Обсуждаются основные понятия и величины, характеризуючие распределение и движение электрических зарядов.

Движение зарядов. Движение электронов и протонов обусловливает движение их зарядов. Поэтому можно говорить просто о движении зарядов, не оговаривая каждый раз их носителя. Это не только удобно, но и придает общность рассуждениям, поскольку многие явления зависят только от зарядов, их движения и т.д. и не зависят от свойств носителей этих зарядов, например массы носителей зарядов. Если существен не только заряд, но и свойства носителя заряда, например масса носителя заряда, то необходимо принимать во внимание не только заряд, но и другие характеристики носителя.

В теории электричества элементарный заряд считается точечным, в том числе и заряд протона. Положение заряда, его скорость и ускорение имеют такой же смысл, как и в случае материальных точек.
Непрерывное распределение зарядов. Элементарный заряд весьма мал. Поэтому в больиинстве макроскопических явлений, изучаемых в электричестве, участвует громадное число электрических зарядов и их дискретность никакого проявления не имеет. Например, на каждой из обкладок плоского конденсатора емкостью 10 мкФ при разности потенциалов 100 В содержится около $7 \cdot 10^{15}$ элементарных зарядов. При токе 1 А через поперечное сечение проводника проходит примерно $6 \cdot 10^{18}$ элементарных зарядов в секунду. Поэтому в большинстве случаев можно считать, что заряд как бы непрерывно распределен в пространстве, и не принимать во внимание его дискретность.
Объемная плотность зарядов. Объемной плотностью непрерывного распределения зарядов называется отношение заряда к объему:

где $e_{l}$ – элементарные заряды в объеме $\Delta V_{\phi}$ (с учетом их знака); $\Delta Q$ полный заряд, заключенный в $\Delta V_{\phi}$. Объем $\Delta V_{\phi}$ является малым, но не бесконечно малым в математическом смысле. Мы говорим о $\Delta V_{\phi}$ как о бесконечно малом объеме в физическом смысле, понимая под зтим, что он очень мал и, следовательно, его положение в пространстве достаточно точно характеризуется какой-то координатой точки, расположенной внутри него, т.е. у $\rho$ в левой части (4.1) можно взять в качестве аргумента координаты ( $x, y, z$ ) любой точки внутри $\Delta V_{\phi}$ и написать $\rho(x, y, z)$. Однако в объеме $\Delta V_{\phi}$ должно находиться достаточно много элементарных зарядов, так что небольшое изменение его не приводит к существенному изменению плотности $\rho$, вычисляемой по формуле (4.1). Следовательно, $\Delta V_{\phi}$ зависит от конкретных условий. В одних случаях малый объем $\Delta V$ может удовлетворять необходимым условиям и считаться бесконечно малым физическим объемом, а в других случаях его нельзя считать таковым. Наконец, возможны условия, когда вообще не суцествует никакого объема $\Delta V$, который может быть назван бесконечно малым физическим объемом. В этом случае невозможно пользоваться представлением о непрерывном распределении заряда и нельзя определить $\rho$ по формуле (4.1) как объемную плотность. Однако в большинстве случаев, которые рассматриваются в классической теории электричества, представление о непрерывном распределении заряда справедливо.

При определении объемной плотности $\rho$ по формуле (4.1) ее можно рассматривать как обычную математическую функцию, а заряд непре-
$2 \wedge \mathrm{H}$ Матвссврывно размазанным по объему. Тогда из (4.1) следует, что полный заряд, заключенный в объеме $V$, равен
\[
Q=\int_{V} \rho \mathrm{d} V
\]

где $\mathrm{d} V$ – дифференциал объема.
Концентрация зарядов. Кончентрацией зарядов определенного знака называется отношение числа зарядов к занимаемому ими объему:
\[
n_{ \pm}=\frac{\Delta n_{ \pm}}{\Delta V_{\phi}} \text {, }
\]

где $\Delta n_{ \pm}$- число зарядов соответствующего знака в объеме $\Delta V_{\phi}$. Тогда [см. (4.1)]
\[
\begin{array}{l}
\rho=\frac{1}{\Delta V_{\phi}} \sum_{\Delta V_{\phi}} e_{i}^{(+)}+\frac{1}{\Delta V_{\phi}} \sum_{\Delta V_{\phi}} e_{l}^{(-)}=\frac{e^{(+)} \Delta n_{(+)}}{\Delta V_{\phi}}+\frac{e^{(-)} \Delta n^{(-)}}{\Delta V_{\phi}}= \\
=e^{(+)} n_{(+)}+e^{(-)} n_{(-)}=\rho^{(+)}+\rho^{(-)},
\end{array}
\]

где $e^{(+)}$- элементарный точечный зарял с соогветствующим знаком, $\rho^{( \pm)}=e^{( \pm)} n_{( \pm)}$- объсмная плотность зарядов. Физический бесконечно малый объем должен содержать достаточно много зарядов, чтобы опрелеление концентрации имело смысл.

Поверхностная плотность зарядов. Иногда заряд распределяется
в очень тонком слое вблизи некоторой поверхности. Если нас интересует действие заряда на расстояниях, много больших, чем толцина слоя, а не прочессы в этом слое, то можно предположить, что весь заряд сосредоточен на поверхности, или, другими словами, этот очень тонкий слой можио считать поверхностью. Поверхностная плотность заряда определяется формулой

где $\Delta S_{\phi}$ – бесконечно малая площадь в физическом смысле, $\Delta Q$ заряд, приходящийся на площадь $\Delta S_{\phi}$ поверхности в тонком слое около нее.

У $\sigma$ в качествс аргумента можно поставить координаты точек поверхности и рассматривать ее как функцию этих координат. Обоснования и смысл этого точно такие же, как и для объемной плотности р в (4.1). Поэтому полный заряд на поверхности $S$ равен
$Q=\int_{S} \sigma \mathrm{d} S$,
где $\mathrm{d} S$ – дифференциал площади поверхности.
Плотность тоха. Заряды, находящиеся в объеме $\Delta V_{\phi}$, движутся с различными скоростями, отличающимися не только по модулю, но и по направлению. Движение заряда приводит к переносу заряда 6 направлении скорости. Поэтому в результате различных движений зарядов, заключенных в объеме $\Delta V_{\phi}$, образуется некоторый средний перенос заряда, заключенного в этом объеме. Интенсивность этого переноса характеризуется плотностью тока, определяемой формулой

где $\mathbf{v}_{\mathrm{i}}$ – скорость заряда $e_{i}$.
Разбив сумму в (4.7) на суммы по положительным и отрицательным зарядам, получим
\[
\mathbf{j}=\frac{1}{\Delta V_{\phi}} \sum_{i} e_{i}^{(+)} \mathbf{v}_{i}^{(+)}+\frac{1}{\Delta V_{\phi}} \sum_{i} e_{i}^{(-)} \mathbf{v}_{1}^{(-)}=\frac{e^{(+)}}{\Delta V_{\phi}} \sum_{i} \mathbf{v}_{i}^{(+)}+\frac{e^{(-)}}{\Delta V_{\phi}} \sum_{i} \mathbf{v}_{i}^{(-)} .
\]

Формула (4.8) будет более наглядна, если входящие в нее величины выразить через средние скорости и концентрации зарядов:
\[
\sum_{i} v_{i}^{(+)}=\Delta n^{(+)} \frac{1}{\Delta n^{(+)}} \sum_{i} v_{1}^{(+)}=\Delta n^{(+)}\left\langle\mathbf{v}^{(+)}\right\rangle,
\]

где
\[
\left\langle v^{(+)}\right\rangle=\frac{1}{\Delta n^{(+)}} \sum_{i} v_{i}^{(+)},
\]

поскольку $\Delta n^{(+)}$- число зарядов, сумма скоростей которых стоит под знаком $\sum$. Аналогично преобразуется сумма по скоростям отрицательных зарядов. С учетом этого формула (4.8) приобретает вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{j}=e^{(+)} \frac{\Delta n^{(+)}}{\Delta V_{\Phi}}\left\langle\mathbf{v}^{(+)}\right\rangle+e^{(-)} \frac{\Delta n^{(-)}}{\Delta V_{\Phi}}\left\langle\mathbf{v}^{(-)}\right\rangle= \\
\approx e^{(+)} n^{(+)}\left\langle\mathbf{v}^{(+)}\right\rangle+e^{(-)} n^{(-)}\left\langle\mathbf{v}^{(-)}\right\rangle=\rho^{(+)}\left\langle\mathbf{v}^{(+)}\right\rangle+\rho^{(-)}\left\langle\mathbf{v}^{(-)}\right\rangle,
\end{array}
\]

где приняты во внимание соотношения (4.3) и (4.4). Таким образом, отрицательные и положительные заряды создают каждый свою плотность тока:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{j}^{(+)}=\rho^{(+)}\left\langle\mathbf{v}^{(+)}\right\rangle, \mathbf{j}^{(-)}=\rho^{(-)}\left\langle\mathbf{v}^{(-)}\right\rangle, \\
\mathbf{j}=\mathbf{j}^{(+)}+\mathbf{j}^{(-)} .
\end{array}
\]
2*
Электрнческий ток через поверхность
В большинстве макроскопических явлений, изучаемых в электричестве, участвует гронадное число электрических зарядов и их дискретность никак не проявляется.
Какой-то конкретиый малый объем в одних спу чаях может счи таться бесконечно малым физическим объемом, а в других – его нельзя считать таковым. Возможны условия, когда вообще не существует никакого объема, который может быть лринят $3 a$ бесконечно малый физическнй объем. Тогда нельзя перейти к картиие непрерывного распределеиия зарядов в объеме.
Направление плотности пока положительных зарядов совпадает с направлением их средней скорости, а отричательных зарядов противоположно ей.
Формулы (4.10) для упроцения написания обычно представляют в виде
где $\rho$ и $v$ – объемная плотность и скорость зарядов соответствующего знака. Если ток создается зарядами обоих знаков, то в правой части имеется в виду сумма двух членов, относящихся к положительным и отрицательным зарядам. Однако в большинстве случаев, рассматриваемых в теории электричества, ток обусловлен лишь движением отрицательных зарядов электронов и поэтому правая часть (4.11) содержит лишь произведение отрицательной объемной плотности заряда электронов на их среднюю скорость. Перенос отричательного заряда против скорости эквивалентен переносу положительного заряда в направлении скорости. При различных рассуждениях удобнее представлять себе, что ток обусловливается движением положительных зарядов, поскольку их пространственное перемещение совпадает с направлением плотности тока.
Сила тока через поверхность. Бесконечно малый элемент поверхности характеризуется вектором dS, модуль которого равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к поверхности, принятой за положительную.
Вычислим заряд, который в течение времени $\mathrm{d} t$ пересекает элемент поверхности $\mathrm{d} S$ (ріс. 9). Перемещение заряда за это время равно v dt. Следовательно, заряд, пересекающий $\mathrm{d} \mathbf{S}$, равен объемной плотности заряда, умноженной на объем косого цилиндра (рис. 9). Плоцадь основания и высота косого цилиндра равны $\mathrm{d} S$ и $h=v \Delta t \cos \theta$. Поэтому заряд, пересекший $\mathrm{d} S$, равен $\mathrm{d} q=\rho v \mathrm{~d} t \mathrm{~d} S \cos \vartheta=\mathrm{d} t j \mathrm{~d} S \cos \vartheta=\mathrm{d} t \mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$
где $\mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}=j \mathrm{~d} S \cos (\mathbf{j}, \hat{\mathrm{d} S})$. Силой тока через поверхность называется отношение заряда, пересекающего поверхность, ко времени. Поэтому бесконечно малая сила тока $\mathrm{d} I$, протекающего через элемент поверхиости dS [см. (4.12)], равна
\[
\mathbf{d} I=\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t=\mathbf{j} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} \text {. }
\]

Сила тока, протекающего через конечную поверхность $S$ (рис. 10), равна интегралу по этой поверхности от элементов силы тока (4.13):

Если постоянный электрический ток течет по проводнику, то формула (4.14) сводится к определению силы тока как количества электричества, протекающего через поперечнее сечение проводника в секунду.