обсуждаются основные закономерности термоэлектронной эмиссии и их проявление при прохождении тока между электродами в вакууме.
Термоэлектронная эмиссия. В вакууме не может существовать электрический ток, если в нем нет носителей электрических зарядов. Если же в нем имеются электроны, то их движение обусловливает возникновение тока, называемого током в вакууме.
В металле имеется электронный газ. В условиях термодинамического равновесия распределение электронов по энергетическим уровням определяется статистикой Ферми – Дирака и дается формулой
\[
\frac{n_{i}}{g_{i}}=\frac{1}{\exp \left[\beta\left(E_{i}-\mu\right)\right]+1},
\]
где $\beta=1 /(k T) ; n_{i}$ – число электронов, имеющих энергию $E_{i} ; g_{i}$ – число квантовых состояний, соответствующих энергии $E_{i} ; \mu$ – энергия Ферми при температуре $T$, которая при $T \rightarrow 0$ К стремится к энергии Ферми $\mu_{0}$ при $T=0$ К в соответствии с формулой
\[
\mu=\mu_{0}\left[1-\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k T}{\mu_{0}}\right)^{2}+\ldots\right] \text {. }
\]
Принимая во внимание, что во всех практически интересных случаях $\mu \gg k T$, можно в (34.1) величину $\mu$ считать равной $\mu_{0}$.
Пусть $E_{0}$ – энергия покояцегося электрона вблизи поверхности вне металла (рис. 131). Формула (34.1) позволяет вычислить вероятность того, что электрон имеет энергию $E_{0}$, если вместо $E_{i}$ подставить в нее
$E_{0}$. Эта вероятность не равна нулю и тем больше, чем выше температура (т. е. чем меньше $\beta$ ). Таким образом, вблизи поверхности металла имеется электронное облако, которое находится в равновесии с электронным газом внутри металла. Это равновесие динамическое: электроны внутри металла, обладающие достаточно большой кинетической энергией, преодолевают силы, удерживающие их внутри металла, и выходят за его пределы; электроны вблизи металла при соответствующих направлениях их скоростей и местоположения захватываются силами, удерживающими электроны внутри металла. Таким образом, в условиях динамического равновесия сквозь поверхность металла протекают противоположно направленные токи, силы которых равны по модулю. Суммарная сила тока сквозь поверхность равна нулю. Явление образования электронного облака вблизи поверхности металла из-за теплового движения свободных электронов называется термоэлектронной эмиссией. При 0 К никакой термоэлектронной эмиссии не наблюдается, т. е. электронное облако вблизи поверхности металла отсутствует.
Электроны с кинетической энергией $W_{\mathrm{x}}$ вблизи поверхности металла имеют полную энергию $E_{i}=W_{\mathbf{k}}+E_{0}$ и формула (34.1) принимает для них следующий вид:
\[
\left.\frac{n}{g}\right|_{W_{\mathbf{k}}}=\frac{1}{\exp \left[\beta\left(W_{\mathbf{x}}+\Phi\right)\right]+1},
\]
где $\Phi=E_{0}-\mu$-работа выхода электронов из металла. Из формулы (34.3) видно, что плотность электронного облака вблизи поверхности металла сильно зависит от работы выхода $\Phi$ и резко уменьшается с ее увеличением.
Если вблизи поверхности металла существует электрическое поле, то электроны облака приходят в движение и образуется электрический ток, называемый термоэлектронным. Таким образом, если в вакууме имеются две металлические пластины, между которыми приложена разность потенциалов, то между ними возникает термоэлектронный ток. Очевидно, что сила тока должна расти с увеличением разности потенциалов. Существует максимальная сила тока, когда все электроны, попадаючие через поверхность катода в электронное облако, увлекаются внешним электрическим полем к аноду и никакого обратного тока электронов через поверхность внутрь катода не существует. Эта максимальная сила тока называется силой тока насыщения: при дальнейшем увеличении разности потенциалов между анодом и катодом сила тока не изменяется, поскольку все электроны, поставляемые в результате термоэлектронной эмиссии из катода, задействованы для образования электрического тока и других носителей заряда для дальнейшего увеличения силы тока нет.
Для металлов Ф составляет несколько электрон-вольт. Энергия $k T$ даже при температуре в тысячи кельвинов составляет доли электрон-вольта. Следовательно, $\beta \Phi \gg 1$ и $\exp \left[\beta\left(W_{\mathbf{x}}+\Phi\right)\right] \gg 1$. Поэтому в (34.3) можно в знаменателе пренебречь единицей по сравнению с $\exp \left[\beta\left(W_{\mathrm{k}}+\Phi\right)\right]$ и записать эту формулу в виде
$\left.\frac{n}{g}\right|_{w_{\mathrm{x}}} \approx \mathrm{e}^{-\Phi /(k T)} \mathrm{e}^{-W_{\mathrm{k}} /(k T)}$.
Таким образом, сила тока насыщения очень сильно зависит от работы выхода и температуры, поскольку эти величины входят в экспоненту. Для чистых металлов значительный ток может быть получен лишь при температуре порядка 2000 К, т. е. в качестве катодов необходимо использовать металлы с высокой температурой плавления. Одновременно желательно, чтобы их работа выхода была как можно меньше. Например, чистый вольфрам, работа выхода которого 4,5 эВ, должен эксплуатироваться при температуре 2500 К. Для уменьшения рабочей температуры катода и понижения работы выхода используются оксидные катоды, когда на подложку (керн) с помоцью соответствующих технологических процессов наносится слой окислов щелочноземельных металлов (например, $\mathrm{BaO}, \mathrm{SrO}$ и др.). Затем катод активируется при пропускании через него термоионного тока при температуре катода около 1300 К. В результате образуется моноатомный слой щелочноземельных атомов, значительно понижающий работу выхода. Например, бариево-стронциевые оксидные катоды имеют работу выхода около 1,8 эВ, благодаря чему значительные токи удается получить уже при температуре около 1100 К. При этой температуре достигается потность тока порядка $10^{4} \mathbf{A} \cdot \mathbf{M}^{-2}$. Слой бариево-стронциевого окисла наносится обычно на никелевую трубку, внутри которой в качестве нагревателя используется вольфрамовая нить. Такая конструкция имеет дополнительное преимущество по сравнению с использованием нагретой вольфрамовой нити в качестве катода, поскольку в последнем случае вдоль нити возникает значительное падение потенциала и ее поверхность не будет эквипотенциальной. В оксидном катоде слой окислов является эквипотенциальной поверхностью, что улучшает весьма существенно условия работы катода в целом.
131
Энергетические уровни свободных элект ронов в металле
132
К расчету силы тока насыщения
133
Зависимость между синой тока насьщения и температурой
В чем состоит механизм термоэлектронной эмиссии? Чем обусло влено существование тока насыщения ? От каких факторов зависит его сила?
При каких условиях наблюдаются откпонения от закона трех вторых?
$\mathbf{X}$ арактеристики электронного облака. Облако электронов вблизи поверхности металла описывается формулой (34.4). Число квантовых состояний в элементе фазового объема $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}$
\[
g=\frac{2}{(2 \pi \hbar)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z} .
\]
Поэтому число электронов, заключенных в элементе фазового объема $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}$, представляется в виде
\[
\mathrm{d} n=\frac{2}{(2 \pi \hbar)^{3}} \mathrm{e}^{-\Phi /(k T)} \mathrm{e}^{-p^{2} /\left(2 m_{e} k T\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z},
\]
где $W_{\text {к }}=p^{2} /\left(2 m_{e}\right)$.
Интегрирование выражения (34.6) по $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ дает в качестве множителя объем $V$. Поэтому число электронов в объеме $V$, импульсы которых заключены в элементе объема $\mathrm{d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}$, вблизи импульса $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ равно
$\mathrm{d} n_{p}=\left[2 V /(2 \pi h)^{3}\right] \exp [-\Phi /(k T)] \exp \left[-p^{2} /\left(2 m_{e} k T\right)\right] \mathrm{d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}$,
где $p^{2}=p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}$. Отсюда для концентрации электронного облака вблизи поверхности металла получаем выражение
\[
\begin{array}{l}
n_{0}^{\prime}=\frac{1}{V} \int \mathrm{d} n_{p}=\left[\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3}}\right] \exp \left(-\frac{\Phi}{k T}\right) \iiint_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{p^{2}}{2 m_{e} k T}\right) \mathrm{d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}= \\
=\frac{1}{4}\left(\frac{2 \pi m_{e} k T}{\hbar^{2}}\right)^{3 / 2} \exp \left(-\frac{\Phi}{k T}\right) .
\end{array}
\]
Средняя кинетическая энергия электронов
\[
\left\langle W_{\mathrm{k}}\right\rangle=\left\langle\frac{p^{2}}{2 m}\right\rangle=\frac{\int\left[p^{2} /\left(2 m_{e}\right)\right] \mathrm{d} n_{p}}{\int \mathrm{d} n_{p}}=\frac{3}{2} k T .
\]
Плотность тока насыщения. Направим ось $Z$ прямоугольной декартовой системы координат нормально к поверхности металла (рис. 132). Электроны дают вклад в плотность тока насыщения компонентой $v_{z}$ скорости по оси $Z$. Вклад в плотность тока от одного электрона равен $e v_{z}=e p_{z} / m_{e}$. Следовательно, плотность тока насыщения определяется формулой
\[
\begin{array}{l}
j_{\text {нас }}=\frac{e}{m_{e}} \int_{p_{z}>0} p_{z} \mathrm{~d} n_{p}=\left[\frac{2 e}{m_{e}(2 \pi \hbar)^{3}}\right] \exp \left(-\frac{\Phi}{k T}\right) \times \\
\times \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{p_{x}^{2}}{2 m_{e} k T}\right) \mathrm{d} p_{x} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-\frac{p_{y}^{2}}{2 m_{e} k T}\right) \mathrm{d} p_{y} \int_{0}^{\infty} p_{z} \exp \left(-\frac{p_{z}^{2}}{2 m_{e} k T}\right) \mathrm{d} p_{z}= \\
=\frac{e m_{e} k^{2}}{2 \pi^{2} \hbar^{3}} T^{2} \exp \left(-\frac{\Phi}{k T}\right),
\end{array}
\]
или
$j_{\text {иdc }}=A T^{2} \exp [-\Phi /(k T)]$,
где постоянная
$A=e m_{e} k^{2} /\left(2 \pi^{2} \hbar^{3}\right)=1,2 \cdot 10^{6} \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-2}$.
Равенство (34.11) называется формулой Ричардсона-Дешмана.
Для экспериментальной проверки эту формулу удобно представить в виде
$\ln \left(j_{\text {нас }} / T^{2}\right)=\ln A-\Phi /(k T)$.
На графике зависимость $\ln \left(j_{\text {нас }} / T^{2}\right)$ от $1 / T$ по формуле (34.13) выражается прямой линией (рис. 133). Эксперимент подтверждает такую зависимость с учетом небольшого изменения $\Phi$, которое обусловлено уменьшением $\mu$ с температурой [см. (34.2)]. По углу наклона прямой в соответствии с формулой (34.13) определяется работа выхода $\Phi$. По пересечению прямой с осью ординат вычисляется $\ln A$. Величина $A$ по формуле (34.12) должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех металлов. Это заключение не подтверждается экспериментом. Имеется некоторое различие в $A$ для различных металлов. Например, для меди $\boldsymbol{A}=1,1 \cdot 10^{6} \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-2}$, для никеля $A=1,2 \cdot 10^{6} \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-2}$, а для платины $A=0,3 \cdot 10^{6} \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{-2} \cdot \mathrm{K}^{-2}$. Это изменение $A$ обусловлено поверхностными эффектами. Кроме того, у кристалла плотность тока насышения несколько различается для разных граней.
3 акон трех вторых. Рассмотрим зависимость силы тока, протекающего
в вакууме между электродами, от приложенной разности потенциалов. Электроды будем считать плоскими, а ось $X$ направим нормально поверхности электродов (рис. 134). Потенциал катода примем за нуль $\left(\varphi_{\kappa}=0\right)$, а потенциал анода обозначим $U$.
Главным физическим фактором, влияющим на движение электронов между катодом и анодом, является объемный заряд: силы взаимодействия с ним затрудняют движение электронов от катода к аноду под действием приложенной разности потенциалов.
Допустим, что площади пластин катода и анода достаточно велики и при расчете плотности тока вблизи линии, соединяющей центры электродов, можно пренебречь изменением величин в направлениях, перпендикулярных этой линии, т. е. рассматривать одномерную задачу, когда все величины зависят только от координаты $x$. Уравнение Пуассона дтя потенциала имеет вид
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} \varphi}{\mathrm{d} x^{2}}=-\frac{\rho_{e}}{\varepsilon_{0}}=\frac{n|e|}{\varepsilon_{0}},
\]
где $n$ – концентрация электронов. Закон сохранения энергии для дрейфа электронов имеет вид
\[
1 / 2 m_{e} v_{\text {д }}^{2}=|e| \varphi,
\]
где $v_{\text {д }}$ – скорость дрейфа в точке с потенциалом $\varphi$. Объемная плотность тока в этой точке
К выводу закона трех вторых образуется к виду
\[
\mathrm{d}^{2} \varphi / \mathrm{d} x^{2}=\alpha / \sqrt{\varphi},
\]
где $\alpha=\left(|j| / \varepsilon_{0}\right) \sqrt{m_{e} /(2|e|)}$. Умножая обе части (34.18) на $(\mathrm{d} \varphi / \mathrm{dx})=\dot{\varphi}$, получаем
\[
\ddot{\varphi} \dot{\varphi}=\alpha \dot{\varphi} / \sqrt{\varphi} \text {, }
\]
где точками обозначено дифференцирование по $x$. Учитывая, что
\[
\ddot{\varphi} \dot{\varphi}=\left(\dot{\varphi}^{2}\right) / 2, \dot{\varphi} / \sqrt{\varphi}=2(\sqrt{\varphi}) \text {, }
\]
запишем (34.19) так:
\[
\left(\dot{\varphi}^{2}\right)^{*}=4 \alpha(\sqrt{\varphi}) \text { : }
\]
Теперь можно проинтегрировать обе части (34.21) по $x$ в пределах от 0 до того значения $x$, при котором потенциал равен $\varphi$. Тогда
\[
\left(\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right)^{2}-\left(\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right)_{0}^{2}=4 \alpha \sqrt{\varphi}
\]
где учтено, что $\varphi(0)=0$. Производная (d $\varphi / \mathrm{d} x)_{0}$ характеризует напряженность электрического поля у катода, $\alpha$ – пропорциональна $j$. Поэтому объемная плотность тока $j$ достигает максимума при $(\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} x)_{0}=0$ и тогда [см. (34.22)]
\[
\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=2 \sqrt{\alpha} \varphi^{1 / 4},
\]
или
\[
\frac{\mathrm{d} \varphi}{\varphi^{1 / 4}}=2 \sqrt{\alpha} \mathrm{d} x .
\]
Интегрируя обе части (34.24) в пределах от $x=0, \varphi=0$ до $x=d, \varphi=U$, получаем $U^{3 / 4}=\frac{3}{2} d \sqrt{\alpha}$.
Возводя обе части (34.25) в квадрат и учитывая, что
\[
\alpha=\left(|j| / \varepsilon_{0}\right) \sqrt{m_{e} /(2|e|)},
\]
получаем
\[
|j|=\beta U^{3 / 2} \text {, }
\]
где
\[
\beta=\frac{4 \varepsilon_{0}}{9 d^{2}}\left(\frac{2|e|}{m_{e}}\right)^{1 / 2} \text {. }
\]
Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических электродов, для концентрических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависимость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэффициент $\beta$ во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения Пуассона, записанного в различных системах координат.
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом изменение потенциала происходит по линейному закону (рис. 135; прямая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи катода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электроны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает. Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объемного заряда характеризуется кривой 2.
Вывод формулы (34.27) приведен в предположении, что электроны покидают катод с нулевой скоростью. Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том случае, если вблизи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться до таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменышится до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой $C$.
При достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда объемная плотность заряда уменьшается настолько, что поддержание нулевого электрического поля у поверхности катода оказывается невозможным $u$, следовательно, будет невыполнимым условие $(\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} x)_{0}=0$, при котором был введен закон mрех вторых. При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыщения).
Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряжением. Он не имеет универсального характера и даже в приведенном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов. Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
Задачи
5.1. Концептрация электронов проводимости в меди равна $n_{0}=$ $=8,5 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$. Определить среднюю скорость дрейфа электронов проводимости при плотности тока $j=10 \mathrm{~A} / \mathrm{Mm}^{2}$.
5.2. Через электролит прошло $|Q|$ кулонов электричества. Подвижности ионов равны $b^{(+)}$и $b^{(-)}$. Какое количество электричества перенесено положительными и отрицательными ионами?
5.3. Две электролитические ванны с растворами $\mathrm{AgNO}_{3}$ и $\mathrm{CuSO}_{4}$ соединены последовательно. Определить массу серебра, выделившегося за то время, в течение которого выделилось 10 мг меди?
5.4. Электролиз $\mathrm{AgNO}_{3}$ проводится при разности потенциалов $4 \mathrm{~B}$. Какая электрическая энергия рас-
ходуется для выделения 100 мг серебра?
5.5. Проводящая металлическая лента толщиной $a=0,1$ мм и шириной $d=5$ см помещена в однородное магнитное поле с индукцией $\boldsymbol{B}=$ $=1$ Тл, направленной перпендикулярно поверхности ленты. По ленте течет ток силой $I=1,6 \mathrm{~A}$. Найти холловскую разность потенциалов.
5.6. В газоразрядной трубке между электродами с площадью поперечного сечения $1 \mathrm{~cm}^{2}$, расположенными на расстоянии $3 \mathrm{cм}$ друг от друга, сила тока насыщения равіа $I_{\text {и }}=10^{-7}$ А. Разряд несамостоятельный. Какое число элементарных зарядов каждого из знаков возникает ежесекундно в $1 \mathrm{~cm}^{3}$ объема трубки.
Ответы
5.1. $v_{\text {д }}=0,0736 \mathrm{~cm} /$ c. 5.2. $\left|Q^{(+)}\right|=\frac{b^{(-)}|Q|}{b^{(-)}+b^{(+)}},\left|Q^{(-)}\right|=\frac{b^{(+)}|Q|}{b^{(-)}+b^{(+)}}$. 5.3. $34 \mathrm{mr}$.
5.4. 360 Дж. 5.5. $10^{-5}$ B. 5.6. $N \approx 2 \cdot 10^{10} \mathrm{c}^{-1} \cdot \mathrm{cm}^{-3}$.
Закон полного §35
Закон полного тока
§ 36
Уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля
§ 37
Векторный потенциал
§ 38
Магнитное поле при наличии магнетиков
§ 39
Силы
в магнитном поле
Стационарное магнитное поле
Стационарное магнитное поле обусловлено электрическими токами. Ero нельзя осуществить движением отдельного заряда, поскольку в этом случае магнитное поле неизбежно переменно. Тем не менее с помощью принципа суперпозиции делается заключение о создании поля отдельным движущимся зарядом.
