Описываются основные характеристики волноводов и особенности распространения электромагнипных волн 6 них. Дается классификация волн в волноводах. Обсуждается принцип действия резонапора.
$\mathbf{Y}^{\text {часток цепи. Любой участок цепи обладает омическим сопротивле- }}$ нием, емкостью и индуктивностью. Эквивалентная схема участка цепи изображена на рис. 261 , a. Омическое сопротивление $R$ всегда имеется потому, что провода обладают омическим сопротивлением. Емкость возникает потому, что на участке цепи всегда имеются поверхностные или объемные заряды и электрические поля, в которых запасается энергия электрического поля. При протекании тока по участку цепи возбуждается магнитное поле, в котором запасается энергия. Следовательно, участок цепи обладает также индуктивностью. Относительная роль $R, C$ и $L$ зависит от конкретных свойств участка цепи и от частоты. $\mathbf{Y}^{\text {часток проводника. На небольшой прямолинейный участок провод- }}$ ника приходятся очень небольшой поверхностный заряд и энергия магнитного поля. Это означает, что емкость и индуктивность его достаточно малы. Поэтому на малых частотах емкостное сопротивление участка оказывается больше омического, а индуктивное – меньше, т. е. имеет место неравенство $1 /(\omega C) \gg R \gg \omega L$. Поэтому на схеме, изображенной на рис. $261, a$, ток протекает главным образом по участку $R, L$, а емкость как бы отключается. Поскольку $\omega L \ll R$, индуктивное сопротивление не имеет существенного значения и участок проводника на малых частотах изображается так, как показано на рис. 261,6 .
С увеличением частоты сопротивление $R$ растет. Поскольку толщина скин-слоя уменьшается как $1 / \sqrt{\omega}$, можно считать, что сопротивление растет как $\sqrt{\omega}$. Индуктивность $L$ при росте частоты уменьшается незначительно и поэтому индуктивное сопротивление $\omega L$ растет как $\omega$. Следовательно, с увеличением частоты относительная роль индуктивности участка проводника возрастает и его уже нельзя считать просто участком с омическим сопротивлением. С увеличением частоты уменьшается емкостное сопротивление $1 /(\omega C)$. Поэтому на достаточно больших частотах значительная часть тока осуществляется в виде токов смещения. Это означает, что на больших частотах эквивалентная схема участка проводника имеет вид, показанный на рис. 261 , $a$, причем как $R$, так и $L, C$ должны быть приняты во внимание. Их относительная роль зависит от частоты. При крайне больших частотах определяющую роль играет емкость.
Катушка индуктивности. На малых частотах у катушки $1 /(\omega C) \gg$ $\gg \omega L \gg R$. Ток в основном протекает через $R$, $L$ (рис. 261,a), и поскольку $R \ll \omega L$, эквивалентная схема катушки индуктивности на малых частотах имеет вид, показанный на рис. 261, .
Соотношение между напряженностями полей в хонденсаторе на высоких частотах
При увеличении частоты индуктивное сопротивление катушки растет, а емкостное уменьшается. Поэтому все большая часть тока проходит в виде тока смещения через емкости, имеющиеся между отдельными витками катушки. Наряду с индуктивностью и омическим сопротивлением начинает существенную роль играть емкость. В результате эквивалентная схема катушки индуктивности превращается в схему, изображенную на рис. $261, a$, причем относительная роль $R, L, C$ зависит от частоты. При очень большой частоте почти весь ток идет в виде тока смецения, как бы перескакивая с витка на виток, а индуктивность как бы выкјючается из цепи.
$\mathbf{K}^{\text {онденсатор. На малых частотах у конден- }}$ сатора емкостное сопротивление меньше, чем омическое и индуктивное $[1 /(\omega C) \ll R$, $1 /(\omega C) \ll \omega L]$. В результате на схеме (рис. $261, a$ ) участок $R, L$ как бы отключается и эквивалентная схема конденсатора имеет вид, показанный на. рис. 261 , 2 .
При увеличении частоты ситуация изменяется. Чтобы выяснить, что при этом происходит, рассмотрим для примера плоский конденсатор.
В плоском конденсаторе при росте частоты увеличивается отклонение электрического поля от однородного. Причиной этого является взаимодействие электромагнитной индукции и токов смещения. На первый взгляд кажется, что здесь картина явления должна быть аналогичной той, которая приводит к возникновению скин-эффекта (рис. 223), но это не так. Различие обусловливается другими фазовыми соотношениями между векторами полей.
Рассмотрим векторную диаграмму полей и токов в случае скин-эффекта (рис. 223). Индукция магнитного поля находится в фазе с силой тока и напряженностью порождающего его электрического. поля. Производная от индукции магнитного поля опережает их на $\pi / 2$, а порождаемая изменением магнитного поля напряженность $\Delta \mathbf{E}$ дополнительного электрического поля, непосредственно приводящего к скин-эффекту, отстает на $\pi / 2$ от напряженности E поля. Поэтому при более строгом подходе на рис. 223 необходимо было бы принять во внимание не только пространственное распределение полей, но и фазы изменения напряженностей.
Векторная диаграмма возникновения скин-эффекта показана на рис. $262, a$.
Расчетные формулы автоматически учитывают соотношение между фазами векторов.
В конденсаторе (рис. 262, б) соотношение между фазами векторов поля другое. Поскольку магнитное поле порождается токами смещения по закону
$\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$,
его индукция находится в фазе с $\partial \mathrm{E} / \partial t$ и, следовательно, опережает на $\pi / 2$ напряженность $\mathrm{E}$ (рис. 262,8 ). Поэтому возникающая по закону электромагнитной индукции напряженность $\Delta \mathbf{E}$, приводящая к перераспределению напряженности поля $\mathbf{E}$ в конденсаторе, находится в фазе с напряженностью $\mathbf{E}$ (рис. 262, в). Главное различие с явлениями, происходящими при возникновении скин-эффекта, состоит в разном соотношении фаз между $\mathbf{E}$ и В: при образовании скин-эффекта их фазы совпадают, а в конденсаторе индукция магнитного поля опережает по фазе напряженность электрического поля на $\pi / 2$. Поэтому, например, при нулевом электрическом поле в картине скин-эффекта индукция магнитного поля равна нулю, а в конденсаторе она имеет максимальное значение. При росте напряженности $\mathbf{E}$ поля при скинэффекте от нулевого значения индукция магнитного поля растет и линия $\partial \mathbf{B} / \partial t$ составляет с $\mathbf{E}$ правовинтовую систему (рис. 223), а в конденсаторе она уменьшается и поэтому линии $\partial \mathbf{B} / \partial t$ составляют с $\mathbf{E}$ левовинтовую систему (рис. 262,б). Следовательно, напряженность $\Delta \mathbf{E}$ вихревого электрического поля направлена так, что увеличивает напряженность электрического поля в центре конденсатора и ослабляет на периферии, т.е. в конденсаторе поле ослабляется от центра к периферии. На некотором расстоянии от центра напряженность обращается в нуль, а затем изменяет свое направление на обратное (рис. 262, z).
Количественная характеристика этого явления может быть получена в результате решения уравнения для напряженности $\mathbf{E}$ поля, исходя из (62.5). В данном случае имеется одна компонента $E$ и осевая симметрия задачи, т. е. $E=E(r)$, где $r$-расстояние от оси конденсатора до точки, в которой определяется напряженность. Полагая, как обычно,
\[
E(r, t)=E_{0}(r) \mathrm{e}^{i \omega t}
\]
и считая, для определенности, что между обкладками конденсатора $\varepsilon=\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}$, получаем для $E_{0}(r)$ уравнение
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} E_{0}}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d} E_{0}}{\mathrm{~d} r}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}} E_{0}=0,
\]
записанное в цилиндрических координатах. Это уравнение называется уравнением Бесселя с нулевым индексом, решение которого записывается в виде $J_{0}(\omega r / c)$. Функции Бесселя хорошо изучены. На рис. 277,2 показан ход функции $J_{0}(\omega r / c)$. Наименьшими корнями функции с индексом нуль являются $\xi_{1}=2,40 ; \xi_{2}=5,52 ; \xi_{3}=8,65 ; \ldots$. Учтем, что $\omega / c=2 \pi / \lambda$, где $\lambda$ – длина электромагнитной волны с частотой $\omega$ в вакууме. Поэтому расстояния, на которых напряженность поля в конденсаторе обращается в нуль, равны
$r_{t}=\lambda \xi_{t} /(2 \pi)$.
В частности, первый раз напряженность обрацается в нуль на расстоянии $r_{1}=\lambda \xi_{1} /(2 \pi)=0,38 \lambda$. Благодаря такому поведению напряженности конденсатор уже перестает играть роль чистой емкости. Ясно, что магнитные поля в конденсаторе становятся существенными, а это означает, что вступает в игру индуктивность. Другими словами, конденсатор также теряет на высоких частотах свои первоначальные функции емкости.
$\boldsymbol{И}^{3 л у ч е н и е . ~ В ~ § ~} 61$ было показано, что мощность излучения вибратора растет пропорционально четвертой степени частоты $\left(\sim \omega^{4}\right)$, т. е. очень быстро. А это означает, что при прохождении по проводам токов высокой частоты имеет место интенсивное излучение электромагнитной энергии. При высокой частоте потери становятся столь значительными, что передача по проводам становится нецелесообразной. Необходимо найти другие способы передачи электромагнитной энергии с высокой частотой, поскольку разработанные для низких частот методы генерирования и передачи электромагнитных колебаний неприменимы для очень высоких частот.
В олноводы. Основная идея волновода состоит в том, чтобы направить электромагнитные волны по некоторому каналу, сведя к минимуму возможные потери в процессе распространения. Для этого, очевидно, надо по возможности избежать возбуждения токов проводимости и исключить проникновение электромагнитной энергии за стенки канала. Простейшей моделью волновода является полая труба, внутри которой распространяются электромагнитные волны. Основные особенности этих электромагнитных волн рассмотрим на простейшем примере – прямоугольном прямолинейном волноводе.
Прямоугольный волновод. Стенки волновода предполагаются идеально проводяцими, размеры волновода и положение системы координат даны на рис. 263. В волноводах, вообще говоря, могут распространяться многие типы волн. Рассмотрим один из них.
Допустим, что электрический вектор волны направлен вдоль оси $Y$. Для упрощения ситуации примем длину волновода вдоль оси $Y$ бесконечной. Это избавляет от необходимости учета граничных условий для вектора $\mathbf{E}$ на поверхностях волновода, параллельных плоскости $X Z$, и значительно облегчает решение задачи. Кроме того, при бесконечной протяженности волновода в направлении оси $Y$ задачу можно
рассмотреть методом изображений, что позволяет прояснить физическую ситуацию и суть процессов, которые происходят при распространении волн в волноводе.
Таким образом, задача сводится к двум измерениям. Волновое уравнение для напряженности электрического поля имеет вид $\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}=0$
где $E=E_{y}(x, z, t)$.
Поскольку стенки волновода идеально проводящие, граничное условие для $E$ имеет вид
\[
E(x, 0, t)=0, E(x, a, t)=0 \text {. }
\]
Будем искать решение уравнения в виде
\[
E=E_{0} \sin k_{z} z \mathrm{e}^{i\left(\omega t-k_{x} x\right)},
\]
причем для удовлетворения граничным условиям (66.2) надо положить $k_{z} a=n \pi \quad(n=1,2, \ldots)$.
Очевидно также, что решение (66.3) удовлетворяет условию отсутствия свободных зарядов в волноводе: $\operatorname{div} \mathbf{E}=\partial E_{y} / \partial y=0, E_{x}=E_{z}=0$. Подставляя (66.3) в (66.1), получаем
\[
\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+\omega^{2} / c^{2}\right) E=0 \text {. }
\]
Это равенство может быть удовлетворено лишь при условии
\[
-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+\omega^{2} / c^{2}=0 \text {, }
\]
из которого следует, что
\[
k_{x}=\sqrt{\omega^{2} / c^{2}-\pi^{2} n^{2} / a^{2}} \text {. }
\]
Граничная частота. Электромагнитная волна распространяется в волноводе без затухания, если в (66.3) величина $k_{x}$ действительная, Это означает, что в (66.7) подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Отсюда получаем условие, при котором в волноводе распространяются волны:
\[
\frac{\omega^{2}}{c^{2}}-\frac{\pi^{2} n^{2}}{a^{2}} \geqslant 0
\]
или
$\omega \geqslant \frac{\pi c}{a} n$.
Таким образом, при заданном значении $n$, характеризующем форму волны в направлении оси $Z$, имеется граничная частота. Электромагнитные волны с меньшей частотой не могут распространяться в волноводе. Значение этой частоты получается из (66.9) при $n=1$ :
$\omega_{0}=\pi c / a$.
Наличие граничной частоты означает, другими словами, существование волны с максимальной длиной волны, которая в состоянии распро-
$15^{*}$
страняться в волноводе. Учитывая, что $\lambda=c T=2 \pi c / \omega$, получаем для граничной длины волны
$\lambda_{0}=2 \pi c / \omega_{0}=2 a$.
Это равенство имеет очень ясный геометрический смысл: в рассматриваемом волноводе могут распространяться лишь волны, длина волны которых меньше удвоенного поперечного сечения волновода.
Наличие граниной частоты является характерной чертой всех волноводов, хотя ее конкретное значение различно для различных волноводов.
Фазовая скорость. Согласно выражению (66.3) эта скорость находится из условия
$\omega t-k_{x} x=$ const,
откуда
\[
v_{\phi}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k_{x}}=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^{2} / c^{2}-\pi^{2} / a^{2}}}=c \frac{\omega}{\sqrt{\omega^{2}-\pi^{2} c^{2} / a^{2}}}>c,
\]
т. е. фазовая скорость электромагнитных волн в волноводе больше скорости света. Это также является характерной чертой волноводов, хотя конкретное значение фазовой скорости зависит от свойств волновода и типов волн.
С учетом выражения (66.10) и (66.11) формулу (66.13) удобно представить в виде
\[
v_{\phi}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(\omega_{0} / \omega\right)^{2}}}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}}} .
\]
Следовательно, $\omega \geqslant \omega_{0}, \lambda \leqslant \lambda_{0}$, поскольку в противном случае фазовая скорость становится мнимой, т.е. распространение волн невозможно.
Длина волны в волноводе. По определению длины волны имеем $\lambda_{\mathrm{B}}=v_{\phi} T=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}}}>\lambda$,
где $\lambda=c T$. Длина волны в волноводе всегда больше длины волны в свободном пространстве. Возведя обе части (66.15) в квадрат и взяв от них обратные величины, получим
$1 / \lambda_{\mathrm{B}}^{2}=1 / \lambda^{2}-1 / \lambda_{0}^{2}$.
Соотношение (66.16) справедливо для волноводов любой формы, хотя и было выведено здесь для частного случая.
Применение метода изображений к анализу волноводов. Для более четкого выяснения физической картины распространения волн в волноводе и смысла полученных соотношений проанализируем рассмотренный пример методом изображений. В качестве элементарного
$\mathbf{4 3 7}$
излучателя можно себе представить бесконечный прямой проводник, по которому течет переменный ток частоты $\omega$. Этот излучатель аналогично вибратору Герца испускает волны, электрический вектор которых направлен параллельно проводнику. В случае бесконечно длинного проводника волны будут, очевидно, цилиндрическими. Однако на достаточно большом расстоянии от излучателя их можно считать плоскими.
На рис. 264 показаны проекции стенок волновода на плоскость $X Z$, электрический вектор волн направлен перпендикулярно плоскости чертежа. Расположим первый излучатель в середине волновода, на расстоянии $a / 2$ от каждой из его перпендикулярных плоскости чертежа стенок. Фаза колебаний излучателя обозначена точкой, т.е. ток в данный момент течет $\mathrm{K}$ нам. Излучатель испускает по всем направлениям волны, и поэтому на стегках волновода напряженность поля отлична от нуля. Задача состоит в том, чтобы так подобрать сисгему излучателей, чтобы суммарная напряженность их полей на стенках волновода все время была равна нулю. Удовлетворяющее этому условию поле и будет искомым полем в волноводе. Конечно, когда волны распространяются от воображаемых излучателей, стенки волновода тоже считаются воображаемыми и через них без препятствий проходят воображаемые волны.
Для того чтобы на стенке $A_{1}$ волновода ликвидировать поле, порождаемое излучателем 0 , необходимо на расстоянии $a / 2$ от нее поместить излучатель 1 , который колеблется со сдвигом колебаний на полпериода относительно излучателя 0 . Следовательно, излучатель 1 должен колебаться в противоположной излучателю 0 фазе, что обозначено знаком (+) («ток от нас»). Волны от излучателя 1 приходят в точки стенки $A_{1}$ волновода через тот же промежуток времени, что и от излучателя 0. Так как фазы волны от 0 и 1 на стенке $A_{1}$ отличаются на $\pi$, то сумма
263
Прямоугольный волновод
264
Рассмотрение прямоугольного волновода методом нзображений
напряженностей этих волн равна нулю. Аналогично излучатель 2 гасит на стенке $A_{2}$ излучение 0 .
Однако излучатель 1 создает поле на стенке $A_{2}$, а излучатель 2 на стенке $A_{1}$. Необходимо добавить следующие излучатели, которые погасили бы эти поля. Для того чтобы погасить излучение от, 1 на стенке $A_{2}$, необходимо взять излучатель 4 , а для погашения излучения от 2 на стенке $A_{1}$ служит излучатель 3 и т.д. до бесконечности. Напряженность поля от бесконечной системы этих излучателей равна нулю на стенках $A_{1}$ и $A_{2}$. Следовательно, полученное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла, будучи суперпозицией полей, каждое из которых удовлетворяет этим уравнениям, и представляет собой искомую электромагнитную волну в волноводе. Поле вне волновода имеет вспомогательное значение и нас не интересует.
Дискретность направлений распространения плоских волн от системы излучателей. От индивидуального излучателя плоские волны распространяются во всех направлениях. Однако от системы излучателей плоские волны могут распространяться лишь во вполне определенных направлениях, а не в любых. Такими направлениями могут быть лишь те, в которьх плоские волны отдельных излучателей взаимно усиливаются. Это возможно лишь в том случае, когда разность хода волн, излученных соседними излучателями, равна целому числу длин волн с половиной, поскольку соседние излучатели испускают волны в противофазе. В результате получается, что в обсуждаемом направлении от всех излучателей распространяются волны с разностью фаз в целое число периодов и, следовательно, эти волны усиливают друг друга. На рис. 264 направление распространения волн характеризуется углом $\theta$. Условие взаимного усиления волн имеет вид
\[
a \sin \theta=\lambda(m+1 / 2) \quad(m=0,1,2, \ldots) .
\]
Аналогичное условие можно записать для волн, распространяющихся в другую сторону от оси волновода, т.е. для отрицательных утлов $\theta$. Граничная длина волны. Условие (66.17) показывает, что для каждой длины волны имеется минимальный к оси угол распространения, достигаемый при $m=0$, а также максимальное значение числа $m$, при котором угол равен $\theta=\pi / 2$, т. е. волна распространяется перпендикулярно длине волновода. При достаточно большой длине волны уже $m=0$ приводит к условию $\sin \theta=1$, т. е. эта волна может распространяться только перпендикулярно оси волновода. Это означает, что волны с такой длиной волны и бо́льшими длинами в волноводе распространяться не могут. Это есть граничная длина волны $\lambda_{0}$, определяемая из (66.17) при $\sin \theta=1, m=0$ :
\[
a=\lambda_{0} / 2,
\]
что совпадает с (66.11). Этой длине волны соответствует граничная частота $(66.10)$.
Длина волны и фазовая скорость в волноводе. Фазовой скоростью является скорость точек поверхности постоянной фазы волны в направлении волновода, т. е. скорость точки пересечения фронтом плоской волны стенок волновода. Из рис. 264 видно, что она равна
\[
v_{\phi}=c / \cos \theta \text {. }
\]
Взяв в (66.17) волну с $m=0$, получим $\sin \theta=\lambda /(2 a)$ и представим формулу (66.18б) в виде
\[
v_{\phi}=\frac{c}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}=\frac{c}{\sqrt{1-[\lambda /(2 a)]^{2}}}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}}}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(\omega_{0} / \omega\right)^{2}}},
\]
что совпадает с (66.14). Таким образом, фазовая скорость не связана с движением в пространстве какого-либо физического объекта и эиергии. Можно себе представить, что на рис. 264 ось $X$ изображает кромку письменного стола, а линия, изображающая фронт волны, является линейкой. Тогда при угле $\theta$, достаточно близком к $\pi / 2$, малые скорости перемещения линейки перпендикулярно ее длине приводят к скоростям точки соприкосновения линейки с кромкой стола, превосходящим скорость света. Ясно, что наличие этой скорости не находится в противоречии с ограничением, налагаемым теорией относительности на скорость движения физических объектов и распространения взаимодействий.
Длина волны $\lambda_{\text {в }}$ также определяется в результате геометрического построения на рис. 264 :
\[
\lambda_{\mathrm{B}}=\frac{\lambda}{\cos \theta}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}}},
\]
что совпадает с (66.15). Из (66.20) следует также и (66.16).
Групповая скорость. Ясно, что фазовая скорость не представляет скорости движения энергии волны вдоль волновода. Энергия в плоской волне движется в вакууме со скоростью $c$ перпендикулярно фронту волны. В направлении оси волновода скорость движения энергии определяется проекцией скорости $c$ на ось. Эта скорость называется групповой. Как видно на рис. 264 , она равна
\[
v_{\text {г }}=c \cos \theta=c \sqrt{1-\left(\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}} .
\]
Групповая скорость всегда меньше скорости света. Свое название она получила потому, что равна скорости пика суммарной амплитуды группы волн с близкими частотами, распространяющимися с различными фазовыми скоростями, зависящими от частоты. Совокупность волн с различными частотами в волноводе составляет такую группу волн, зависимость фазовых скоростей которых от частоты определяется формулой (66.14). Важнейшее физическое свойство групповой скорости уже было сформулировано – это скорость движения энергии, связанной с волнами.
Соотношение между групповой и фазовой скоростями. Перемножая почленно (66.21) и (66.19), получаем
Это соотношение является фундаментальным в теории распространения волн и имеет универсальный характер, хотя и получено для частного примера и специальным методом.
$\mathbf{M}$ агнитное поле. Индукция магнитного поля плоской волны перпендикулярна напряженности ее электрического поля. Поэтому векторы магнитной индукции расположены в плоскостях, параллельных плоскости рис. 264. Поскольку плоские волны распространяются под углом к оси волновода, индукция магнитного поля каждой из плоских волн имеет компоненты вдоль оси волновода и перпендикулярно ей.
То же можно сказать и о индукции магнитного поля суперпозиции плоских волн, составляющих волиу в волноводе. Это означает, что электромагнитнье волны, движущиеся в волноводе, не являются чисто поперечными, они имеют составляющую индукции магнитного поля в направлении распространения. В других случаях возможны типы волн, когда имеется компонента напряженности электрического поля вдоль направления распространения, и т. д. Следует также отметить, что волны в волноводе, вообще говоря, не являются однородными. щая классификация волн в волноводах:
1. Поперечно-магнитные волны (ТМ-волны), определяемые требованием $H_{x}=0$, т. е. отсутствием составляющей напряжснности магнитного поля в направлении распространения волн. Можно показать, что в этом случае все характеристики волн выражаются только через $E_{x}$.
2. Поперечно-электрические волны (ТЕ-волны), определяемые требованием $E_{x}=0$. В этом случае решения выражаются только через $H_{x}$.
3. Поперечные электромагнитные волны (TEM-волны), определяемые требованиями $E_{x}=0, H_{x}=0$.
4. Гибридные волны, когда одновременно $H_{x}
eq 0, E_{x}
eq 0$. Они возникают в том случае, когда граничные условия требуют, чтобы отличными от нуля были одновременно и $E_{x}$ и $H_{x}$, что осуществляется в реальных волноводах, проводимость стенок которых конечна.
P езонаторы. Рассмотрим конденсатор, график изменения напряженности поля которого на высоких частотах изображен на рис. 277,2 . На цилиндрической поверхости радиусом $r_{1}$ электрическое поле отсутствует. Это означает, что вектор Пойнтинга на этой поверхности равен нулю и, следовательно, отсутствует движение электромагнитной энергии через нее. Будем считать эту цилиндрическую поверхность идеальным проводником, соединяющим обкладки конденсатора. Электрическое поле на его поверхности по-прежнему останется равным нулю. Магнитное поле не равно нулю и его силовые линии являются окружностями, концентрическими с точками оси цилиндра. Вдоль цилиндрического проводника текут токи от одной пластины конденсатора к другой, как это следует из граничного условия (38.35) для тангенциальной составляющей вектора Н. Теперь весь цилиндрический замкнутый объем, ограниченный идеально проводящими стенками, может быть изолирован и предоставлен самому себе. Электрическое поле в нем будет колебаться с частотой $\omega$ и с такой же частотой будет происходить перезарядка пластин конденсатора. Замкнутый объем, внутри которого происходят колебания электромагнитного поля, называется резонатором. Частота колебаний поля при отсутствии потерь электромагнитной энергии называется собственной частотой резонатора. Такой резонатор называется цилиндрическим. В резонаторе, так же как и в волноводе, могут существовать колебания и стоячие волны различных.типов. Они обладают различными резонансными частотами. Для того типа колебаний в цилиндрическом конденсаторе, который только что рассмотрен, резонансные частоты $\omega_{i}$ колебаний равны $\omega_{i}=\xi_{i} c / r_{0}$, где $\xi_{i}-$ корни функции Бесселя с нулевым индексом. Таким образом, резонатор для этого типа колебапий имеет не одну резонансную частоту, а бесчисленное множество. Для других возможных типов колебаний получаются другие резонансные частоты. В реальном резонаторе имеются потери энергии и колебания являются затухающими. Терминология и понятия, связанные с колебаниями в резонаторах, полностью совпадают с употребляемыми при рассмотрении механических колебаний.
Задачи
9.1. Определить среднюю мощность излучения рамки с током $I=$ $=I_{0} \cos \omega t$. Площадь рамки равна $\sigma$. Считать, что $I_{0}=10 \mathrm{~A}, \sigma=$ $=100 \mathrm{~cm}^{2}, \omega=10^{8} \mathrm{c}^{-1}$.
9.2. Используя данные задачи 9.1, найти максимальную плотность потока излучения в плоскости рамки с током на расстоянии 200 м от нее.
9.3. Определить плечо диполя, если моцность его излучения равна мощности излучения рамки с током в задаче 9.1. Частота колебаний диполя равна частоте колебаний силы тока в рамке, а каждый из зарядов диполя равен $|q|=$ $=10^{-4} \mathrm{Kл}$.
9.4. Пробой в воздухе происходит при напряженности электрического поля, равной $E \approx 30$ кВ/см. При какой плотности потока энергии
плоских электромагнитных волн не очень большой частоты наступает пробой в воздухе?
9.5. Плоская поляризованная электромагнитная волна с круговой частотой $\omega=10^{6} \mathrm{c}^{-1}$ падает с ребра на рамку из проводника, причем вектор индукции волны направлен перпендикулярно плоскости рамки. Линейные размеры рамки малы по сравнению с длиной волны. Площадь рамки $\sigma=100 \mathrm{~cm}^{2}$, средняя плотность потока энергии в волне $\langle S\rangle=1 \mathrm{Br} / \mathrm{m}^{2}$. Найти максимальную э. д. с. индукции, наводимую в контуре.
9.6. На орбите Земли поток солнечной энергии излучения равен примерно $S \doteq 1,4$ кВт $/ \mathrm{m}^{2}$. Найти радиус абсолютно черной шарообразной частицы с плотностью $\rho=5 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, для которой световое давление
в межпланетном пространстве равно солнечному притяжению. Масса Солнца равна $m_{\mathrm{C}}=2 \times$ $\times 10^{30} \mathrm{\kappa г}$, гравитационная постоянная $G=6,7 \cdot 10^{-11} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{Kr}^{2}$. Расстояние от Земли до Солнца $R=150 \cdot 10^{6} \mathrm{kM}$.
9.7. Плоский конденсатор с круглыми пластинами радиусом $a$ подсоединен к постоянному источнику сторонних э.д.с. $\varepsilon_{\text {стор. Расстояние }}$ между пластинами медленно изменяется по гармоническому закону $d=d_{0}+\Delta \sin \omega t$. Найти напряженность магнитного поля между пластинами, порождаемого токами смещения.
9.8. Рамка из $n$ витков, охватывающая площадь $S$, лежит в плоскости $X Z$. В направлении оси $X$ распространяется плоская электромагнитная волна, электрический вектор которой параллелен оси Y: $\quad E_{y}=E_{0} \cos (\omega t-k x) . \quad$ Найти электродвижущую силу, индуцируемую в рамке. Длина волны много больше линейных размеров рамки.
9.9. Поток солнечной энергии на орбите Земли равен $S=1340 \mathrm{BT} / \mathrm{m}^{2}$. Чему равны амплитуды $E_{0}$ и $B_{0}$ плоской электромагнитной волны с такой плотностью потока энергии?
9.10. Как следует из формулы (65.14), давление электромагнитной волны на идеально отражающую поверхность при угле падения $\theta$ равно $p_{\theta}=2 w \cos ^{2} \theta$, где $w-$ плотность электромагнитной энергии в падающей волне. Допустим, что на поверхность падает изотропное излучение, т.е. плотность потоков энергии, приходящих со всевозможных направлений, одинакова. Найти давление волны на поверхность.
9.11. Найти амплитуду напряженности электрического поля излучения электрического диполя в плоскости, проходящей через диполь перпендикулярно его направлению, на расстоянии 10 км от диполя при мощности излучения диполя 10 кВт.
9.12. Среда между обкладками плоского конденсатора имеет диэлектрическую проиицаемость $\varepsilon$ и обладает небольшой электропроводимостью $\gamma$ (неидеальный диэлектрик). Емкость конденсатора C. К обкладкам конденсатора прикладывается разность потенциалов $U$, после чего они изолируются. Найти закои изменения величины зарядя со временем на каждой из обкладок конденсатора и ток смещения, протекающий через конденсатор.
Ответы
9.1. $\langle P\rangle=\mu_{0} \omega^{4} I_{0}^{2} \sigma^{2} /\left(12 \pi c^{3}\right)=0,124$ BT. 9.2. $S_{\max }=\mu_{0} \omega^{4} I_{0}^{2} \sigma^{2} /\left(16 \pi^{2} c^{3} r^{2}\right)=0,47 \times$ $\times 10^{-5} \quad \mathrm{BT} / \mathrm{M}^{2}$. 9.3. $l=I_{0} \sigma /(|q| c)=3,3 \cdot 10^{-4} \quad \mathrm{M}=0,33 \quad$ мм. 9.4. $\langle S\rangle=$ $=\left[\varepsilon_{0} /\left(4 \mu_{0}\right)\right]^{1 / 2} E_{0}^{2}=1,2 \cdot 10^{3} \quad \mathrm{\kappa BT} / \mathrm{cm}^{2}=12 \quad \Gamma В \mathrm{M} / \mathrm{M}^{2}$. 9.5. $\quad \varepsilon_{\text {макс }}^{\text {инд }}=\sqrt{2\langle S\rangle \mu_{0}} \times$ $\times\left(\varepsilon_{0} \mu_{0}\right)^{1 / 4} \sigma \omega=9$ мB. 9.6. $r=\frac{3 S R^{2}}{4 G m_{C} \rho}=0,5 \cdot 10^{-7}$ M. 9.7. $H_{\varphi}=-\varepsilon_{0} \varepsilon_{\text {crop }} \omega \Delta r \times$ $\times \cos \omega t /\left[2\left(d_{0}+\Delta \sin \omega t\right)^{2}\right]$. 9.8. $\mathscr{g}^{\text {инд }}=n k S E_{0} \sin \omega t$. 9.9. $E_{0}=1005 \mathrm{~B} / \mathrm{M}, B_{0}=$ $=3,35 \cdot 10^{-6}$ Тл. 9.10. $p=w_{\text {пол }}$.3. 9.11. $E_{0}=0,095 \quad$ B/M. 9.12. $Q=C U \mathrm{e}^{-\gamma t / c}$, $I_{\mathrm{cm}}=-(\gamma / \varepsilon) C U \mathrm{e}^{-\Omega / 2}$.
$\S 67$
Флуктуации
в контуре с током.
ШІум сопротивления
Флуктуации и Шумы
Шумы в контуре с током обусловлены дискретным характером носителей заряда и флуктуациями тока. Шумы принципиапьно полностью неустранимы, но могут быть уменьшены. В определенных условиях возможно детектирование полезных сигналов ниже уровня шумов.
Дробовой шум
