Главная > Электричество и магнетизм (А.Н. Матвеев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Обсуждаются физическая картина движения энергии вдоль линий передач и основные характеристики линий передач.
Механизм компенсации потерь энергии на джоулеву теплоту. Рассмотрим участок проводника круглого сечения радиусом r, вдоль которого течет постоянный ток с объемной плотностью ј (рис. 248). По закону Ома в дифференциальной форме напряженность электрического поля, параллельная оси проводника, равна
E=j/γ

Вследствие граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического поля точно такое же поле существует вне проводника около его поверхности.

Вычислим по формуле (59.9) поток электромагнитной энергии сквозь замкнутую поверхность цилиндра, боковая поверхность которого совпадает с поверхностью проводника длиной l, а основаниями являются круглые сечения проводника.

Напряженность магнитного поля на поверхности проводника направлена по касательной к поверхности в плоскости, перпендикулярной оси проводника (и вектору j) (рис. 248), и равна
H=jπr2/(2πr)=j/(2r)

Таким образом, вектор Пойнтинга (59.7) направлен по радиусу к оси проводника и равен
S=EH=j2r/(2γ)

Это означает, что электромагнитная энергия втекает в проводник из окружающего пространства через его боковую поверхность. Поток энергии через основания цилиндра отсутствует. На участке проводника длиной l за 1 с в проводник втекает знергия
P=S2πrl=(j2/γ)πr2l.

По закону Джоуля-Ленца на длине l проводника в 1 с выделяется количество теплоты
P=(j2/γ)πr2l

Сравнение (60.4) с (60.5) показывает, что вся выделяемая в проводнике при прохождении электрического тока в виде теплоты энергия поступает из окружающего пространства через боковую поверхность проводника. Следовательно, передаваемая с помошью электрического тока энергия движется в окружающем проводник пространстве. Провода играют роль направляючих, вдоль которых движется электромагнитная энергия, причем плотность потока энергии в любой точке пространства определяется вектором Пойнтинга.
Движение энергии вдоль кабеля. По центральному проводу ток движется в одном направлении, а по оболочке кабеля — в противоположном (рис. 249). Между центральной жилой и оболочкой находится диэлектрик. Для упрощения расчетов предположим, что сопротивление проводов кабеля ничтожно мало и им можно пренебречь, т. е. можно считать, что энергия передается без потерь. Тогда потенциал вдоль центральной жилы и оболочки постоянен, а изменение потенциала между ними происходит на потребителе энергии и на источнике (сторонняя э. д. с.). Пусть падение потенциала на потребителе энергии равно U. Это означает, что разность потенциалов между жилой и оболочкой равна U. Следовательно, между ними существует электрическое поле. Вследствие аксиальной симметрии задачи и того, что ток течет вдоль кабеля без сопротивления, напряженность этого поля направлена по радиусу, а касательная составляющая Eα отсутствует. Ось Z цилиндрической системы координат совпадает с осью кабеля. Силовые линии магнитного поля являются концентрическими окружностями с центром на оси кабеля. Напряженность поля отлична от нуля только в пространстве между жилой и оболочкой, а вне кабеля она равна нулю. Радиальная составляюцая вектора Пойнтинга равна нулю. Уравнение Максвелла divD=ρ для пространства между жилой и оболочкой принимает вид
divE=1rr(rEr)=0,
где использована запись операции дивергенции в цилиндрических координатах и принято во внимание, что аксиальная и касательная составляющие вектора E отсутствуют. Из (60.6) получаем
Er=a0/r

где a0 — постоянная интегрирования, определяемая условиями задачи. Разность потенциалов между жилой и оболочкой равна U=r1r2Er dr=a0ln(r2/r1),
248
Механизм компенсации потерь тока на выделение джоулевой теплоты
249
Передача элекгромагннтной эғергии с помощью тока по кабелю
— Передаваемая с понощью электрнческого тока энергня движется в пространстве, окружающем проводники. Проводннки нграют роль направляющих, вдоль которых движется электромагнитная энергня. Джоулева теплота в проводннке выделяетс за счет электромагнитной энергни, поступающей в проводник чере его поверхность из окружающего пространства.
Что такое характеристический инпеданс линии и постоянная расп ространеии ? Опишите физические процессы, приводящие к отражению энергии от нагрузки. При каком условии отражение отсутствует и вся передаваемая по линии энергия поглощается нагрузкой?

которая позволяет найти значение постоянной a0=U/ln(r2/r1). С учетом этого значения формула (60.7) принимает вид
Er=Uln(r2/r1)1r.

Напряженность магнитного поля в кабеле равна
Hα=I/(2πr)

как это сразу следует из закона полного тока, с учетом аксиальной симметрии поля. Из (60.9) и (60.10) получаем
Sz=ErHα=12πUIln(r2/r1)1r2

Эта величина представляет собой плотность потока электромагнитной энергии, направленного параллельно оси кабеля в пространстве между жилой и оболочкой. Вне кабеля, а также в центральной жиле и в оболочке никакого потока энергии нет, поскольку там вообще отсутствует электрическое поле при принятом допущении об отсутствии сопротивления. В 1 с времени через поперечное сечение кабеля проходит электромагнитная энергия
P=σSz dσ=12π02πdαr0r2drrUIln(r2/r1)=UI.

При силе тока I, протекающего через нагрузку при разности потенциалов U, развивается мощность
Pн =IU

Сравнение (60.12) с (60.13) показывает, что вся используемая потребителем энергия движется вдоль кабеля в пространстве между жилой и оболочкой в виде электромагнитной энергии.

Ничего не изменяется в принципиальном отношении и для переменного тока не очень высокой частоты. Если ток в кабеле меняет направление на обратное, то составляющие Er и Hα векторов поля также изменяют направление на обратное, а направление вектора Пойнтинга остается прежним. Позтому хотя направление тока меняется на обратное, направление движения электромагнитной энергии сохраняется: она все время движется от источника к потребителю.

В других линиях передачи в принципиальном смысле картина движения энергии не изменяется, лишь усложняется конфигурация полей и пути, по которым движется энергия.
Л иния передачи для переменного тока. При не очень больших частотах и достаточно малых расстояниях, когда можно считать выполненными условия квазистационарности, токи в линии полностью описываются методами, изложенными в гл. 8. При несоблюдении условий квазистационарности картина усложняется, что очевидно уже из того обстоятельства, что сила тока в один и тот же момент времени в различных участках линии различна. Любой участок проводника имеет определенную индуктивность и емкость, что делает всю линию передачи электрической цепью с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями, индуктивностями.
Уравнения для силы тока и напряжения. Прежде всего необходимо найти закон, по которому сила тока и напряжение между проводниками изменяются вдоль линии. Эквивалентная схема распределения индуктивности, емкости и сопротивления показана на рис. 250. Индуктивность, емкость и сопротивление, приходящиеся на 1 м длины линии, обозначим L,C,R. Импедансы Z1 и Z2 также отнесены к 1 м длины. Участок Δx линии обладает последовательно включенным импедансом, дающим комплексное сопротивление
Z1Δx=(R1+iωL)Δx

и параллельно включенным импедансом Z2, дающим комплексную проводимость
1Z2Δx=(1R2+iωC)Δx

Пусть к началу участка линии Δx приложено напряжение U, а сила тока равна I. В конце участка эти величины равны соответственно U+ΔU,I+ΔI. Утечки через изоляцию здесь и в последующем не учитываются.

Применим правило Кирхгофа для внешнего контура всего участка, взяв в качестве положительного направления обход против часовой стрелки:
Z1Δx2(I+ΔI)Z1Δx2I=U+ΔUU.

Разделив (60.16) на Δx, получим
Z1ΔI/2Z1I=ΔU/Δx

Если Δx0, то первое слагаемое в левой части (60.17) стремится κ нулю (ΔI0). Тогда
dU dx=Z1I
14 А. Н. Матвеев

Аналогично, правило Кирхгофа, применяемое к левому контуру, включающему импеданс Z2/Δx, дает
Z2ΔxΔIZ2Δx2I=U,

откуда при Δx0 получаем
dI dx=1Z2U

Дифференцируя обе части (60.18) по x и выражая dI/dx с помощью (60.20), находим следующее уравнение для U :
d2U dx2=Z1Z2U

Аналогично, дифференцирование (60.20) по х и использование (60.18) приводит к уравнению для силы тока:
d2I dx2=Z1Z2I

Уравнения (60.21) и (60.22) называются уравненнями линии передачи.
X арактеристический импеданс и постоянная распространения. Общее решение уравнений линии передачи имеет вид (например, для U ):
U=Aeαx+Beαx

причем для α, называемой постоянной распространення, после подстановки (60.23) в (60.21) находим выражение:
α=Z1/Z2

Аналогичный вид имеет также и решение уравнения (60.22):
I=A1exx+B1eαx

Подставляя решения (60.23) и (60.25) в (60.18) и (60.20), находим связь между постоянными A,B,A1,B1 :
A1=A/Zл,B1=B/Zл,

где
ZΩ=Z1Z2
— характеристический нмпеданс линин. Чтобы выяснить его смысл, предположим, что линия длиной l оканчивается нагрузкой, импеданс которой равен характеристическому (рис. 250). На основании равенств (60.23) — (60.27) для напряжения на выходе линии, т. е. на нагрузке Zл, можно написать:
Un=InZn

или
Aeαl+Beal=Zn(AZneαlBZneαl).

Отсюда следует, что B=0,A=Uвх , где Uвх  — напряжение на входе в линию при x=0. Таким образом, напряжение и сила тока в линии определяются выражениями:
U=Uвх eαx,I=Uвх eαx/Zπ.

Следовательно, входной импеданс линии равен характеристическому:
Zвх =UBx/IBx=ZΩ

Это означает, что если линия оканчивается нагрузкой с характеристическим импедансом, то ее входной импеданс равен характеристическому, независимо от длины, т.е. в этом случае ток передается по линии без изменения отношения иапрясения к силе тока.
X арактеристическое сопротивление. В большинстве практически важных случаев омические сопротивления элементов линии значительно меньше соответствуюцих индуктивных и емкостных сопротивлений (R1ωL,1/R2ωC ) и ими можно пренебречь. При этом условии характеристический импеданс
Zл =Z1Z2=R1+iωL1/R2+iωC=LC

является действительной величиной, т. е. сопротивлением, и называется характеристическим сопротивлением.

Характеристическое сопротивление зависит от формы и размеров проводников, от расстояния между ними и других факторов, от которых зависят емкость и индуктивность участков линии. Например, характеристическое сопротивление параллельных цилиндрических проводников радиусом a, расстояние между осями которых D, равно
Zл=276log(D/a)
Принимается, что проводники расположены в среде, относительная диэлектрическая проницаемость которой близка к единице (вакуум, воздух и т. д.).
Скорость распространения. Выше было рассмотрено распределение силы тока и напряжения вдоль линии передач в некоторый момент времени. Если на входе сила тока и напряжение периодически изменяются с частотой ω, то и во всех участках линии они изменяются с той же частотой. При тех условиях, когда характеристический импеданс является вещественной величиной (60.32), постоянная α [см. (60.24)] является чисто мнимой:
α=iωLC

Поэтому, взяв зависимость величин от времени в виде expiωt, можно на основании (60.30) написать:
U(x,t)=U0exp[i(ωtωLCx)],I(x,t)=(U0/L/C)exp[i(ωtωLCx)].
14

Формула (60.35) описывает волну с частотой ω, распространяющуюся вдоль оси X со скоростью
v=1/LC

Напомним, что в этой формуле L и C являются емкостью и индуктивностью линии передачи, отнесенными к 1 м длины. Для двух тонких цилиндрических проводников радиусами a, находящихся в вакууме на расстоянии D один от другого, емкости и индуктивности 1 м длины линии равны:
C=ε0/[2ln(D/a)],L=2μ0ln(D/a)

и поэтому скорость распространения волны равна
v=1/LC=1/ε0μ0=c
Oтражение. Если сопротивление нагрузки равно характеристическому,  то вся передаваемая по линии энергия поглощается нагрузкой. Говорят, что нагрузка и линия передачи согласованы между собой. Если такого согласования нет, то часть энергии отражается от нагрузки и движется по линии навстречу первоначальному потоку энергии.

Рассмотрим в качестве примера закороченную на конце линию передачи, т. е. когда Uн =0. Уравнения (60.23) и (60.25) принимают вид:
0=Aeiβl+Beiβt,In=Aeiβl/ρBeiβl/ρ,

где для упроцения написания формул введены обозначения: β=ωLC, ρ=L/C. Разрешая эти уравнения относительно A и B, получаем
A=Iнρeiβ1/2,B=Inρiβl/2.

Поэтому выражения (60.23) и (60.25) для напряжения и силы тока вдоль линии передачи записываются следующим образом:
U=I0ρ2[eiβ(xl)eiβ(xl)],
I=I02[eiβ(xl)+eiβ(xl)].
Поскольку зависимость величин от времени характеризуется множителем exp(iωt), можно заключить, что первые слагаемые в правой части этих формул описывают волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X, а вторые — в отрицательном (т. е. описывают отраженную от закороченного конца линии волну). Отсюда можно заключить, что не только невозможность полностью передать энергию в нагрузку при отсутствии согласования с линией диктует желательность согласования. Если сигналы передаются в виде импульсов, то последовательные отражения от нагрузки, а затем снова от входа, настолько искажают сигнал, приходящий в нагрузку, что с ним становится трудно работать.

1
Оглавление
email@scask.ru