обсуждаются физическая картина возникновения и элементарная теория скин-эффекта и его следствий. Дается понятие об аномальном скин-эффекте.
Сущность явления. Постоянный ток распределяется равномерно по поперечному сечению прямолинейного проводника. $\mathrm{y}$ переменного тока благодаря индукционному взаимодействию различных элементов тока между собой происходит перераспределение плотности тока по поперечному сечению проводника, в результате чего ток сосредоточивается преимуиественно в поверхностном слое проводника. Концентрация переменного тока вблизи поверхности проводника называется скин-эффектом.
Физическая картина возникновения. Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течет ток (рис. 223). Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма сияовых линий при этом остается прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная $\partial \mathbf{B} / \partial t$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии $\partial \mathbf{B} / \partial t$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции
$\operatorname{rot} \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$
создает электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля (рис. 223). Вектор напряженности индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряженности электрического поля, создаючего ток, а в более дальних-совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, т. е. возникает скин-эффект.
Физическая картина возникновения скин-эффекта
Скин-эффект в бесконечном проводннке с плоской границей
– переменного тока благодаря индукционному взаимодействию различных элементов тока между собой происходит перераспределение плотности тока по поперечнону сечению проводника, в результате чего ток сосредоточивается преинущественно в поверхностном слое проводника.
В чем физическая причина зависимости сопротивления и индуктивности проводника от частоты переменного тока?
При каких условиях возникоет скин-эффект?
Э лементарная теория. Прежде всего необходимо получить уравнение, описывающее скин-эффект. Исходим из уравнения Максвелла
$\operatorname{rot} \mathbf{B}=\mu \mathbf{j}$
и уравнения (53.1). Подставляя в (53.2) выражение для $\mathbf{j}$ по закону Ома
\[
\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}
\]

и дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим
\[
\operatorname{rot} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\mu \gamma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\]

или с учетом (53.1)
$-\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E}=\mu \gamma \frac{\partial E}{\partial t}$.
Поскольку
$\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{E}=\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{E}-
abla^{2} \mathbf{E}$
и $\operatorname{div} \mathbf{E}=0$, окончательно имеем
\[

abla^{2} \mathbf{E}=\gamma \mu \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} .
\]

Для упрощения решения этого уравнения предположим, что ток течет по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство $y>0$ вдоль оси $X$ (рис. 224). Поверхностью проводника является плоскость $Y=0$. Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
j_{x}=j_{x}(y, t), j_{y}=j_{z}=0, \\
E_{x}=E_{x}(y, t), E_{y}=E_{z}=0 .
\end{array}
\]

Тогда [см. (53.7)]
\[
\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}}=\gamma \mu \frac{\partial E_{x}}{\partial t}
\]

Поскольку все величины в (53.10) гармонически зависят от $t$, можно положить $E_{x}(y, t)=E_{0}(y) \mathrm{e}^{i o t}$.

После подстановки (53.11) в (53.10) и сокращения обеих частей уравнения на $\exp (i \omega t)$ получаем уравнение для $E_{0}(y)$ : $\frac{\mathrm{d}^{2} E_{0}}{\mathrm{~d} y^{2}}=i \gamma \mu \omega E_{0}$.
Общее решение уравнения (53.12) таково:
$E_{0}=A_{1} \mathrm{e}^{-k y}+A_{2} \mathrm{e}^{k y}$.
Учитывая, что
$k=\sqrt{i \gamma \mu \omega}=\alpha(1+i), \alpha=\sqrt{\gamma \mu \omega / 2}$,
находим
$E_{0}(y)=A_{1} \mathrm{e}^{-\alpha y^{-i \alpha y}}+A_{2} \mathrm{e}^{\alpha y} \mathrm{e}^{i \alpha y}$.
При удалении от поверхности проводника ( $y \rightarrow \infty$ ) второе слагаемое в (53.15) неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, в (53.15) $A_{2}=0$ и в качестве физически приемлемого решения остается только первое слагаемое. Тогда решение задачи с учетом (53.11) имеет вид
\[
E_{x}(x, t)=A_{1} \mathrm{e}^{-\alpha y} \mathrm{e}^{i(\omega t-\alpha y)} .
\]

Взяв действительную часть этого выражения и перейдя с помощью соотношения $\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}$ к плотности тока, получим
\[
j_{x}(y, t)=\gamma A_{1} \mathrm{e}^{-\alpha y} \cos (\omega t-\alpha y) \text {. }
\]

Принимая во внимание, что $j_{x}(0,0)=j_{0}$ – амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объемной плотности тока в проводнике:
\[
j_{x}(y, t)=j_{0} \mathrm{e}^{-\alpha y} \cos (\omega t-\alpha y) \text {. }
\]

Толщина скин-слоя. Объемная плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает и на расстоянии $\Delta=1 / \alpha$ становится меньше в е раз. Поэтому практически весь ток сосредоточен в слое $\Delta$, называемом толциной скин-слоя. Она на основании (53.14) равна
\[
\Delta=[2 /(\gamma \mu \omega)]^{1 / 2} \text {. }
\]

Очевидно, что при достаточно большой частоте $\omega$ толщина скин-слоя может быть очень малой. Например, для хорошего проводника типа меди $\gamma=10^{7} \mathrm{OM}^{-1} \cdot \mathrm{M}^{-1}$ и при $\omega=10^{4} \mathrm{c}^{-1}$ толщина $\Delta=4$ мм. Если частота $\omega$ увеличивается в 100 раз до $\omega=10^{6} \mathrm{c}^{-1}$, то толщина скин-слоя уменьшается в 10 раз ( $\Delta \approx 0,4$ мм). Это означает, что при достаточно большой частоте в не очень тонких проводниках весь ток течет лишь в небольшой части поперечного сечения проводника, вблизи его поверхности. Поэтому ничего не изменится, если убрать проводящий материал из цилиндрической области внутри проводника и оставить лишь его цилиндрическую оболочку толщиной скин-слоя. Если проводник достаточно толстый, а частота тока не очень велика, то ток течет по всему поперечному сечению, лишь немного ослабевая к его оси. Например, при техническом токе частотой 50 Гц скин-эффект в обычных проводниках выражен очень слабо.
3 ависимость омического сопротивления проводника от частоты. Так как эффективная площадь поперечного сечения, по которому течет ток, с увеличением частоты уменьшается, то сопротивление проводника $c$ увеличением частоты увеличивается.
Зависимость индуктивности проводника от частоты. Энергия магнитного поля, по которому течет ток, равна
\[
W_{\mathrm{m}}=1 / 2 L I^{2} \text {. }
\]

Если ток течет по полому цилиндру, то поле вне цилиндра такое же, как и у такого же тока, текущего по сплошному цилиндру, а поля в полости цилиндра нет. Поэтому энергия поля тока, текущего по полому цилиндру, меньше энергии поля такого же тока, текущего по сплошному цилиндру. Это означает, что за счет скин-эффекта энергия магнитного поля $W_{\mathrm{m}}$ уменьшается. Отсюда на основании (53.20) следует, что с увеличением частоты индуктивность проводников уменьшается.
3акалка металлов токами высокой частоты. Благодаря скин-эффекту на высоких частотах джоулева теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет раскалить проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Это явление используется в важном с технологической точки зрения методе закалки металлов в промышленности.
А номальный скин-эффект. Изложенный механизм возникновения скинэффекта предполагает, что при своем движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Ясно, что такая идеализация возможна лишь в том случае, когда движение электронов происходит в областях, линейные размеры которых много больше средней длины свободного пробега электрона между столкновениями с атомами вещества. Поэтому изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного движения электронов. Такое соотношение между ними соблюдается в весьма широких пределах. Например, даже при частоте 10 ГГц и температуре 300 К толщина скин-слоя в меди равна примерно 1 мкм, а длина свободного пробега составляет около 0,01 мкм. Однако при очень низкой температуре ситуация резко меняется, поскольку проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. Например, при температуре жидкого гелия ( 4,2 К) проводимость чистой меди увеличивается приблизительно в $10^{4}$ раз. Это приводит к увеличению средней длины свободного пробега электронов в $10^{4}$ раз и уменьшению толщины скин-слоя в $\sqrt{10^{4}}=10^{2}$ раз. Таким образом, длина свободного пробега и толщина скин-слоя становятся соответственно равными 100 и 0,01 мкм. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.
В условиях аномального скин-эффекта в пределах нормального скин-слоя в течение всего свободного пробега могут двигаться только те электроны, скорости которых почти параллельны поверхности проводника. Все другие электроны в процессе свободного движения успевают покинуть «нормальный» скин-слой и значительно изменить направление движения. Из-за этого уменьшается проводимость материала и изменяется эффективная «аномальная» толщина $\Delta^{\prime}$ скин-слоя. Для того чтобы еe приближенно оценить, можно принять, что доля электронов проводимости имеет порядок $\Delta^{\prime} / l$ от того числа электронов, которые осуществляли бы проводимость в рамках «нормального» скин-эффекта ( $l$ – средняя длина свободного пробега электронов). Уменьшение этой доли приводит к уменьшению проводимости, учитываемой приближенно заменой в формулах $\gamma \rightarrow \beta \gamma\left(\Delta^{\prime} / l\right)$, где $\beta$ – числовой коэффициент порядка единицы. Производя эту замену в формуле (53.19), находим
$\Delta^{\prime}=[2 l /(\beta \gamma \mu \omega)]^{1 / 3}$.