитная сила менњше кулоновской более чем в $10^{20}$, тем не менее она достаточно большая и проявляется в виде взаимодействия проводников с током. Поэтому чисто релятивистский эффект возникновения магнитного поля проявляется при любых скоростях и не только при достаточно больших.

Силы взаимодействия параллельных проводников с током. Представим себе, что заряды движутся в тонкой цилиндрической проволоке, которая в целом электрически нейтральна Тогда кулоновские силы со стороны движущихся зарядов, образующих электрический ток, экранируются зарядами противоположного знака проволоки и вне проволоки действует лишь магнитная сила (8.15). Следовательно, вокруг проводника с током проявляется действие магнитной силы на движуциеся заряды, которые образуют электрический ток. При этом возникает магнитное взаимодействие токов. Это получается как результат релятивистского анализа взаимодействия движущихся зарядов. Однако магнитное взаимодействие токов было открыто задолго до создания теории относительности.

Предположим, что движущиеся заряды составляют линейный ток, текущий по проводнику, параллетьному исходному току, текущему вдоль оси $X$ и расположенному на расстоянии $r$ от него (рис. 22). Величины, относяциеся к исходному току, обозначим с индексами 1 , а к линейному – с индексами 2. На каждый заряд тока $I_{2}$ со стороны тока $I_{1}$ действует магнитная сила притяжения $F_{\mathrm{m}}$ (8.15), которую удобно с учетом (8.8) представить в виде
\[
\boldsymbol{F}_{\mathrm{my}}=-\frac{v^{2}}{c^{2}} \frac{q \rho_{1} S_{01}}{2 \pi \varepsilon_{0} r}=-\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} q v \frac{\rho_{1} v S_{01}}{r}=-\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} q v \frac{I_{1}}{r},
\]

где $\rho_{1} v S_{01}=I_{1}$ [см. (4.11) и (4.14)], $r=y_{0}$ [см. (8.8)].
Обозначим $n_{2}$ линейную концентрацию зарядов на втором проводнике. На элементе длины $\mathrm{d} x_{2}$ находится $n_{2} \mathrm{~d} x_{2}$ зарядов, на которые действует магнитная сила
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{m}}=F_{\mathrm{my}} n_{2} \mathrm{~d} x_{2} .
\]

Подставляя в (8.17) выражение (8.16), находим
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{m}}=-\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0} c^{2}} \frac{I_{i} q v n_{2} \mathrm{~d} x_{2}}{r},
\]

где $q v n_{2}=I_{2}$. Кроме того, в теории магнетизма вместо постоянной $\varepsilon_{0}$ принято использовать $\mu_{0}=1 /\left(\varepsilon_{0} c^{2}\right)$ – магнитную постоянную. Тогда [cM. (8.18)]
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{m}}=-\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1} I_{2}}{r} \mathrm{~d} x_{2} \text {. }
\]

Она характеризует взаимодействие прямолинейных токов в бесконечных параллельных проводниках. Необходимо отметить, что условием применимости (8.19) является малость поперечных размеров проводников по сравнению с расстоянием между ними (тонкие проводники, линейные токи).
$\mathbf{E}$ диница силы тока. Из формулы (8.19) видно, что на длину $l_{2}$ проводника приходится сила
\[
F_{m l}=-\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{I_{1} I_{2}}{r} l_{2} .
\]

Знак минус показывает, что при одинаковых направлениях $I_{1}$ и $I_{2}$ между проводниками действует сила притяжения. Если же направления токов $I_{1}$ и $I_{2}$ различны, то возникает сила отталкивания.

На основе (8.20) дается определение единицы силы тока: aмпер есть сила постоянного тока, который, будучи поддерживаемым в двух параллельных прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на растоялии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между этими проводниками возникновение силы, равной $2 \cdot 10^{-7}$ Н на метр длины. Полагая в (8.20) $I_{1}=I_{2}=1 \mathrm{~A}, r=1 \mathrm{M}, l_{2}=1 \mathrm{M}, F_{\mathrm{m} l}=-2 \cdot 10^{-7} \mathrm{H}$, находим
$\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{A}^{2}$.
Как было отмечено [см. (8.19)],
\[
\mu_{0} \varepsilon_{0}=1 / c^{2} \text {, }
\] где $c$ – скорость света в вакууме. Это соотношение отражает глубокую связь, существующую между электрическими и магнитными полями и характеризуемую фундаментальной физической константой $c$, равной скорости света. Природа этой связи станет ясной при изучении электромагнитных волн (см. гл. 9).
Магнитное поле. В полной аналогии с полевой трактовкой кулоновского взаимодействия (см. § 6) можно переформулировать процесс возникновения силы (8.18) в виде двух этапов: порождение током $I_{1}$ магнитного поля в окружающем ток пространстве и действие магнитного поля на движущийся заряд или ток. Однако законы возникновения магнитного поля и действия силы оказываются более сложными, чем в законе Кулона, так как зависят от взаимной ориентации тока и скорости заряда. Кроме того, текущий по бесконечно длинному проводнику ток $I_{1}$ не подходит для роли элементарного объекта, взаимодействие точечного заряда с которым можно считать элементарным актом. Поэтому необходимо вернуться к анализу действия сил на точечные движущиеся заряды или элементы тока.