Обсуждаются физическая картина движения энергии вдоль линий передач и основные характеристики линий передач.
Механизм компенсации потерь энергии на джоулеву теплоту. Рассмотрим участок проводника круглого сечения радиусом $r$, вдоль которого течет постоянный ток с объемной плотностью ј (рис. 248). По закону Ома в дифференциальной форме напряженность электрического поля, параллельная оси проводника, равна
\[
\mathbf{E}=\mathbf{j} / \gamma \text {. }
\]
Вследствие граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического поля точно такое же поле существует вне проводника около его поверхности.
Вычислим по формуле (59.9) поток электромагнитной энергии сквозь замкнутую поверхность цилиндра, боковая поверхность которого совпадает с поверхностью проводника длиной $l$, а основаниями являются круглые сечения проводника.
Напряженность магнитного поля на поверхности проводника направлена по касательной к поверхности в плоскости, перпендикулярной оси проводника (и вектору j) (рис. 248), и равна
\[
H=j \pi r^{2} /(2 \pi r)=j /(2 r) \text {. }
\]
Таким образом, вектор Пойнтинга (59.7) направлен по радиусу к оси проводника и равен
\[
S=E H=j^{2} r /(2 \gamma) \text {. }
\]
Это означает, что электромагнитная энергия втекает в проводник из окружающего пространства через его боковую поверхность. Поток энергии через основания цилиндра отсутствует. На участке проводника длиной $l$ за 1 с в проводник втекает знергия
\[
P=S \cdot 2 \pi r l=\left(j^{2} / \gamma\right) \pi r^{2} l .
\]
По закону Джоуля-Ленца на длине $l$ проводника в 1 с выделяется количество теплоты
\[
P^{\prime}=\left(j^{2} / \gamma\right) \pi r^{2} l \text {. }
\]
Сравнение (60.4) с (60.5) показывает, что вся выделяемая в проводнике при прохождении электрического тока в виде теплоты энергия поступает из окружающего пространства через боковую поверхность проводника. Следовательно, передаваемая с помошью электрического тока энергия движется в окружающем проводник пространстве. Провода играют роль направляючих, вдоль которых движется электромагнитная энергия, причем плотность потока энергии в любой точке пространства определяется вектором Пойнтинга.
Движение энергии вдоль кабеля. По центральному проводу ток движется в одном направлении, а по оболочке кабеля – в противоположном (рис. 249). Между центральной жилой и оболочкой находится диэлектрик. Для упрощения расчетов предположим, что сопротивление проводов кабеля ничтожно мало и им можно пренебречь, т. е. можно считать, что энергия передается без потерь. Тогда потенциал вдоль центральной жилы и оболочки постоянен, а изменение потенциала между ними происходит на потребителе энергии и на источнике (сторонняя э. д. с.). Пусть падение потенциала на потребителе энергии равно $U$. Это означает, что разность потенциалов между жилой и оболочкой равна $U$. Следовательно, между ними существует электрическое поле. Вследствие аксиальной симметрии задачи и того, что ток течет вдоль кабеля без сопротивления, напряженность этого поля направлена по радиусу, а касательная составляющая $E_{\alpha}$ отсутствует. Ось $Z$ цилиндрической системы координат совпадает с осью кабеля. Силовые линии магнитного поля являются концентрическими окружностями с центром на оси кабеля. Напряженность поля отлична от нуля только в пространстве между жилой и оболочкой, а вне кабеля она равна нулю. Радиальная составляюцая вектора Пойнтинга равна нулю. Уравнение Максвелла $\operatorname{div} \mathbf{D}=\rho$ для пространства между жилой и оболочкой принимает вид
$\operatorname{div} \mathbf{E}=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r E_{r}\right)=0$,
где использована запись операции дивергенции в цилиндрических координатах и принято во внимание, что аксиальная и касательная составляющие вектора $\mathbf{E}$ отсутствуют. Из (60.6) получаем
\[
E_{r}=a_{0} / r \text {, }
\]
где $a_{0}$ – постоянная интегрирования, определяемая условиями задачи. Разность потенциалов между жилой и оболочкой равна $U=\int_{r_{1}}^{r_{2}} E_{r} \mathrm{~d} r=a_{0} \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)$,
248
Механизм компенсации потерь тока на выделение джоулевой теплоты
249
Передача элекгромагннтной эғергии с помощью тока по кабелю
– Передаваемая с понощью электрнческого тока энергня движется в пространстве, окружающем проводники. Проводннки нграют роль направляющих, вдоль которых движется электромагнитная энергня. Джоулева теплота в проводннке выделяетс за счет электромагнитной энергни, поступающей в проводник чере его поверхность из окружающего пространства.
Что такое характеристический инпеданс линии и постоянная расп ространеии ? Опишите физические процессы, приводящие к отражению энергии от нагрузки. При каком условии отражение отсутствует и вся передаваемая по линии энергия поглощается нагрузкой?
которая позволяет найти значение постоянной $a_{0}=U / \ln \left(r_{2} / r_{1}\right)$. С учетом этого значения формула (60.7) принимает вид
\[
E_{r}=\frac{U}{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)} \frac{1}{r} .
\]
Напряженность магнитного поля в кабеле равна
\[
H_{\alpha}=I /(2 \pi r) \text {, }
\]
как это сразу следует из закона полного тока, с учетом аксиальной симметрии поля. Из (60.9) и (60.10) получаем
\[
S_{z}=E_{r} H_{\alpha}=\frac{1}{2 \pi} \frac{U I}{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)} \frac{1}{r^{2}} \text {. }
\]
Эта величина представляет собой плотность потока электромагнитной энергии, направленного параллельно оси кабеля в пространстве между жилой и оболочкой. Вне кабеля, а также в центральной жиле и в оболочке никакого потока энергии нет, поскольку там вообще отсутствует электрическое поле при принятом допущении об отсутствии сопротивления. В 1 с времени через поперечное сечение кабеля проходит электромагнитная энергия
\[
P=\int_{\sigma} S_{z} \mathrm{~d} \sigma=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \alpha \int_{r_{0}}^{r_{2}} \frac{\mathrm{d} r}{r} \cdot \frac{U I}{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)}=U I .
\]
При силе тока $I$, протекающего через нагрузку при разности потенциалов $U$, развивается мощность
\[
P_{\text {н }}=I U \text {. }
\]
Сравнение (60.12) с (60.13) показывает, что вся используемая потребителем энергия движется вдоль кабеля в пространстве между жилой и оболочкой в виде электромагнитной энергии.
Ничего не изменяется в принципиальном отношении и для переменного тока не очень высокой частоты. Если ток в кабеле меняет направление на обратное, то составляющие $E_{r}$ и $H_{\alpha}$ векторов поля также изменяют направление на обратное, а направление вектора Пойнтинга остается прежним. Позтому хотя направление тока меняется на обратное, направление движения электромагнитной энергии сохраняется: она все время движется от источника к потребителю.
В других линиях передачи в принципиальном смысле картина движения энергии не изменяется, лишь усложняется конфигурация полей и пути, по которым движется энергия.
Л иния передачи для переменного тока. При не очень больших частотах и достаточно малых расстояниях, когда можно считать выполненными условия квазистационарности, токи в линии полностью описываются методами, изложенными в гл. 8. При несоблюдении условий квазистационарности картина усложняется, что очевидно уже из того обстоятельства, что сила тока в один и тот же момент времени в различных участках линии различна. Любой участок проводника имеет определенную индуктивность и емкость, что делает всю линию передачи электрической цепью с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями, индуктивностями.
Уравнения для силы тока и напряжения. Прежде всего необходимо найти закон, по которому сила тока и напряжение между проводниками изменяются вдоль линии. Эквивалентная схема распределения индуктивности, емкости и сопротивления показана на рис. 250. Индуктивность, емкость и сопротивление, приходящиеся на 1 м длины линии, обозначим $L, C, R$. Импедансы $Z_{1}$ и $Z_{2}$ также отнесены к 1 м длины. Участок $\Delta x$ линии обладает последовательно включенным импедансом, дающим комплексное сопротивление
\[
Z_{1} \Delta x=\left(R_{1}+i \omega L\right) \Delta x
\]
и параллельно включенным импедансом $Z_{2}$, дающим комплексную проводимость
\[
\frac{1}{Z_{2}} \Delta x=\left(\frac{1}{R_{2}}+i \omega C\right) \Delta x \text {. }
\]
Пусть к началу участка линии $\Delta x$ приложено напряжение $U$, а сила тока равна I. В конце участка эти величины равны соответственно $U+\Delta U, I+\Delta I$. Утечки через изоляцию здесь и в последующем не учитываются.
Применим правило Кирхгофа для внешнего контура всего участка, взяв в качестве положительного направления обход против часовой стрелки:
\[
-Z_{1} \frac{\Delta x}{2}(I+\Delta I)-Z_{1} \frac{\Delta x}{2} I=U+\Delta U-U .
\]
Разделив (60.16) на $\Delta x$, получим
\[
-Z_{1} \Delta I / 2-Z_{1} I=\Delta U / \Delta x \text {. }
\]
Если $\Delta x \rightarrow 0$, то первое слагаемое в левой части (60.17) стремится $\kappa$ нулю $(\Delta I \rightarrow 0)$. Тогда
\[
\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} x}=-Z_{1} I \text {. }
\]
14 А. Н. Матвеев
Аналогично, правило Кирхгофа, применяемое к левому контуру, включающему импеданс $Z_{2} / \Delta x$, дает
\[
\frac{Z_{2}}{\Delta x} \Delta I-Z_{2} \frac{\Delta x}{2} I=-U,
\]
откуда при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем
\[
\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} x}=-\frac{1}{Z_{2}} U \text {. }
\]
Дифференцируя обе части (60.18) по $x$ и выражая $\mathrm{d} I / \mathrm{d} x$ с помощью (60.20), находим следующее уравнение для $U$ :
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} U}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}} \mathrm{U} \text {. }
\]
Аналогично, дифференцирование (60.20) по х и использование (60.18) приводит к уравнению для силы тока:
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} I}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}} I \text {. }
\]
Уравнения (60.21) и (60.22) называются уравненнями линии передачи.
$\mathbf{X}$ арактеристический импеданс и постоянная распространения. Общее решение уравнений линии передачи имеет вид (например, для $U$ ):
\[
U=A \mathrm{e}^{-\alpha x}+B \mathrm{e}^{\alpha x} \text {, }
\]
причем для $\alpha$, называемой постоянной распространення, после подстановки (60.23) в (60.21) находим выражение:
\[
\alpha=\sqrt{Z_{1} / Z_{2}} \text {. }
\]
Аналогичный вид имеет также и решение уравнения (60.22):
\[
I=A_{1} \mathrm{e}^{-x x}+B_{1} \mathrm{e}^{\alpha x} \text {. }
\]
Подставляя решения (60.23) и (60.25) в (60.18) и (60.20), находим связь между постоянными $A, B, A_{1}, B_{1}$ :
\[
A_{1}=A / Z_{л}, B_{1}=-B / Z_{л},
\]
где
\[
Z_{\Omega}=\sqrt{Z_{1} Z_{2}}
\]
– характеристический нмпеданс линин. Чтобы выяснить его смысл, предположим, что линия длиной $l$ оканчивается нагрузкой, импеданс которой равен характеристическому (рис. 250). На основании равенств $(60.23)$ – (60.27) для напряжения на выходе линии, т. е. на нагрузке $Z_{\text {л}}$, можно написать:
\[
U_{n}=I_{n} Z_{n} \text {, }
\]
или
\[
A \mathrm{e}^{-\alpha l}+B \mathrm{e}^{a l}=Z_{n}\left(\frac{A}{Z_{n}} \mathrm{e}^{-\alpha l}-\frac{B}{Z_{n}} \mathrm{e}^{\alpha l}\right) .
\]
Отсюда следует, что $B=0, A=U_{\text {вх }}$, где $U_{\text {вх }}$ – напряжение на входе в линию при $x=0$. Таким образом, напряжение и сила тока в линии определяются выражениями:
\[
U=U_{\text {вх }} \mathrm{e}^{-\alpha x}, I=U_{\text {вх }} \mathrm{e}^{-\alpha x} / Z_{\pi} .
\]
Следовательно, входной импеданс линии равен характеристическому:
\[
Z_{\text {вх }}=U_{\mathrm{Bx}} / I_{\mathrm{Bx}}=Z_{\Omega} \text {. }
\]
Это означает, что если линия оканчивается нагрузкой с характеристическим импедансом, то ее входной импеданс равен характеристическому, независимо от длины, т.е. в этом случае ток передается по линии без изменения отношения иапрясения к силе тока.
$\mathbf{X}$ арактеристическое сопротивление. В большинстве практически важных случаев омические сопротивления элементов линии значительно меньше соответствуюцих индуктивных и емкостных сопротивлений $\left(R_{1} \ll \omega L, 1 / R_{2} \ll \omega C\right.$ ) и ими можно пренебречь. При этом условии характеристический импеданс
\[
Z_{\text {л }}=\sqrt{Z_{1} Z_{2}}=\sqrt{\frac{R_{1}+i \omega L}{1 / R_{2}+i \omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}
\]
является действительной величиной, т. е. сопротивлением, и называется характеристическим сопротивлением.
Характеристическое сопротивление зависит от формы и размеров проводников, от расстояния между ними и других факторов, от которых зависят емкость и индуктивность участков линии. Например, характеристическое сопротивление параллельных цилиндрических проводников радиусом $a$, расстояние между осями которых $D$, равно
$Z_{л}=276 \log (D / a)$
Принимается, что проводники расположены в среде, относительная диэлектрическая проницаемость которой близка к единице (вакуум, воздух и т. д.).
Скорость распространения. Выше было рассмотрено распределение силы тока и напряжения вдоль линии передач в некоторый момент времени. Если на входе сила тока и напряжение периодически изменяются с частотой $\omega$, то и во всех участках линии они изменяются с той же частотой. При тех условиях, когда характеристический импеданс является вещественной величиной (60.32), постоянная $\alpha$ [см. (60.24)] является чисто мнимой:
\[
\alpha=i \omega \sqrt{L C} \text {. }
\]
Поэтому, взяв зависимость величин от времени в виде $\exp i \omega t$, можно на основании (60.30) написать:
\[
\begin{array}{l}
U(x, t)=U_{0} \exp [i(\omega t-\omega \sqrt{L C} x)], \\
I(x, t)=\left(U_{0} / \sqrt{L / C}\right) \exp [i(\omega t-\omega \sqrt{L C} x)] .
\end{array}
\]
$14^{*}$
Формула (60.35) описывает волну с частотой $\omega$, распространяющуюся вдоль оси $X$ со скоростью
\[
v=1 / \sqrt{L C} \text {. }
\]
Напомним, что в этой формуле $L$ и $C$ являются емкостью и индуктивностью линии передачи, отнесенными к 1 м длины. Для двух тонких цилиндрических проводников радиусами $a$, находящихся в вакууме на расстоянии $D$ один от другого, емкости и индуктивности 1 м длины линии равны:
\[
C=\varepsilon_{0} /[2 \ln (D / a)], L=2 \mu_{0} \ln (D / a)
\]
и поэтому скорость распространения волны равна
\[
v=1 / \sqrt{L C}=1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}=c \text {, }
\]
$\mathbf{O}^{\text {тражение. Если сопротивление нагрузки равно характеристическому, }}$ то вся передаваемая по линии энергия поглощается нагрузкой. Говорят, что нагрузка и линия передачи согласованы между собой. Если такого согласования нет, то часть энергии отражается от нагрузки и движется по линии навстречу первоначальному потоку энергии.
Рассмотрим в качестве примера закороченную на конце линию передачи, т. е. когда $U_{\text {н }}=0$. Уравнения (60.23) и (60.25) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
0=A \mathrm{e}^{-i \beta l}+B \mathrm{e}^{i \beta t}, \\
I_{\mathrm{n}}=A \mathrm{e}^{-i \beta l} / \rho-B \mathrm{e}^{i \beta l} / \rho,
\end{array}
\]
где для упроцения написания формул введены обозначения: $\beta=\omega \sqrt{L C}$, $\rho=\sqrt{L / C}$. Разрешая эти уравнения относительно $A$ и $B$, получаем
\[
A=I_{н} \rho \mathrm{e}^{i \beta 1} / 2, \quad B=-I_{n} \rho^{-i \beta l} / 2 .
\]
Поэтому выражения (60.23) и (60.25) для напряжения и силы тока вдоль линии передачи записываются следующим образом:
\[
U=I_{0} \frac{\rho}{2}\left[\mathrm{e}^{-i \beta(x-l)}-\mathrm{e}^{i \beta(x-l)}\right],
\]
$I=\frac{I_{0}}{2}\left[\mathrm{e}^{-i \beta(x-l)}+\mathrm{e}^{i \beta(x-l)}\right]$.
Поскольку зависимость величин от времени характеризуется множителем $\exp (i \omega t)$, можно заключить, что первые слагаемые в правой части этих формул описывают волну, распространяющуюся в положительном направлении оси $X$, а вторые – в отрицательном (т. е. описывают отраженную от закороченного конца линии волну). Отсюда можно заключить, что не только невозможность полностью передать энергию в нагрузку при отсутствии согласования с линией диктует желательность согласования. Если сигналы передаются в виде импульсов, то последовательные отражения от нагрузки, а затем снова от входа, настолько искажают сигнал, приходящий в нагрузку, что с ним становится трудно работать.
