Обсуждаются основные понятия и величины, характеризуючие распределение и движение электрических зарядов.

Движение зарядов. Движение электронов и протонов обусловливает движение их зарядов. Поэтому можно говорить просто о движении зарядов, не оговаривая каждый раз их носителя. Это не только удобно, но и придает общность рассуждениям, поскольку многие явления зависят только от зарядов, их движения и т.д. и не зависят от свойств носителей этих зарядов, например массы носителей зарядов. Если существен не только заряд, но и свойства носителя заряда, например масса носителя заряда, то необходимо принимать во внимание не только заряд, но и другие характеристики носителя.

В теории электричества элементарный заряд считается точечным, в том числе и заряд протона. Положение заряда, его скорость и ускорение имеют такой же смысл, как и в случае материальных точек.
Непрерывное распределение зарядов. Элементарный заряд весьма мал. Поэтому в больиинстве макроскопических явлений, изучаемых в электричестве, участвует громадное число электрических зарядов и их дискретность никакого проявления не имеет. Например, на каждой из обкладок плоского конденсатора емкостью 10 мкФ при разности потенциалов 100 В содержится около $7\cdot {10}^{15}$ элементарных зарядов. При токе 1 А через поперечное сечение проводника проходит примерно $6\cdot {10}^{18}$ элементарных зарядов в секунду. Поэтому в большинстве случаев можно считать, что заряд как бы непрерывно распределен в пространстве, и не принимать во внимание его дискретность.
Объемная плотность зарядов. Объемной плотностью непрерывного распределения зарядов называется отношение заряда к объему:

где $e_l$ — элементарные заряды в объеме $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ (с учетом их знака); $\mathrm{\Delta }Q$ полный заряд, заключенный в $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$. Объем $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ является малым, но не бесконечно малым в математическом смысле. Мы говорим о $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ как о бесконечно малом объеме в физическом смысле, понимая под зтим, что он очень мал и, следовательно, его положение в пространстве достаточно точно характеризуется какой-то координатой точки, расположенной внутри него, т.е. у $\rho$ в левой части (4.1) можно взять в качестве аргумента координаты ( $x,y,z$ ) любой точки внутри $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ и написать $\rho (x,y,z)$. Однако в объеме $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ должно находиться достаточно много элементарных зарядов, так что небольшое изменение его не приводит к существенному изменению плотности $\rho$, вычисляемой по формуле (4.1). Следовательно, $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$ зависит от конкретных условий. В одних случаях малый объем $\mathrm{\Delta }V$ может удовлетворять необходимым условиям и считаться бесконечно малым физическим объемом, а в других случаях его нельзя считать таковым. Наконец, возможны условия, когда вообще не суцествует никакого объема $\mathrm{\Delta }V$, который может быть назван бесконечно малым физическим объемом. В этом случае невозможно пользоваться представлением о непрерывном распределении заряда и нельзя определить $\rho$ по формуле (4.1) как объемную плотность. Однако в большинстве случаев, которые рассматриваются в классической теории электричества, представление о непрерывном распределении заряда справедливо.

При определении объемной плотности $\rho$ по формуле (4.1) ее можно рассматривать как обычную математическую функцию, а заряд непре-
$2\wedge \mathrm{H}$ Матвссврывно размазанным по объему. Тогда из (4.1) следует, что полный заряд, заключенный в объеме $V$, равен
$$Q={\int }_V\rho \mathrm{d}V$$

где $\mathrm{d}V$ — дифференциал объема.
Концентрация зарядов. Кончентрацией зарядов определенного знака называется отношение числа зарядов к занимаемому ими объему:
$$n_{\pm }=\frac{\mathrm{\Delta }{n}_{\pm }}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\text{, }$$

где $\mathrm{\Delta }{n}_{\pm }$- число зарядов соответствующего знака в объеме $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$. Тогда [см. (4.1)]
$$\begin{array}{l}\rho =\frac{1}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}{e}_i^{(+)}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}{e}_l^{(-)}=\frac{e^{(+)}\mathrm{\Delta }{n}_{(+)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}+\frac{e^{(-)}\mathrm{\Delta }{n}^{(-)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}=\\ =e^{(+)}{n}_{(+)}+e^{(-)}{n}_{(-)}={\rho }^{(+)}+{\rho }^{(-)},\end{array}$$

где $e^{(+)}$- элементарный точечный зарял с соогветствующим знаком, ${\rho }^{(\pm )}=e^{(\pm )}{n}_{(\pm )}$- объсмная плотность зарядов. Физический бесконечно малый объем должен содержать достаточно много зарядов, чтобы опрелеление концентрации имело смысл.

Поверхностная плотность зарядов. Иногда заряд распределяется
в очень тонком слое вблизи некоторой поверхности. Если нас интересует действие заряда на расстояниях, много больших, чем толцина слоя, а не прочессы в этом слое, то можно предположить, что весь заряд сосредоточен на поверхности, или, другими словами, этот очень тонкий слой можио считать поверхностью. Поверхностная плотность заряда определяется формулой

где $\mathrm{\Delta }{S}_{\varphi }$ — бесконечно малая площадь в физическом смысле, $\mathrm{\Delta }Q$ заряд, приходящийся на площадь $\mathrm{\Delta }{S}_{\varphi }$ поверхности в тонком слое около нее.

У $\sigma$ в качествс аргумента можно поставить координаты точек поверхности и рассматривать ее как функцию этих координат. Обоснования и смысл этого точно такие же, как и для объемной плотности р в (4.1). Поэтому полный заряд на поверхности $S$ равен
$Q={\int }_S\sigma \mathrm{d}S$,
где $\mathrm{d}S$ — дифференциал площади поверхности.
Плотность тоха. Заряды, находящиеся в объеме $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$, движутся с различными скоростями, отличающимися не только по модулю, но и по направлению. Движение заряда приводит к переносу заряда 6 направлении скорости. Поэтому в результате различных движений зарядов, заключенных в объеме $\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }$, образуется некоторый средний перенос заряда, заключенного в этом объеме. Интенсивность этого переноса характеризуется плотностью тока, определяемой формулой

где ${\mathbf{v}}_{\mathrm{i}}$ — скорость заряда $e_i$.
Разбив сумму в (4.7) на суммы по положительным и отрицательным зарядам, получим
$$\mathbf{j}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _i{e}_i^{(+)}{\mathbf{v}}_i^{(+)}+\frac{1}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _i{e}_i^{(-)}{\mathbf{v}}_1^{(-)}=\frac{e^{(+)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _i{\mathbf{v}}_i^{(+)}+\frac{e^{(-)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\varphi }}\sum _i{\mathbf{v}}_i^{(-)}.$$

Формула (4.8) будет более наглядна, если входящие в нее величины выразить через средние скорости и концентрации зарядов:
$$\sum _i{v}_i^{(+)}=\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}\frac{1}{\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}}\sum _i{v}_1^{(+)}=\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}⟨{\mathbf{v}}^{(+)}⟩,$$

где
$$⟨v^{(+)}⟩=\frac{1}{\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}}\sum _i{v}_i^{(+)},$$

поскольку $\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}$- число зарядов, сумма скоростей которых стоит под знаком $\sum$. Аналогично преобразуется сумма по скоростям отрицательных зарядов. С учетом этого формула (4.8) приобретает вид:
$$\begin{array}{l}\mathbf{j}=e^{(+)}\frac{\mathrm{\Delta }{n}^{(+)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{\Phi }}}⟨{\mathbf{v}}^{(+)}⟩+e^{(-)}\frac{\mathrm{\Delta }{n}^{(-)}}{\mathrm{\Delta }{V}_{\mathrm{\Phi }}}⟨{\mathbf{v}}^{(-)}⟩=\\ \approx e^{(+)}{n}^{(+)}⟨{\mathbf{v}}^{(+)}⟩+e^{(-)}{n}^{(-)}⟨{\mathbf{v}}^{(-)}⟩={\rho }^{(+)}⟨{\mathbf{v}}^{(+)}⟩+{\rho }^{(-)}⟨{\mathbf{v}}^{(-)}⟩,\end{array}$$

где приняты во внимание соотношения (4.3) и (4.4). Таким образом, отрицательные и положительные заряды создают каждый свою плотность тока:
$$\begin{array}{l}{\mathbf{j}}^{(+)}={\rho }^{(+)}⟨{\mathbf{v}}^{(+)}⟩,{\mathbf{j}}^{(-)}={\rho }^{(-)}⟨{\mathbf{v}}^{(-)}⟩,\\ \mathbf{j}={\mathbf{j}}^{(+)}+{\mathbf{j}}^{(-)}.\end{array}$$
2*
Электрнческий ток через поверхность
В большинстве макроскопических явлений, изучаемых в электричестве, участвует гронадное число электрических зарядов и их дискретность никак не проявляется.
Какой-то конкретиый малый объем в одних спу чаях может счи таться бесконечно малым физическим объемом, а в других — его нельзя считать таковым. Возможны условия, когда вообще не существует никакого объема, который может быть лринят $3a$ бесконечно малый физическнй объем. Тогда нельзя перейти к картиие непрерывного распределеиия зарядов в объеме.
Направление плотности пока положительных зарядов совпадает с направлением их средней скорости, а отричательных зарядов противоположно ей.
Формулы (4.10) для упроцения написания обычно представляют в виде
где $\rho$ и $v$ — объемная плотность и скорость зарядов соответствующего знака. Если ток создается зарядами обоих знаков, то в правой части имеется в виду сумма двух членов, относящихся к положительным и отрицательным зарядам. Однако в большинстве случаев, рассматриваемых в теории электричества, ток обусловлен лишь движением отрицательных зарядов электронов и поэтому правая часть (4.11) содержит лишь произведение отрицательной объемной плотности заряда электронов на их среднюю скорость. Перенос отричательного заряда против скорости эквивалентен переносу положительного заряда в направлении скорости. При различных рассуждениях удобнее представлять себе, что ток обусловливается движением положительных зарядов, поскольку их пространственное перемещение совпадает с направлением плотности тока.
Сила тока через поверхность. Бесконечно малый элемент поверхности характеризуется вектором dS, модуль которого равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к поверхности, принятой за положительную.
Вычислим заряд, который в течение времени $\mathrm{d}t$ пересекает элемент поверхности $\mathrm{d}S$ (ріс. 9). Перемещение заряда за это время равно v dt. Следовательно, заряд, пересекающий $\mathrm{d}\mathbf{S}$, равен объемной плотности заряда, умноженной на объем косого цилиндра (рис. 9). Плоцадь основания и высота косого цилиндра равны $\mathrm{d}S$ и $h=v\mathrm{\Delta }t\cos \theta$. Поэтому заряд, пересекший $\mathrm{d}S$, равен $\mathrm{d}q=\rho v\mathrm{d}t\mathrm{d}S\cos \vartheta =\mathrm{d}tj\mathrm{d}S\cos \vartheta =\mathrm{d}t\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$
где $\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=j\mathrm{d}S\cos (\mathbf{j},\widehat{\mathrm{d}S})$. Силой тока через поверхность называется отношение заряда, пересекающего поверхность, ко времени. Поэтому бесконечно малая сила тока $\mathrm{d}I$, протекающего через элемент поверхиости dS [см. (4.12)], равна
$$\mathbf{d}I=\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t=\mathbf{j}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{. }$$

Сила тока, протекающего через конечную поверхность $S$ (рис. 10), равна интегралу по этой поверхности от элементов силы тока (4.13):

Если постоянный электрический ток течет по проводнику, то формула (4.14) сводится к определению силы тока как количества электричества, протекающего через поперечнее сечение проводника в секунду.