Рассматриваются силы, действуюиие на токи, и объемные силы, действующие на несжимаемые магнетики.
Силы, действующие на ток.
Сила Лоренца. На точечный заряд $q$, движущийся со скоростью $\mathbf{v}$, действует сила причем $q$ включает в себя знак заряда, т.е. может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Формула (39.2) получается из (39.1б), если учесть, что $\mathrm{j}=n q \mathrm{v} V V=\rho \mathrm{v} V$, где $\rho$ – объемная плотность зарядов и, следовательно, $\rho \mathrm{d} V$ заряд в объеме $\mathrm{d} V$, а $\int_{V} \rho \mathrm{d} V=q$.
Сила и момент сил, действующие на магнитный момент. Допустим,
что круговой элементарный ток, создающий магнитный момент, течет по квадратной рамке со стороной $l$. Поместим начало координат в центр квадрата и направим ось $Z$ перпендикулярно плоскости рамки (рис. 157). Направление тока $I$ в рамке указано стрелками. Магнитюе поле произвольно, посторонние токи и ферромагнетики в области рамки отсутствуют (div $\mathbf{B}=0$, $\operatorname{rot} \mathbf{B}=0$ ). Определим силу и момент сил, действующих на магнитный момент рамки с током, Размеры рамки малы и необходимо учитывать изменение индукции магнитного поля в пределах рамки лишь до величин первого порядка малости относительно размеров рамки.

В соответствии с формулой (39.1a) на стороны $A B, B C, C D, D A$ рамки со стороны магнитного поля действуют силы:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}_{A B}=I l \mathbf{i}_{y} \times \mathbf{B}\left(\mathbf{i}_{x} l / 2\right), \mathbf{F}_{B C}=n\left[-\mathbf{i}_{x} \times \mathbf{B}\left(\mathbf{i}_{y} l / 2\right)\right], \\
\mathbf{F}_{C D}=I l\left[-\mathbf{i}_{y} \times \mathbf{B}\left(-\mathbf{i}_{x} l / 2\right)\right], \mathbf{F}_{D A}=I l\left[\mathbf{i}_{x} \times \mathbf{B}\left(-\mathbf{i}_{y} l / 2\right)\right],
\end{array}
\]

где $\mathbf{i}_{x}, \mathbf{i}_{y}$ – единичные векторы в направлении осей $X$ и $Y$. В аргументах В указаны расстояния от центра рамки до соответствующих сторон с учетом направления. Полная сила, действующая на рамку, равна
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}=\mathbf{F}_{A B}+\mathbf{F}_{B C}+\mathbf{F}_{C D}+\mathbf{F}_{D A}=I l \mathbf{i}_{y} \times\left[\mathbf{B}\left(\mathbf{i}_{x} l / 2\right)-\mathbf{B}\left(-\mathbf{i}_{x} l / 2\right)\right]+ \\
+I \mathbf{i}_{x} \times\left[\mathbf{B}\left(-\mathbf{i}_{y} l / 2\right)-\mathbf{B}\left(\mathbf{i}_{y} l / 2\right)\right] .
\end{array}
\]
Учитывая, что с сохранением лишь членов первого порядка малости
$\mathbf{B}\left( \pm \frac{\mathbf{i}_{x} l}{2}\right)=\mathbf{B}(0) \pm \frac{l}{2} \frac{\partial \mathbf{B}(0)}{\partial x}$,
$\mathbf{B}\left( \pm \mathbf{i}_{y} l / 2\right)=\mathbf{B}(0) \pm \frac{l}{2} \frac{\partial \mathbf{B}(0)}{\partial y}$,
преобразуем (39.3) к виду
$\mathbf{F}=I l^{2}\left(\mathbf{i}_{y} \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x}-\mathbf{i}_{x} \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y}\right)$.
Учитывая, что $I l^{2}=p_{\mathrm{m}}$ – абсолютное значение магнитного момента рамки с током, а также принимая во внимание хорошо известные соотношения между единичными координатными векторами ( $\mathbf{i}_{x} \times \mathbf{i}_{y}=\mathbf{i}_{z}, \mathbf{i}_{y} \times$ $\times \mathbf{i}_{z}=\mathbf{i}_{x}, \mathbf{i}_{z} \times \mathbf{i}_{x}=\mathbf{i}_{y}$ ), преобразуем (39.4) $\mathrm{K}$ виду:
$\mathbf{F}=\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \times \mathbf{i}_{x}\right) \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\hat{c} x}+\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \times \mathbf{i}_{y}\right) \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y}$,
где $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=\mathbf{i}_{2} p_{\mathrm{m}}$ – магнитный момент рамки. С помощью разложения двойного векторного произведения по формуле векторной алгебры $A \times(B \times C)=B(A \cdot C)-C(A \cdot B)$ получаем
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{F}=\mathbf{i}_{x}\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x}\right)-\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\left(\mathbf{i}_{x} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x}\right)+ \\
+\mathbf{i}_{y}\left(\mathbf{p} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y}\right)-\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\left(\mathbf{i}_{y} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y}\right)= \\
=\mathbf{i}_{x}\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x}\right)+\mathbf{i}_{y}\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y}\right)- \\
-\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}\right),
\end{array}
\]

где $\quad \mathbf{i}_{x} \cdot(\partial \mathbf{B} / \partial x)=\partial B_{x} / \partial x, \quad \mathbf{i}_{y} \cdot(\partial \mathbf{B} / \partial y)=\partial B_{y} / \partial y$. Так как $\operatorname{div} \mathbf{B}=\partial B_{x} / \partial x+\partial B_{y} / \partial y+\partial B_{z} / \partial z=$ $=0$, то
$-\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}\right)=\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \frac{\partial B_{z}}{\partial z}=$ $=\mathbf{p}_{\mathrm{m}}\left(\mathbf{i}_{z} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial z}\right)=\mathbf{i}_{z}\left(\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial z}\right)$,
157
К расчету действия силы на магнитный момент
– Сила на магнитный момент действует лишь в неоднороднон магнитном nоле.
Момент, сил, возникающий в результате действия нагнитного поля на нагнитный момент, стренится повернуть нагнитный момент до совпадения с векторон магнитной индукции поля.
Объемные силы, действующие на парамагнетик, направлены в сторону увеличения индукции магнитного поля, а у дианагиетиков – сторону уменьшения.
Как изменяется действие сил иа магнетик, если магнитная проницаемость среды отличается от магнитной постоянной и становится 60 льше или меньше магнитной п роницаемости магнетика ?
откуда
Эта формула показывает, что на магнитный момент сила действует лииь в неоднородном поле. Поскольку формула (39.6) выражает силу через магнитный момент $\mathbf{p}_{\mathbf{m}}$, выбранная выше специальная форма контура тока не играет роли и (39.6) справедлива для произвольного магнитного момента, пространственные размеры которого достаточно малы.

Для вычисления момента сил, действующих на магнитный момент, поступаем аналогично. Помещаем начало координат в центр рамки и вычисляем момент сил по формуле
\[
\mathbf{M}=I \int_{L} \mathbf{r} \times(\mathrm{d} \mathbf{l} \times \mathbf{B}) \text {. }
\]

Однако теперь вычисления упрощаются, поскольку расстояние $r$ имеет порядок размеров $l$ рамки и величину В надо учитывать только в нулевом порядке по размерам рамки, т.е. считать постоянной. В результате получаем

Эта формула показывает, что момент сил стремится повернуть магнитный момент до совпадения с вектором магнитной индукции поля.
$\mathbf{Q}$ бъемные силы, действующие на несжимаемые магнетики. Поскольку элемент объема $\mathrm{d} V$ магнетика с намагниченностью $\mathbf{J}$ обладает магнитным моментом
\[
\mathrm{d} \mathbf{p}_{\mathrm{m}}=\mathbf{J} \mathrm{d} V,
\]

на него [см. (39.6)] действует сила
\[
\mathrm{d} F_{x}=\mathbf{J} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x} \mathrm{~d} V, \mathrm{~d} F_{y}=\mathbf{J} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial y} \mathrm{~d} V, \mathrm{~d} F_{z}=\mathbf{J} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial z} \mathrm{~d} V .
\]

Очевидно, что эти выражения справедливы во всяком случае для жестких магнетиков, поскольку формула (39.6) получена в результате дифференцирования при $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=$ const.
Представим (39.10) в векторном виде. Учитывая, что
\[
\mathbf{J}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \mathbf{B},
\]

находим для объемной плотности силы выражение
\[
f_{x}=\frac{\mathrm{d} F_{x}}{\mathrm{~d} V}=\frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x}=\frac{1}{2} \frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \frac{\partial B^{2}}{\partial x}
\]

и т. д. Таким образом, объемная плотность силы, действующей на магнетик, равна
\[
\mathbf{f}=\frac{1}{2} \frac{\mu-\mu_{0}}{\mu \mu_{0}} \operatorname{grad} B^{2} .
\]

Это означает:
a) $y$ парамагнетиков $\mu>\mu_{0} \quad$ и поэтому объемная плотность силы направлена в сторону увеличения индукции поля;
б) $у$ диамагнетиков $\mu<\mu_{0}$ и поэтому объемная плотность силы направлена в сторону уменьшения индукции поля.

Различное поведение пара- и диамагнетиков в одном и том же поле очень наглядно демонстрируется многими опытами. Пусть магнитное поле создается в вакууме между полюсами сильного магнита (рис. 158). Ясно, что между полюсами магнита индукция поля убывает от центральной линии, соединяющей полюса, к периферии. Легкий висмутовый шарик, являющийся диамагнитным телом, выталкивается из области поля с максимальной индукцией (рис. 158). Парамагнитная жидкость, например водный раствор хлорного железа, втягивается в область поля с максимальной ицдукцией (рис. 159).

Если пространство между полюсами магнита заполнено материальной средой, то направление сил зависит от соотношения магнитных проницаемостей среды и тела. Если магнитная проницаемость тела больше, чем среды, то оно ведет себя как парамаг- коля нетик, если меньше – то как диамагнетик. Например, если между полюсами магнита поместить парамагнитную жидкость с достаточно большой проницаемостью (рис. 160), то на парамагнитный шарик, проницаемость которого меньше, чем жидкости, сила действует так же, как на диамагнитный шарик в вакууме.

Пример 39.1. По кольчу радиусом $r_{0}$ из очень тонкой проволоки течет ток силой I. Прочность проволоки на разрыв равна $f_{0}$. Кольчо помещено 160 в магнитное поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца, так, что действующие Парамагнитное тело в парамагсилы стремятся разорвать кольчо. Определить уитной среде с большей, чем индукцию, при которой кольчо разорвется. При- тью ведет себя как диамагнять, что $f_{0}=1,5 \mathrm{H} ; r_{0}=15 \mathrm{cм} ; I=10$ А. нитное тело
Силы на кольцо действуют по радиусу. Обозначая dl-элемент длины кольца, находим, что элемент силы, действующей на элемент dl в радиальном направлении, равен $\mathrm{dF}=I \mathrm{~d} \mathbf{l} \times \mathbf{B}$. Проведем через центр кольца в его плоскости ось $X$. Проекция элемента силы $\mathrm{dF}$ на ось $X$ равна $\mathrm{d} F_{x}=\mathrm{d} F \cos \alpha=I B \mathrm{~d} l \cos \alpha$, где $\alpha$ – угол между осью $X$ и радиусом, проведенным к элементу dl.

Так как $\mathrm{dl}=r_{0} \mathrm{~d} \alpha$, то выражение для силы, действующей на полукольцо в направлении положительных значений оси $X$, равно $F_{x}=I B r_{0} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \alpha \mathrm{d} \alpha=$ $=2 I B r_{0}$. Эта сила распределяется на два сечения провода в местах его пересечения с осью $Y$. Поэтому условие разрыва имеет вид $2 I B r_{0}=2 f_{0}$ и, следовательно, $B=f_{0} /\left(r_{0}\right)=1$ Тл.
Задачи
6.1. Имеется медная спираль радиусом а и плотностью $n$ вигков на 1 м. Витки намотаны так, что между ними имеются очень маленькие зазоры. Верхний конец спирали закреплен, а нижний конец соединен с проводяцим грузом массой $m$, лежащим на металличсском столе. Никакие силы упругости со стороны спирали на груз в этом положении не действуют. Считая, что зазоры между витками спирали уменьшаются равномерно, определить силу тока, который должен быть пропущен через спираль для того, чтобы ноднять груз со стола. Массой спирали пренебречь.
6.2. Два маленьких магнига с одинаковыми магнитными моментами $p_{\text {m }}$ и массами $m$ подвешены на легких длинных нитях. Расстояние $d$ между точками подвеса очень велико. Длиңы нитей одинаковы. Показать, что магниты сориентируются так, что будут притягиваться друг к другу. Определить угол отклонения нитей от вертикального направления. Влиянием магнитного поля Земли пренебреть.
6.3. Сфера радиусом $a$, равномерно заряженная с поверхіостной плотностью заряда $\sigma$, вращается вокруг оси, проходящей через центр сферы, с угловой скоростью $\omega$. Найти
магнитную индукцию в центре вращающейся сферы.
6.4. Чсму равсн магнитный момент, создаваемый точечным зарядом $q$, движущимся по окружности радиусом $r_{0}$ с постоянной угловой скоростью $\omega$ ?
6.5. В пространство между полюсами постоянного магнита, в котором существует магнитное поле $H_{0}$, вдвинута пластина из магнетика с ман’нитной проницаемостью $\mu$ (рис. 161). Найти силу, действующую на магнетик.
161
К вычнслению силы взаимодействия между магнитами
6.6. Найти силу в задаче 6.5 , если пластина является постоянным магнитом, намагниченность которого $J_{\mathrm{n}}$ совпадает по направлению c $\mathrm{H}_{0}$.

6.7. Найти силу, с которой однородный поверхностный ток плотностью $i_{\text {пов }}$, текущий по бесконечной плоскости, действует на длине $l$ параллельного ему тока силой $I$, протекающего по бесконечному линейному проводнику на расстоянии $d$ от плоскости. Обозначить $\mathrm{n}$ – нормаль к плоскости в направлении линейного проводника.
6.8. Ток силой $I_{1}$ течет по кольцевому проводиику радиусом $a$, лежащему в плоскости $(x, y)$ с центром в пачале координат, и составляет правый винт с по.тожительным направлением оси $Z$. Ток силой $I_{2}$ течет по бесконечно длинному прямому проводнику параллельно оси $X$ в направлении ее положительных зиачений, пересекая ось $Z$ в точке $z=d$. Определить силу, действующую на прямолинейный ток.
6.9. Найти магиитную индукцию в центре соленоида длиной $L$ с $n$ витками, имеющего квадратное сетение со стороной а. Сила тока, текущего по обмотке соленоида, равна $I$.
6.10. Диск радиусом $r$ вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпешдикулярной новерхности диска и проходящей через его центр. Найти индукцию магнитного поля на оси вращения диска на расстоянии $h$ от его плоскости. Поверхностная плотность заряда равна $\sigma$.
6.11. Поляризованный диэлектрический шар радиусом а вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через его центр. Поляризованность Р постоянна и совпадает по направлению с $\omega$. Найти магнитную нндукцию в точках пересечения поверхности шара с осью вращения.
6.12. Бесконечный прямолинейный цилиндрический пучок кругового гоперечного сечения радиусом $a$ с постоянной объемной плотностью заряда $\rho$ движется в
направлении своей оси со скоростью v. Найти магнитную индукцию.
6.13. По бесконечному прямолипейному цилиндрическому проводнику радиусом $a$, ось которого совпадает с осью $Z$ декартовой системы координат, течет ток силой $I$ в положительном направлении оси $Z$. Найти векторный потенциал.
6.14. Найти аксиальную составляющую векторного потенциала в центре спирали, по которой течет ток силой I. Данные о спирали приведены в задаче 1.7.
6.15. Диэлектрический шар радиусом а вранается с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через его центр. Постоянная объсмная плотность заряда шара равна $\rho$. Найти индукцию внутри шара на оси врацения.
6.16. Однородно заряженный круглый цилиндр радиусом $a$ и длиной $l$, заряд которого $Q$, вращается с угловой скоростью $\omega$ вокрут своей оси. Найти его дипольный магнитный момент.
6.17. Найти в дипольном приближении взаимную индуктивность двух круговых токов радиусами $a_{1}$ и $a_{2}$, лежацих в одной плоскости. Расстояние между витками равно $r$.
6.18. Ось прямого круглого цилиидра совпадает с осью $Z$ декартовой системы координат, начало которой находится в центре цилиндра. Цилиндр однородіо намагіичен. Вектор намагниченности совпадает с положительным направлением оси $Z: \quad \mathbf{J}=J \mathbf{i}_{z} . \quad$ Найти магнитнуг индукцию па оси цилиндра, если радиус его понеречного сечения $a$, а длина $l$.
6.19. Сферический слой из магнетика, радиусы внутренней и внешней концентрических поверхностей которого равны $r_{1}$ и $r_{2}$, однородно намагничен. Вектор намагниченности параллелен оси $Z$ декартовой системы координат, центр которой совпадает с центром поверхностей, и равен $J \mathbf{i}_{2}$. Найти напряженность магнитного поля на оси $Z$ для положительных значений $z$.
6.20. Прямой цилиндр, длина которого $l$, а радиус кругового сечения $a$, однородно намагничен. Вектор намагниченности параллелен оси цилиндра и равен J. Найти магнитную индукцию в центре цилиндра, считая $l \gg a$.
6.21. Сфера с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью $\omega$. Найти ее магнитный дипольный момент.
6.22. Ток силой $I$ течет по бесконечному прямолинейному проводиику, параллельному плоской поверхности раздела между средой с магнитной проницаемостью $\mu_{0}$, в которой находится проводник с током, и средой с магнитной проницаемостью $\mu$. Найти силу,
действующую на участок $!$ проводника. Расстояние от проводника до поверхности раздела равно $d$.
6.23. На поверхность деревянного шара намотаны очень плотно в один слой витки тонкой проволоки. Плоскости всех витков можно считать перпендикулярными одному и тому же диаметру шара. Витки покрывают всю поверхность шара. Радиус шара $a$, полное число витков $n$. По обмотке протекает ток силой $I$. Найти магнитную индукцию в центре шара.
6.24. В цилиндрическом проводиике радиусом а имеется цилиндрическая полость радиусом $b$, ось которой параллельна оси проводника и расположена на расстоянии $d$ от нее. По проводнику протекает ток с объемной плотностью $j$. Найти магнитную индукцию в точках диаметра полости, совпадающего с диаметром проводника.
Ответы
6.1. $I=\frac{1}{n a} \sqrt{\frac{2 m g}{\pi \mu_{0}}}$.6.2. $\theta=\frac{3}{2} \frac{p_{m}^{2}}{\pi \mu_{0} d^{4}} \frac{1}{m g}$. 6.3. $\quad \mathbf{B}={ }^{2} / 3 \mu_{0} \sigma a \omega$. 6.4. $p_{m}=q \omega r_{0}^{2} / 2$.
6.5. $\quad F_{x}=1 / 2\left(\mu-\mu_{0}\right) H_{0}^{2} l d$. 6.6. $\quad F_{x}=\mu_{0} J_{n}\left(H_{0}+J_{n}\right) l d$. 6.7. $\quad \mathbf{F}=-1 / 2 \mu_{0} i_{\text {nOB }} I \mathbf{n} l$.
6.8. $\quad \mathbf{F}=-i_{y} \mu_{0} I_{1} I_{2}\left(1-d / \sqrt{d^{2}+a^{2}}\right)$.
6.9. $B=\mu_{0} n I\left(1-\frac{2}{\pi} \arcsin \frac{a^{2}}{L^{2}+a^{2}}\right)$. $=1 / 2 \mu_{0} \rho \mathbf{v} \times \mathbf{r}$ при $0<r<a, \mathbf{B}=1 / 2 \mu_{0} \rho a^{2} \mathbf{v} \times \mathbf{r} / r^{2}$ при $a<r<\infty$. 6.13. $A_{z}=$ $=-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{r^{2}}{a^{2}}+$ const при $r<a, A_{z}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln r+$ const при $a<r<\infty$, где $r=$ $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. 6.14. $\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \ln \left(n \pi \operatorname{tg} \alpha+\sqrt{1+\pi^{2} n^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha}\right)$. 6.15. 0 . 6.16. $\quad Q a^{2} \omega / 4$.
6.17. $L_{12}=\pi \mu_{0} a_{1}^{2} a_{2}^{2} /\left(4 r^{3}\right)$ 6.18. $B_{z}=\frac{\mu_{0}}{2} J\left(\frac{z+l / 2}{\sqrt{a^{2}+(z+l / 2)^{2}}}-\frac{z-l / 2}{\sqrt{a^{2}+(z-l / 2)^{2}}}\right)$.
6.19. $H_{z}=0$ при $0<z<r_{1}, H_{z}=-\frac{J\left(z^{3}+2 r_{1}^{3}\right)}{3 z^{3}}$ при $r_{1}<z<r_{2}, H_{z}=2 J\left(r_{2}^{3}-\right.$ $\left.-r_{1}^{3}\right) /\left(3 z^{3}\right) \quad$ при $\quad r_{3}<z<\infty$. 6.20. $\quad \mathbf{B}=\mu_{0} J\left(1-a^{2} / l^{2}\right)$ 6.21. $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}=4 / 3 \pi \sigma a^{4} \omega$.
6.22. $F=-\frac{\mu_{0} l}{4 \pi d} \frac{\mu-\mu_{0}}{\mu+\mu_{0}} I^{2}$. 6.23. $\mu_{0} n I /(4 a)$. 6.24. $\mu_{0} j d / 2$.

$\S 40$
Диамагнетики
$\S 41$

Парамагнетики
$\S 42$

Ферромагнетики
Магнетики
Феноменологически свойства магнетика в магнитном поле учитываются посредством магнитной проницаемости $\mu$. Зависимости $\mu$ от различных параметров весьма многообразны, как многообразны сами магнетики. Эти зависимости интерпретируются построением моделей магнетиков, учитывающих особенности их поведения в магнитном поле.